Liouvilleův dynamický systém - Liouville dynamical system

v klasická mechanika, a Liouvilleův dynamický systém je přesně rozpustný dynamický systém ve kterém Kinetická energie T a potenciální energie PROTI lze vyjádřit pomocí s zobecněné souřadnice q jak následuje:^[1]

${displaystyle T = {frac {1} {2}} vlevo {u_ {1} (q_ {1}) + u_ {2} (q_ {2}) + cdots + u_ {s} (q_ {s}) noc } vlevo {v_ {1} (q_ {1}) {tečka {q}} _ {1} ^ {2} + v_ {2} (q_ {2}) {tečka {q}} _ {2} ^ { 2} + cdots + v_ {s} (q_ {s}) {dot {q}} _ {s} ^ {2} ight}}$

${displaystyle V = {frac {w_ {1} (q_ {1}) + w_ {2} (q_ {2}) + cdots + w_ {s} (q_ {s})} {u_ {1} (q_ { 1}) + u_ {2} (q_ {2}) + cdots + u_ {s} (q_ {s})}}}$

Řešení tohoto systému sestává ze sady odděleně integrovatelných rovnic

${displaystyle {frac {sqrt {2}} {Y}}, dt = {frac {dvarphi _ {1}} {sqrt {Echi _ {1} -omega _ {1} + gamma _ {1}}}} = {frac {dvarphi _ {2}} {sqrt {Echi _ {2} -omega _ {2} + gamma _ {2}}}} = cdots = {frac {dvarphi _ {s}} {sqrt {Echi _ { s} -omega _ {s} + gamma _ {s}}}}}$

kde E = T + V je zachovaná energie a ${displaystyle gamma _ {s}}$ jsou konstanty. Jak je popsáno níže, proměnné byly změněny z q_s do φ_sa funkce u_s a w_s nahrazeny svými protějšky χ_s a ω_s. Toto řešení má řadu aplikací, například oběžnou dráhu malé planety kolem dvou stálic pod vlivem Newtonova gravitace. Dynamický systém Liouville je jednou z několika pojmenovaných věcí Joseph Liouville, významný francouzský matematik.

Příklad bicentrických drah

v klasická mechanika, Eulerův problém se třemi těly popisuje pohyb částice v rovině pod vlivem dvou pevných středů, z nichž každý přitahuje částici pomocí síla inverzního čtverce jako Newtonova gravitace nebo Coulombův zákon. Mezi příklady problému s bicentry patří a planeta pohybující se kolem dvou pomalu se pohybujících hvězdy, nebo elektron pohybující se v elektrické pole dvou kladně nabitých jádra jako první ion molekuly vodíku H₂, jmenovitě vodíkový molekulární ion nebo H₂⁺. Síla těchto dvou atrakcí nemusí být stejná; tyto dvě hvězdy tedy mohou mít různé hmotnosti nebo jádra dva různé náboje.

Řešení

Nechte fixní centra přitažlivosti umístěna podél X-osa při ±A. Potenciální energie pohybující se částice je dána vztahem

${displaystyle V (x, y) = {frac {-mu _ {1}} {sqrt {left (x-aight) ^ {2} + y ^ {2}}}} - {frac {mu _ {2} } {sqrt {left (x + aight) ^ {2} + y ^ {2}}}}.}$

Dvě centra přitažlivosti lze považovat za ohniska sady elips. Pokud by některý ze středů chyběl, částice by se pohybovala na jedné z těchto elips, jako řešení Keplerův problém. Proto podle Bonnetova věta, stejné elipsy jsou řešením problému bicentra.

