Teorie Lee – Yang - Lee–Yang theory

v statistická mechanika, Teorie Lee – Yang, někdy také známý jako Teorie Yang-Lee, je vědecká teorie který se snaží popsat fázové přechody ve velkém fyzické systémy v termodynamický limit na základě vlastností malých systémů konečné velikosti. Teorie se točí kolem složitých nul funkce oddílů systémů konečné velikosti a jak mohou odhalit existenci fázových přechodů v termodynamickém limitu.^[1][2]

Teorie Lee – Yang je nepostradatelnou součástí teorií fázových přechodů. Původně vyvinut pro Isingův model, teorie byla rozšířena a aplikována na širokou škálu modelů a jevů, včetně skládání bílkovin,^[3] perkolace,^[4] komplexní sítě,^[5] a molekulární zipy.^[6]

Tato teorie je pojmenována po laureátech Nobelovy ceny Tsung-Dao Lee a Yang Chen-Ning,^[7][8] kteří byli oceněni v roce 1957 Nobelova cena za fyziku za jejich práci na nezachování parity slabá interakce.^[9]

Úvod

Pro rovnovážný systém v kanonický soubor, všechny statistické informace o systému jsou zakódovány ve funkci oddílu,

${ displaystyle Z = sum _ {i} e ^ {- beta E_ {i}},}$

kde součet přejde vše možné microstates, a ${ displaystyle beta = 1 / (k_ {B} T)}$ je inverzní teplota, ${ displaystyle k_ {B}}$ je Boltzmannova konstanta a ${ displaystyle E_ {i}}$ je energie mikrostavu. The momenty ${ displaystyle langle E ^ {n} rangle}$ energetické statistiky se získá vícenásobnou diferenciací funkce oddílu s ohledem na inverzní teplotu,

${ displaystyle langle E ^ {n} rangle = { frac {1} {Z}} částečné _ {- beta} ^ {n} Z = { frac { sum _ {i} E_ {i } ^ {n} e ^ {- beta E_ {i}}} { sum _ {i} e ^ {- beta E_ {i}}}}.}$

Z funkce oddílu můžeme také získat energie zdarma

${ displaystyle F = - beta ^ {- 1} log [Z].}$

Analogicky k tomu, jak funkce oddílu generuje momenty, generuje volná energie kumulanty energetické statistiky

${ displaystyle langle ! langle E ^ {n} rangle ! rangle = částečný _ {- beta} ^ {n} (- beta F).}$

Obecněji řečeno, v případě, že microstate energie ${ displaystyle E_ {i} (q) = E_ {i} (0) -q Phi _ {i}}$ závisí na a kontrolní parametr ${ displaystyle q}$ a proměnlivá konjugovaná proměnná ${ displaystyle Phi}$ (jehož hodnota může záviset na microstate), momenty ${ displaystyle Phi}$ lze získat jako

${ displaystyle langle Phi ^ {n} rangle = { frac {1} {Z}} beta ^ {- n} částečný _ {q} ^ {n} Z (q) = { frac { 1} {Z}} beta ^ {- n} částečný _ {q} ^ {n} sum _ {i} e ^ {- beta E_ {i} (q)} = { frac { sum _ {i} Phi _ {i} ^ {n} e ^ { beta E_ {i} (0) + beta q Phi _ {i}}} { sum _ {i} e ^ { beta E_ {i} (0) + beta q Phi _ {i}}}},}$

a kumulanty jako

${ displaystyle langle ! langle Phi ^ {n} rangle ! rangle = beta ^ {- n} částečný _ {q} ^ {n} [- beta F (q)].}$

Například pro a roztočit systému, může být řídícím parametrem externí magnetické pole, ${ displaystyle q = h}$a proměnnou konjugátu může být celková magnetizace, ${ displaystyle Phi = M}$.

Fázové přechody a Lee-Yangova teorie

Ilustrace toho, jak nuly nejblíže ke skutečné ose (červené kruhy) v komplexní rovině řídicího parametru ${ displaystyle q}$ se může pohybovat s rostoucí velikostí systému ${ displaystyle N}$směrem k (skutečné) kritické hodnotě ${ displaystyle q ^ {*}}$ (plný kruh), pro který probíhá fázový přechod v termodynamickém limitu.

Funkce rozdělení a volná energie jsou úzce spojeny s fázovými přechody, u nichž dochází k náhlé změně vlastností fyzického systému. Matematicky k fázovému přechodu dojde, když zmizí funkce rozdělení a volná energie je singulární (neanalytický ). Například pokud je první derivace volné energie s ohledem na řídicí parametr nespojitá, může dojít k skoku v průměrné hodnotě fluktuující konjugované proměnné, jako je magnetizace, odpovídající fázový přechod prvního řádu.

