Lindelöfsova věta - Lindelöfs theorem - Wikipedia

v matematika, Lindelöfova věta je výsledkem v komplexní analýza pojmenoval podle Finština matematik Ernst Leonard Lindelöf. Uvádí se v něm, že a holomorfní funkce na polovičním pruhu v složité letadlo to je ohraničený na hranice pásu a neroste „příliš rychle“ v neomezeném směru pásu, musí zůstat ohraničený na celém pásu. Výsledek je užitečný při studiu Funkce Riemann zeta, a je zvláštním případem Princip Phragmén – Lindelöf. Viz také Hadamardova věta o třech řádcích.

Výrok věty

Nechť Ω je půlpás v komplexní rovině:

${ displaystyle Omega = {z in mathbb {C} | x_ {1} leq mathrm {Re} (z) leq x_ {2} { text {and}} mathrm {Im} ( z) geq y_ {0} } subsetneq mathbb {C}. ,}$

Předpokládejme to ƒ je holomorfní (tj. analytický ) na Ω a že existují konstanty M, A a B takhle

${ displaystyle | f (z) | leq M { text {pro všechny}} z v částečné Omega ,}$

a

${ displaystyle { frac {| f (x + iy) |} {y ^ {A}}} leq B { text {pro všechny}} x + iy in Omega. ,}$

Pak F je ohraničen M na všech Ω:

${ displaystyle | f (z) | leq M { text {pro všechny}} z v Omega. ,}$

Důkaz

Opravte bod ${ displaystyle xi = sigma + i tau}$ uvnitř ${ displaystyle Omega}$. Vybrat ${ displaystyle lambda> -y_ {0}}$, celé číslo ${ displaystyle N> A}$ a ${ displaystyle y_ {1}> tau}$ dostatečně velký na to${ displaystyle { frac {By_ {1} ^ {A}} {(y_ {1} + lambda) ^ {N}}} leq { frac {M} {(y_ {0} + lambda) ^ {N}}}}$. Přihlašování princip maximálního modulu k funkci ${ displaystyle g (z) = { frac {f (z)} {(z + i lambda) ^ {N}}}}$ a obdélníková oblast ${ displaystyle {z in mathbb {C} | x_ {1} leq mathrm {Re} (z) leq x_ {2} { text {and}} y_ {0} leq mathrm { Im} (z) leq y_ {1} }}$ získáváme ${ displaystyle | g ( xi) | leq { frac {M} {(y_ {0} + lambda) ^ {N}}}}$, to znamená, ${ displaystyle | f ( xi) | leq M vlevo ({ frac {| xi + lambda |} {y_ {0} + lambda}} vpravo) ^ {N}}$. Pronájem ${ displaystyle lambda rightarrow + infty}$ výnosy ${ displaystyle | f ( xi) | leq M}$ podle potřeby.

Reference

• Edwards, H.M. (2001). Riemannova funkce Zeta. New York, NY: Dover. ISBN  0-486-41740-9.