Seznam souřadnicových grafů - List of coordinate charts

Tento článek se pokouší pohodlně vypsat články na některé z nejužitečnějších souřadnicových grafů v některých z nejužitečnějších příkladů Riemannovy rozdělovače.

Pojem a souřadnicový graf je zásadní pro různé pojmy a potrubí které se používají v matematice. V pořadí přibývá úroveň struktury:

Pro naše účely je klíčovým rysem posledních dvou příkladů to, že jsme definovali a metrický tenzor které můžeme použít k integraci podél křivky, například a geodetické křivka. Klíčový rozdíl mezi Riemannovými metrikami a semi-Riemannovskými metrikami spočívá v tom, že první vznikají svazování pozitivní-definitivní kvadratické formy, vzhledem k tomu, že posledně uvedené vznikají spojením neurčité kvadratické formy.

Čtyřrozměrný semi-Riemannian potrubí je často nazýván a Lorentzian potrubí, protože ty poskytují matematické nastavení pro metrické gravitační teorie jako obecná relativita.

Pro mnoho témat v aplikovaná matematika, matematická fyzika, a inženýrství, je důležité umět psát to nejdůležitější parciální diferenciální rovnice matematické fyziky

(stejně jako varianty této základní triády) v různých souřadnicových systémech, které jsou přizpůsobeno na jakékoli symetrie, které mohou být přítomny. I když to může být, kolik studentů se poprvé setká s nekartézským souřadnicovým grafem, jako je například válcový graf E3 (trojrozměrný euklidovský prostor) se ukazuje, že tyto grafy jsou užitečné pro mnoho dalších účelů, jako je například zápis zajímavých vektorových polí, kongruencí křivek nebo polí rámů pohodlným způsobem.

Výpis běžně se vyskytujících souřadnicových grafů nevyhnutelně zahrnuje určité skutečné a zjevné překrývání, a to alespoň ze dvou důvodů:

  • mnoho grafů existuje ve všech (dostatečně velkých) dimenzích, ale možná jen pro určité rodiny potrubí, jako jsou koule,
  • mnoho grafů, s nimiž se nejčastěji setkáváme u konkrétních potrubí, jako jsou koule, lze skutečně použít (s vhodným metrickým tenzorem) u obecnějších potrubí, jako jsou sféricky symetrické potrubí.

Proto zdánlivě jakýkoli pokus o jejich uspořádání do seznamu zahrnuje několik překrytí, které jsme v tomto seznamu přijali, abychom mohli nabídnout pohodlný, i když chaotický odkaz.

Zdůrazňujeme to tento seznam není zdaleka vyčerpávající.

Oblíbené povrchy

Zde je několik grafů, které (s příslušnými metrickými tenzory) lze použít v uvedených třídách Riemannovy a semi-Riemannovy plochy:

Zde jsou některé grafy na některých nejužitečnějších riemannovských plochách (všimněte si, že existuje určité překrývání, protože mnoho grafů S2 mít velmi podobné grafy H2; v takových případech jsou obě pojednány ve stejném článku):

Oblíbený semi-Riemannian povrch:

  • AdS2 (nebo S.1,1) a dS2 (nebo H1,1):
    • centrální projekce
    • ekvatoriální trig

Poznámka: rozdíl mezi těmito dvěma povrchy je v jistém smyslu pouze věcí konvence, podle toho, zda považujeme cyklickou nebo necyklickou souřadnici za časově podobné; ve vyšších dimenzích je rozdíl méně triviální.

Oblíbené Riemannovy tři rozdělovače

Zde je několik grafů, které (s příslušnými metrickými tenzory) lze použít v uvedených třídách trojrozměrných Riemannovských variet:

(Poznámka: ne každé tři potrubí připouští izotermický graf.)

Zde je několik grafů, které lze použít na některé z nejužitečnějších Riemannovských tří variet:

Několik příkladů vyšší dimenze

Vynechané příklady

Existuje samozřejmě mnoho důležitých a zajímavých příkladů Riemannovských a semi-Riemannovských variet, které zde nejsou ani zmíněny, včetně:

  • Bianchi skupiny: existuje krátký seznam (až místní izometrie ) trojrozměrných skutečných Lieových skupin, které, když jsou považovány za Riemannovy tři variety, dávají homogenní, ale (obvykle) neizotropní geometrie.
  • jiné pozoruhodné skutečné Lež skupiny,
  • Lorentzian potrubí které (možná s přidanou strukturou, jako je skalární pole) slouží jako řešení polních rovnic různých metrických gravitačních teorií, zejména obecná relativita. Je zde určité překrývání; zejména:
  • osově souměrné časoprostory jako Weyl vysává vlastnit různé grafy zde diskutované; prolate sféroidní graf se ukazuje jako obzvláště užitečný,
  • de Sitter modely v kosmologii nejsou jako různá potrubí nic jiného než H1,3 a jako takové mají řadu zajímavých a užitečných grafů po vzoru zde uvedených.

Kromě toho lze jistě uvažovat o souřadnicových grafech na složitých varietách, snad s metrikami, které vznikají spojováním hermitovských forem. Toto přirozené zobecnění je ve skutečnosti jen špičkou ledovce. Těmito zevšeobecněním se však nejlépe zabývají specializovanější seznamy.

Viz také