Věta o bonnetech - Bonnets theorem - Wikipedia

v klasická mechanika, Bonnetova věta uvádí, že pokud n odlišný platnost pole produkují stejnou geometrickou dráhu (řekněme elipsu daných rozměrů), i když s jinou rychlosti proti₁, proti₂,...,proti_n v daném bodě P, pak bude stejná oběžná dráha sledována, pokud bude rychlost v bodě P rovná se

${ displaystyle v _ { mathrm {kombinované}} = { sqrt {v_ {1} ^ {2} + v_ {2} ^ {2} + cdots + v_ {n} ^ {2}}}}$

Dějiny

Tuto větu nejprve odvodil Adrien-Marie Legendre v roce 1817,^[1] ale je pojmenován po Pierre Ossian Bonnet.

Derivace

Tvar obíhat je určen pouze dostředivé síly v každém bodě oběžné dráhy, což jsou síly působící kolmo na oběžnou dráhu. Naproti tomu síly podél oběžná dráha mění pouze rychlost, ale ne směr, rychlost.

Nechte okamžitý poloměr zakřivení v bodě P na oběžné dráze označen jako R. Pro k^th silové pole, které produkuje tuto oběžnou dráhu, síla kolmá k oběžné dráze F_k musí poskytnout dostředivá síla

${ displaystyle F_ {k} = { frac {m} {R}} v_ {k} ^ {2}}$

Sečtením všech těchto sil se získá rovnice

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} F_ {k} = { frac {m} {R}} sum _ {k = 1} ^ {n} v_ {k} ^ {2} }$

Kombinované silové pole tedy produkuje stejnou oběžnou dráhu, pokud je rychlost v bodě P je nastaven na

${ displaystyle v _ { mathrm {kombinované}} = { sqrt {v_ {1} ^ {2} + v_ {2} ^ {2} + cdots + v_ {n} ^ {2}}}}$

Reference