Představujeme eliptické souřadnice,

${displaystyle x = acosh xi cos eta,}$

${displaystyle y = asinh xi sin eta,}$

potenciální energii lze zapsat jako

${displaystyle V (xi, eta) = {frac {-mu _ {1}} {aleft (cosh xi -cos eta ight)}} - {frac {mu _ {2}} {aleft (cosh xi + cos eta ight )}} = {frac {-mu _ {1} vlevo (cosh xi + cos eta ight) -mu _ {2} vlevo (cosh xi -cos eta ight)} {aleft (cosh ^ {2} xi -cos ^ {2} eta ight)}},}$

a kinetická energie jako

${displaystyle T = {frac {ma ^ {2}} {2}} vlevo (cosh ^ {2} xi -cos ^ {2} eta ight) vlevo ({dot {xi}} ^ {2} + {dot { eta}} ^ {2} ight).}$

Jedná se o Liouvilleův dynamický systém, pokud jsou ξ a η brány jako φ₁ a φ₂, v uvedeném pořadí; tedy funkce Y rovná se

${displaystyle Y = cosh ^ {2} xi -cos ^ {2} eta}$

a funkce Ž rovná se

${displaystyle W = -mu _ {1} vlevo (cosh xi + cos eta ight) -mu _ {2} vlevo (cosh xi -cos eta ight)}$

Pomocí obecného řešení pro Liouvilleův dynamický systém níže získáme

${displaystyle {frac {ma ^ {2}} {2}} vlevo (cosh ^ {2} xi -cos ^ {2} eta ight) ^ {2} {dot {xi}} ^ {2} = Ecosh ^ { 2} xi + left ({frac {mu _ {1} + mu _ {2}} {a}} ight) cosh xi -gamma}$

${displaystyle {frac {ma ^ {2}} {2}} vlevo (cosh ^ {2} xi -cos ^ {2} eta ight) ^ {2} {dot {eta}} ^ {2} = - Ecos ^ {2} eta + vlevo ({frac {mu _ {1} -mu _ {2}} {a}} ight) cos eta + gamma}$

Představujeme parametr u podle vzorce

${displaystyle du = {frac {dxi} {sqrt {Ecosh ^ {2} xi + left ({frac {mu _ {1} + mu _ {2}} {a}} ight) cosh xi -gamma}}} = {frac {deta} {sqrt {-Ecos ^ {2} eta + vlevo ({frac {mu _ {1} -mu _ {2}} {a}} ight) cos eta + gamma}}}}}$

dává parametrické řešení

${displaystyle u = int {frac {dxi} {sqrt {Ecosh ^ {2} xi + left ({frac {mu _ {1} + mu _ {2}} {a}} ight) cosh xi -gamma}}} = int {frac {deta} {sqrt {-Ecos ^ {2} eta + vlevo ({frac {mu _ {1} -mu _ {2}} {a}} ight) cos eta + gamma}}}.}$

Protože to jsou eliptické integrály, souřadnice ξ a η lze vyjádřit jako eliptické funkce u.

Konstanta pohybu

Bicentrický problém má pohybovou konstantu, jmenovitě

${displaystyle r_ {1} ^ {2} r_ {2} ^ {2} vlevo ({frac {d heta _ {1}} {dt}} ight) vlevo ({frac {d heta _ {2}} {dt }} ight) -2cleft [mu _ {1} cos heta _ {1} + mu _ {2} cos heta _ {2} ight],}$

ze kterého lze problém vyřešit pomocí metody posledního multiplikátoru.

Derivace

Nové proměnné

Odstranit proti funkce, proměnné se změní na ekvivalentní množinu

${displaystyle varphi _ {r} = int dq_ {r} {sqrt {v_ {r} (q_ {r})}},}$

dávat vztah

${displaystyle v_ {1} (q_ {1}) {dot {q}} _ {1} ^ {2} + v_ {2} (q_ {2}) {dot {q}} _ {2} ^ {2 } + cdots + v_ {s} (q_ {s}) {dot {q}} _ {s} ^ {2} = {dot {varphi}} _ {1} ^ {2} + {dot {varphi}} _ {2} ^ {2} + cdots + {dot {varphi}} _ {s} ^ {2} = F,}$

který definuje novou proměnnou F. Pomocí nových proměnných lze funkce u a w vyjádřit ekvivalentními funkcemi χ a ω. Součet funkcí χ označíme jako Y,

