Asano kontrakce - Asano contraction - Wikipedia

v komplexní analýza, obor v matematice a v statistická fyzika, Asano kontrakce nebo Asano – Ruelleova kontrakce je transformace na samostatně afinním vícerozměrném polynomu. Poprvé byl představen v roce 1970 Taro Asanem, aby prokázal Lee – Yangova věta v Heisenbergův spinový model případ. To také přineslo jednoduchý důkaz Lee-Yangovy věty v Isingův model. David Ruelle se ukázala jako obecná věta vztahující se k umístění kořenů kontraktovaného polynomu k původnímu. Asano kontrakce byly také použity ke studiu polynomů v teorii grafů.

Definice

Nechat ${ displaystyle Phi (z_ {1}, z_ {2}, ldots, z_ {n})}$ být polynomem, který při pohledu jako funkce pouze jedné z těchto proměnných je afinní funkce. Takové funkce se nazývají samostatně afinní. Například, ${ displaystyle a + bz_ {1} + cz_ {2} + dz_ {1} z_ {2}}$ je obecná forma samostatně afinní funkce ve dvou proměnných. Jakoukoli samostatně afinní funkci lze zapsat, pokud jde o kteroukoli ze dvou jejích proměnných, jako ${ displaystyle Phi (z_ {i}, z_ {j}) = a + bz_ {i} + cz_ {j} + dz_ {i} z_ {j}}$. Asano kontrakce ${ displaystyle (z_ {i}, z_ {j}) mapsto z}$ posílá ${ displaystyle Phi}$ na ${ displaystyle { tilde { Phi}} = a + dz}$.^[1]

Umístění nul

Asano kontrakce se často používají v kontextu vět o umístění kořenů. Asano je původně používal, protože zachovávají vlastnost, že nemají žádné kořeny, když mají všechny proměnné velikost větší než 1.^[2] Ruelle poskytla obecnější vztah, který umožňoval použití kontrakcí ve více aplikacích.^[3] Ukázal, že pokud existují uzavřené sady ${ displaystyle M_ {1}, M_ {2}, ldots, M_ {n}}$ neobsahující 0 takových ${ displaystyle Phi}$ nemůže zmizet, pokud ${ displaystyle z_ {i} v M_ {i}}$ pro nějaký index ${ displaystyle i}$, pak ${ displaystyle { tilde { Phi}} = ((z_ {j}, z_ {k}) mapsto z) ( Phi)}$ může zmizet, pouze pokud ${ displaystyle z_ {i} v M_ {i}}$ pro nějaký index ${ displaystyle i neq k, j}$ nebo ${ displaystyle z in -M_ {j} M_ {k}}$ kde ${ displaystyle -M_ {j} M_ {k} = {- ab; a v M_ {j}, b v M_ {k} }}$ ^[4] Ruelle a další použili tuto větu k propojení nul funkce oddílu s nulami funkce oddílu jeho subsystémů.

Použití

Asano kontrakce mohou být použity ve statistické fyzice k získání informací o systému z jeho subsystémů. Předpokládejme například, že máme systém s konečnou množinou ${ displaystyle Lambda}$ částic s magnetické točení buď 1 nebo -1. Pro každý web máme komplexní proměnnou ${ displaystyle z_ {x}}$ Pak můžeme definovat samostatně afinní polynom ${ displaystyle P (z _ { Lambda}) = součet _ {X subseteq Lambda} c_ {X} z ^ {X}}$ kde ${ displaystyle z ^ {X} = prod _ {x v X} z_ {x}}$, ${ displaystyle c_ {X} = e ^ {- beta U (X)}}$ a ${ displaystyle U (X)}$ je energie státu, kde jsou pouze místa v ${ displaystyle X}$ mít pozitivní rotaci. Pokud jsou všechny proměnné stejné, je to funkce oddílu. Teď když ${ displaystyle Lambda = Lambda _ {1} čepice Lambda _ {2}}$, pak ${ displaystyle P (z _ { Lambda})}$ se získává z ${ displaystyle P (z _ { Lambda _ {1}}) P (z _ { Lambda _ {2}})}$ uzavřením smlouvy s proměnnou připojenou k identickým stránkám.^[4] Důvodem je, že kontrakce Asano v podstatě eliminuje všechny podmínky, kde se točení v místě liší ${ displaystyle P (z _ { Lambda _ {1}})}$ a ${ displaystyle P (z _ { Lambda _ {2}})}$.

Ruelle také použil Asano kontrakce k nalezení informací o umístění kořenů zobecnění odpovídající polynomy který nazývá polynomy počítající grafy. Každému okraji přiřadí proměnnou. Pro každý vrchol vypočítá symetrický polynom v proměnných odpovídajících hranám dopadajícím na tento vrchol. Symetrický polynom obsahuje pojmy stupně rovnající se povolenému stupni pro daný uzel. Pak tyto symetrické polynomy znásobí dohromady a pomocí Asano kontrakcí udržuje pouze termíny, kde je hrana přítomna v obou jejích koncových bodech. Pomocí Věta Grace – Walsh – Szegő a protínající všechny množiny, které lze získat, dává Ruelle množiny obsahující kořeny několika typů těchto symetrických polynomů. Vzhledem k tomu, že polynom sčítání grafů byl z nich získán pomocí Asano kontrakcí, většina zbývající práce spočívá v počítání produktů těchto sad.^[5]

Reference