Lindelöfsovo lemma - Lindelöfs lemma - Wikipedia

v matematika, Lindelöfovo lema je jednoduchý, ale užitečný lemma v topologie na skutečná linie, pojmenovaný pro Finština matematik Ernst Leonard Lindelöf.

Prohlášení o lemmatu

Skutečná čára má standardní topologii. Pak každý otevřeno podmnožina skutečné linie je a počitatelný svaz otevřené intervaly.

Zobecněné prohlášení

Lindelöfovo lema je také známé jako tvrzení, že každý otevřený obal v a druhý spočetný prostor má spočítatelné dílčí úkryt (Kelley 1955: 49). To znamená, že každý druhý spočetný prostor je také a Lindelöfův prostor.

Důkaz zobecněného prohlášení

Zvážit ${ displaystyle B = { beta: beta { text {je základní prvek}} }}$. Od té doby ${ displaystyle X}$ má spočetnou základnu, považujeme to za ${ displaystyle B = left { beta _ {1}, beta _ {2}, cdots right }}$ do nekonečna. Zvažte otevřený kryt, ${ displaystyle { mathcal {F}} = bigcup _ { alpha} U _ { alpha}}$. Abychom se připravili na následující odpočet, definujeme pro pohodlí dvě sady, ${ displaystyle B _ { alpha}: = left { beta v B: beta podmnožina U _ { alpha} right }}$, ${ displaystyle B ': = bigcup _ { alpha} B _ { alpha}}$.

Přímé, ale zásadní pozorování je, že ${ displaystyle U _ { alpha} = bigcup _ { beta v B _ { alpha}} beta}$ což je z definice základny. (Zde používáme definici „základny“ v MAArmstrong, Základní topologie, kapitola 2, §1, tj. Soubor otevřených množin, takže každá otevřená množina je spojením členů této sbírky.) Proto můžeme získat že,

${ displaystyle { mathcal {F}} = bigcup _ { alpha} U _ { alpha} = bigcup _ { alpha} bigcup _ { beta v B _ { alpha}} beta = bigcup _ { beta v B '} beta}$

kde ${ displaystyle B ' podmnožina B}$, a je tedy nanejvýš počítatelný. Dále podle konstrukce pro každého ${ displaystyle beta v B '}$ některé jsou ${ displaystyle delta _ { beta}}$ takhle ${ displaystyle beta v U _ { delta _ { beta}}}$. Můžeme tedy psát

${ displaystyle { mathcal {F}} = bigcup _ { beta v B '} U _ { delta _ { beta}}}$

vyplňování důkazu.

Reference

1. J.L. Kelley (1955), Obecná topologie, van Nostrand.
2. Armstrong (1983), Základní topologieSpringer.

Tento související s topologií článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.