Důležité je, že pro systém konečné velikosti ${ displaystyle Z (q)}$ je konečný součet exponenciálních funkcí a je tedy vždy pozitivní pro skutečné hodnoty ${ displaystyle q}$. Tudíž, ${ displaystyle F (q)}$ je vždy dobře vychovaný a analytický pro konečné velikosti systému. Naproti tomu v termodynamickém limitu ${ displaystyle F (q)}$ může vykazovat neanalytické chování.

Pomocí toho ${ displaystyle Z (q)}$ je celá funkce pro konečné velikosti systému využívá teorie Lee – Yang skutečnost, že funkci oddílu lze plně charakterizovat nulami v komplex letadlo ${ displaystyle q}$. Tyto nuly jsou často známé jako Lee – Yang nuly nebo v případě inverzní teploty jako regulačního parametru Fisherovy nuly. Hlavní myšlenkou Lee-Yangovy teorie je matematicky studovat, jak se polohy a chování nul mění s rostoucí velikostí systému. Pokud se nuly pohybují na skutečnou osu regulačního parametru v termodynamickém limitu, signalizuje přítomnost fázového přechodu na odpovídající reálné hodnotě ${ displaystyle q = q ^ {*}}$.

Tímto způsobem Lee-Yangova teorie navazuje spojení mezi vlastnostmi (nuly) dělící funkce pro systém konečné velikosti a fázovými přechody, které mohou nastat v termodynamickém limitu (kde velikost systému jde do nekonečna).

Příklady

Molekulární zip

The molekulární zip je model hračky, který lze použít k ilustraci teorie Lee – Yang. Má tu výhodu, že všechna množství, včetně nul, lze vypočítat analyticky. Model je založen na dvouřetězcové makromolekule s ${ displaystyle N}$ odkazy, které mohou být otevřené nebo uzavřené. U plně uzavřeného zipu je energie nulová, zatímco u každého otevřeného článku se energie zvyšuje o určité množství ${ displaystyle varepsilon}$. Odkaz může být otevřen, pouze pokud je otevřen i předchozí.^[6]

Pro číslo ${ displaystyle g}$ z různých způsobů, jak lze odkaz otevřít, je funkce oddílu zipu s ${ displaystyle N}$ čte odkazy

${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ {N} g ^ {n} e ^ {- beta n varepsilon} = { frac {1- (ge ^ {- beta varepsilon}) ^ {N + 1}} {1-ge ^ {- beta varepsilon}}}}$.

Tato funkce oddílu má složité nuly

${ displaystyle beta _ {k} = beta _ {c} + { frac {2 pi k} { varepsilon (N + 1)}} i, qquad k in {- N, .. ., N } zpětné lomítko {0 },}$

kde jsme zavedli kritickou inverzní teplotu ${ displaystyle beta _ {c} ^ {- 1} = k_ {B} T_ {c}}$, s ${ displaystyle T_ {c} = { frac { varepsilon} {k_ {B} log g}}}$. Vidíme to v limitu ${ displaystyle N rightarrow infty}$, nuly nejblíže skutečné ose se blíží kritické hodnotě ${ displaystyle beta _ {k} = beta _ {c}}$. Pro ${ displaystyle g = 1}$, je kritická teplota nekonečná a pro konečnou teplotu nedochází k fázovému přechodu. Naproti tomu pro ${ displaystyle g> 1}$, fázový přechod probíhá při konečné teplotě ${ displaystyle T_ {c}}$.

Abychom potvrdili, že systém vykazuje neanalytické chování v termodynamickém limitu, uvažujeme energie zdarma

${ displaystyle F = U-TS = n ( varepsilon -k_ {B} T log g),}$

nebo ekvivalentně bezrozměrná volná energie na odkaz

${ displaystyle { frac {F} {N varepsilon}} = { frac {n} {N}} (1-T / T_ {c}).}$

V termodynamickém limitu získáme

${ displaystyle lim _ {N rightarrow infty} { frac {F} {N varepsilon}} = lim _ {N rightarrow infty} - beta ^ {- 1} log [Z] = lim _ {N rightarrow infty} - beta ^ {- 1} log left [{ frac {1- (ge ^ {- beta varepsilon}) ^ {N + 1}} {1- ge ^ {- beta varepsilon}}} right] = { begin {cases} 1-T / T_ {c}, & T> T_ {c} 0, & T leq T_ {c} end { případy}}}$.

