Leinsterova skupina - Leinster group
V matematice, a Leinsterova skupina je konečný skupina jehož objednat se rovná součtu jeho řádů normální podskupiny.[1][2]
Skupiny Leinster jsou pojmenovány po Tomu Leinsterovi, matematikovi z University of Edinburgh, který o nich psal v článku napsaném v roce 1996, ale publikovaném až v roce 2001.[3] Nazval je „dokonalými skupinami“,[3] a později „neposkvrněné skupiny“,[4]ale byli přejmenováni na Leinsterovy skupiny De Medts & Maróti (2013), protože "dokonalá skupina „již měl jiný význam (skupina, která se rovná jeho podskupina komutátoru ).[2]
Leinsterovy skupiny poskytují skupinově teoretický způsob analýzy perfektní čísla a přístupu k dosud nevyřešenému problému existence lichých dokonalých čísel cyklická skupina, objednávky podskupin jsou právě dělitele pořadí skupiny, takže cyklická skupina je Leinsterova skupina právě tehdy, když její pořadí je dokonalé číslo.[2] Silněji, jak dokázal Leinster, an abelianská skupina je Leinsterova skupina právě tehdy, pokud jde o cyklickou skupinu, jejíž pořadí je perfektní číslo.[3]
Příklady
Cyklické skupiny, jejichž pořadí je perfektní číslo, jsou Leinsterovy skupiny.[3]
Je možné, že neabelovská Leinsterova skupina má liché pořadí; příklad objednávky 355433039577 zkonstruoval François Brunault.[1][4]
Další příklady neabelovských Leinsterových skupin zahrnují určité skupiny formy , kde je střídavá skupina a je cyklická skupina. Například skupiny , [4], a [5] jsou Leinsterovy skupiny. Stejné příklady lze také sestrojit se symetrickými skupinami, tj. Skupinami formuláře , jako .[3]
Možné objednávky Leinsterových skupin tvoří celočíselná sekvence
Vlastnosti
- Neexistují žádné Leinsterovy skupiny, které by byly symetrické nebo střídavé.[3]
- Neexistuje skupina Leinsterů řádu p2q2, kde p, q jsou prvočísla.[1]
- Žádné konečné částečně jednoduchá skupina je Leinster.[1]
- Ne str-skupina může být skupina Leinster.[4]
- Všechny abelianské Leinsterovy skupiny jsou cyklické s řádem rovným dokonalému počtu.[3]
Reference
- ^ A b C d Baishya, Sekhar Jyoti (2014), „Revisiting the Leinster groups“, Comptes Rendus Mathématique, 352 (1): 1–6, doi:10.1016 / j.crma.2013.11.009, PAN 3150758.
- ^ A b C De Medts, Tom; Maróti, Attila (2013), „Perfektní čísla a konečné skupiny“ (PDF), Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, 129: 17–33, doi:10.4171 / RSMUP / 129-2, PAN 3090628.
- ^ A b C d E F G Leinster, Tom (2001), „Perfektní čísla a skupiny“, Heuréka, 55: 17–27, arXiv:matematika / 0104012, Bibcode:Matematika 2001 ... 4012L
- ^ A b C d Leinster, Tom (2011), „Existuje skupina lichých řádů, jejichž pořadí je součtem řádů správných normálních podskupin?“, MathOverflow. Přijatá odpověď François Brunault, cit Baishya (2014).
- ^ Weg, Yanior (2018), "Řešení rovnice (m! + 2)σ(n) = 2n⋅m! kde 5 ≤ m", math.stackexchange.com. Přijatá odpověď Julian Aguirre.