${displaystyle Y = chi _ {1} (varphi _ {1}) + chi _ {2} (varphi _ {2}) + cdots + chi _ {s} (varphi _ {s}),}$

kinetickou energii lze zapsat jako

${displaystyle T = {frac {1} {2}} YF.}$

Podobně, označení součtu funkcí ω pomocí Ž

${displaystyle W = omega _ {1} (varphi _ {1}) + omega _ {2} (varphi _ {2}) + cdots + omega _ {s} (varphi _ {s}),}$

potenciální energie PROTI lze psát jako

${displaystyle V = {frac {W} {Y}}.}$

Lagrangeova rovnice

Lagrangeova rovnice pro r^th proměnná ${displaystyle varphi _ {r}}$ je

${displaystyle {frac {d} {dt}} vlevo ({frac {částečné T} {částečné {tečka {varphi}} _ {r}}} vpravo) = {frac {d} {dt}} vlevo (Y {tečka {varphi}} _ {r} ight) = {frac {1} {2}} F {frac {částečné Y} {částečné varphi _ {r}}} - {frac {částečné V} {částečné varphi _ {r} }}.}$

Vynásobením obou stran ${displaystyle 2Y {dot {varphi}} _ {r}}$, přeuspořádání a využití vztahu 2T = YF získá rovnici

${displaystyle 2Y {dot {varphi}} _ {r} {frac {d} {dt}} vlevo (Y {dot {varphi}} _ {r} ight) = 2T {dot {varphi}} _ {r} { frac {částečné Y} {částečné varphi _ {r}}} - 2R {tečka {varphi}} _ {r} {frac {částečné V} {částečné varphi _ {r}}} = 2 {tečka {varphi}} _ {r} {frac {částečné} {částečné varphi _ {r}}} vlevo [(EV) Yight],}$

které lze zapsat jako

${displaystyle {frac {d} {dt}} vlevo (Y ^ {2} {dot {varphi}} _ {r} ^ {2} ight) = 2E {dot {varphi}} _ {r} {frac {částečné Y} {částečné varphi _ {r}}} - 2 {tečka {varphi}} _ {r} {frac {částečné W} {částečné varphi _ {r}}} = 2E {tečka {varphi}} _ {r} {frac {dchi _ {r}} {dvarphi _ {r}}} - 2 {dot {varphi}} _ {r} {frac {domega _ {r}} {dvarphi _ {r}}},}$

kde E = T + V je (konzervovaná) celková energie. Z toho vyplývá, že

${displaystyle {frac {d} {dt}} vlevo (Y ^ {2} {dot {varphi}} _ {r} ^ {2} ight) = 2 {frac {d} {dt}} vlevo (Echi _ { r} -omega _ {r} ight),}$

které mohou být integrovány jednou, čímž se získá

${displaystyle {frac {1} {2}} Y ^ {2} {dot {varphi}} _ {r} ^ {2} = Echi _ {r} -omega _ {r} + gamma _ {r},}$

Kde ${displaystyle gamma _ {r}}$ jsou konstanty integrace podléhající úspoře energie

${displaystyle sum _ {r = 1} ^ {s} gamma _ {r} = 0.}$

Obrácením druhé odmocniny a oddělením proměnných se získá sada oddělitelně integrovatelných rovnic:

${displaystyle {frac {sqrt {2}} {Y}} dt = {frac {dvarphi _ {1}} {sqrt {Echi _ {1} -omega _ {1} + gamma _ {1}}}} = { frac {dvarphi _ {2}} {sqrt {Echi _ {2} -omega _ {2} + gamma _ {2}}}} = cdots = {frac {dvarphi _ {s}} {sqrt {Echi _ {s } -omega _ {s} + gamma _ {s}}}}.}$

Reference

Další čtení

• Whittaker, ET (1937). Pojednání o analytické dynamice částic a tuhých těles s úvodem do problému tří těles (4. vydání). New York: Dover Publications. ISBN.