Littlewoodova věta o podřízenosti - Littlewood subordination theorem - Wikipedia

v matematika, Littlewoodova věta o podřízenosti, prokázáno J. E. Littlewood v roce 1925, je věta v teorie operátorů a komplexní analýza. Uvádí se v něm, že jakýkoli holomorfní jednomocný samo-mapování jednotka disku v komplexní čísla že opraví 0 vyvolá a stahovací operátor složení na různých funkční prostory holomorfních funkcí na disku. Mezi tyto prostory patří Odolné prostory, Bergmanovy prostory a Dirichletův prostor.

Věta o podřízenosti

Nechat h být holomorfní univalentní mapování disku jednotky D do sebe tak, že h(0) = 0. Potom operátor složení C_h definované na holomorfních funkcích F na D podle

${ displaystyle C_ {h} (f) = f circ h}$

definuje lineární operátor s norma operátora méně než 1 na Hardyho prostorech ${ displaystyle H ^ {p} (D)}$, Bergmanovy prostory ${ displaystyle A ^ {p} (D)}$.(1 ≤ p <∞) a Dirichletův prostor ${ displaystyle { mathcal {D}} (D)}$.

Normy v těchto prostorech jsou definovány:

${ displaystyle | f | _ {H ^ {p}} ^ {p} = sup _ {r} {1 nad 2 pi} int _ {0} ^ {2 pi} | f ( re ^ {i theta}) | ^ {p} , d theta}$

${ displaystyle | f | _ {A ^ {p}} ^ {p} = {1 over pi} iint _ {D} | f (z) | ^ {p} , dx , dy }$

${ displaystyle | f | _ { mathcal {D}} ^ {2} = {1 over pi} iint _ {D} | f ^ { prime} (z) | ^ {2} , dx , dy = {1 nad 4 pi} iint _ {D} | částečné _ {x} f | ^ {2} + | částečné _ {y} f | ^ {2} , dx , dy}$

Littlewoodovy nerovnosti

Nechat F být holomorfní funkcí na disku jednotky D a nechte h být holomorfní univalentní mapování D do sebe s h(0) = 0. Potom pokud 0 < r <1 a 1 ≤ p < ∞

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} | f (h (re ^ {i theta})) | ^ {p} , d theta leq int _ {0} ^ {2 pi} | f (re ^ {i theta}) | ^ {p} , d theta.}$

Tato nerovnost platí také pro 0 < p <1, i když v tomto případě neexistuje interpretace operátoru.

Důkazy

Případ p = 2

Dokázat výsledek pro H² to stačí ukázat pro F polynom^[1]

${ displaystyle displaystyle { | C_ {h} f | ^ {2} leq | f | ^ {2},}}$

Nechat U být jednostranný posun definovaný

${ displaystyle displaystyle {Uf (z) = zf (z)}.}$

To má adjoint U* dána

${ displaystyle U ^ {*} f (z) = {f (z) -f (0) nad z}.}$

Od té doby F(0) = A₀, to dává

${ displaystyle f = a_ {0} + zU ^ {*} f}$

a tudíž

${ displaystyle C_ {h} f = a_ {0} + hC_ {h} U ^ {*} f.}$

Tím pádem

${ displaystyle | C_ {h} f | ^ {2} = | a_ {0} | ^ {2} + | hC_ {h} U ^ {*} f | ^ {2} leq | a_ {0} ^ {2} | + | C_ {h} U ^ {*} f | ^ {2}.}$

Od té doby U*F má stupeň menší než F, indukcí to vyplývá

${ displaystyle | C_ {h} U ^ {*} f | ^ {2} leq | U ^ {*} f | ^ {2} = | f | ^ {2} - | a_ {0} | ^ {2},}$

a tudíž

${ displaystyle | C_ {h} f | ^ {2} leq | f | ^ {2}.}$

Stejná metoda dokazování funguje A² a ${ displaystyle { mathcal {D}}.}$

Obecné Hardy mezery

Li F je v Hardyho prostoru H^p, pak má faktorizace^[2]

${ displaystyle f (z) = f_ {i} (z) f_ {o} (z)}$

s F_i an vnitřní funkce a F_Ó an vnější funkce.

Pak

${ displaystyle | C_ {h} f | _ {H ^ {p}} leq | (C_ {h} f_ {i}) (C_ {h} f_ {o}) | _ {H ^ {p}} leq | C_ {h} f_ {o} | _ {H ^ {p}} leq | C_ {h} f_ {o} ^ {p / 2} | _ {H ^ {2}} ^ {2 / p} leq | f | _ {H ^ {p}}.}$

Nerovnosti

Užívání 0 < r <1, Littlewoodovy nerovnosti následují aplikací Hardyho vesmírných nerovností na funkci

${ displaystyle f_ {r} (z) = f (rz).}$

Nerovnosti lze také odvodit následovně Riesz (1925), použitím subharmonické funkce.^[3][4] Nerovnosti zase okamžitě znamenají teorém o podřízenosti pro obecné Bergmanovy prostory.

Poznámky

Reference

• Duren, P. L. (1970), Teorie H ^p mezeryČistá a aplikovaná matematika, 38, Academic Press
• Littlewood, J. E. (1925), „O nerovnostech v teorii funkcí“, Proc. London Math. Soc., 23: 481–519, doi:10.1112 / plms / s2-23.1.481
• Nikolski, N. K. (2002), Operátoři, funkce a systémy: snadné čtení. Sv. 1. Hardy, Hankel a ToeplitzMatematické průzkumy a monografie 92Americká matematická společnost, ISBN  0-8218-1083-9
• Riesz, F. (1925), „Sur une inégalite de M. Littlewood dans la théorie des fonctions“, Proc. London Math. Soc., 23: 36–39, doi:10.1112 / plms / s2-23.1.1-s
• Shapiro, J. H. (1993), Skladatelské operátory a teorie klasických funkcíUniversitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN  0-387-94067-7