Ve skutečnosti se vyvine hrot ${ displaystyle T_ {c}}$ v termodynamickém limitu. V tomto případě je první derivace volné energie diskontinuální, což odpovídá a fázový přechod prvního řádu.^[6]

Isingův model

Isingův model je původní model, který Lee a Yang studovali, když vyvinuli svou teorii o nulách rozdělení funkcí. Isingův model se skládá ze spinové mřížky s ${ displaystyle N}$ točí se ${ displaystyle { sigma _ {k} }}$, každý směřující nahoru, ${ displaystyle sigma _ {k} = + 1}$nebo dolů, ${ displaystyle sigma _ {k} = - 1}$. Každá rotace může také silně interagovat se svými nejbližšími sousedy ${ displaystyle J_ {ij}}$. Navíc externí magnetické pole ${ displaystyle h> 0}$ lze použít (zde předpokládáme, že je to jednotné a tedy nezávislé na indexech rotace). The Hamiltonian systému pro určitou konfiguraci odstřeďování ${ displaystyle { sigma _ {i} }}$ pak čte

${ displaystyle H ( { sigma _ {i} }) = - součet _ { langle i, j rangle} J_ {ij} sigma _ {i} sigma _ {j} -h součet _ {j} sigma _ {j}.}$

V tomto případě se přečte funkce oddílu

${ displaystyle Z ( { sigma _ {i} }) = součet _ { { sigma _ {i} }} e ^ {- beta H ( { sigma _ {i} } )}}$

Nule této funkce oddílu nelze určit analyticky, což vyžaduje numerické přístupy.

Lee – Yangova věta

Pro feromagnetický Isingův model, pro který ${ displaystyle J_ {ij} geq 0}$ pro všechny ${ displaystyle i, j}$, Lee a Yang ukázali, že všechny nuly ${ displaystyle Z ( { sigma _ {i} })}$ leží na jednotkové kružnici v komplexní rovině parametru ${ displaystyle z equiv exp (-2 beta h)}$.^[7][8] Toto prohlášení je známé jako Lee – Yangova věta, a později byl zobecněn na další modely, například Heisenbergův model.

Dynamické fázové přechody

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Září 2020)

Podobný přístup lze použít ke studiu dynamických fázových přechodů. Tyto přechody jsou charakterizovány Amplituda Loschmidta, který hraje analogickou roli funkce oddílu.^[10]

Spojení s fluktuacemi

Lee – Yangovy nuly mohou být připojeny k kumulanty konjugované proměnné ${ displaystyle Phi}$ řídicí proměnné ${ displaystyle q}$.^[11][12] Pro stručnost jsme nastavili ${ displaystyle beta = 1}$ v následujícím. Pomocí této funkce oddílu je celá funkce pro systém konečné velikosti je možné jej rozšířit, pokud jde o jeho nuly jako

${ displaystyle Z (q) = Z (0) e ^ {cq} prod _ {k} (1-q / q_ {k}),}$

kde ${ displaystyle Z (0)}$ a ${ displaystyle c}$ jsou konstanty a ${ displaystyle q_ {k}}$ je ${ displaystyle k}$: nula v komplexní rovině ${ displaystyle q}$. Poté se přečte odpovídající volná energie

${ displaystyle -F (q) = log [Z (q)] = log [Z (0)] + cq + sum _ {k} log [1-q / q_ {k}].}$

Diferenciace tohoto výrazu ${ displaystyle n}$ krát s ohledem na ${ displaystyle q}$, dává ${ displaystyle n}$: kumulativní objednávka

${ displaystyle langle ! langle Phi ^ {n} rangle ! rangle = částečné _ {q} ^ {n} [- F (q)] = - součet _ {k} { frac {(n-1)!} {(q_ {k} -q) ^ {n}}}, quad n> 1.}$

Navíc, když použijeme tuto funkci rozdělení, je skutečná funkce, nuly Lee – Yang musí přicházet ve složitých konjugovaných párech, což nám umožňuje vyjádřit kumulanty jako

${ displaystyle langle ! langle Phi ^ {n} rangle ! rangle = - (n-1)! sum _ {k} { frac {2 cos (n arg {q_ { k} -q })} {| q_ {k} -q | ^ {n}}}, quad n> 1,}$

kde součet nyní běží pouze nad každou dvojicí nul. Tím se vytváří přímé spojení mezi kumulanty a nulami Lee – Yang.

Navíc pokud ${ displaystyle n}$ je velký, příspěvek od nul ležících daleko od ${ displaystyle q}$ je silně potlačen a pouze nejbližší pár ${ displaystyle q_ {0}}$ nul hraje důležitou roli. Jeden pak může psát

${ displaystyle langle ! langle Phi ^ {n} rangle ! rangle simeq - (n-1)! { frac {2 cos (n arg {q_ {0} -q })} {| q_ {0} -q | ^ {n}}}, quad n gg 1.}$

Tuto rovnici lze řešit jako lineární soustavu rovnic, což umožňuje určovat Lee – Yangovy nuly přímo z kumulantů konjugované proměnné vyššího řádu:^[11][12]

${ displaystyle { begin {bmatrix} 2 { text {Re}} [q-q_ {0}] | q-q_ {0} | end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & - { frac { kappa _ {n} ^ {(+)}} {n}} 1 & - { frac { kappa _ {n + 1} ^ {(+)}} {n + 1}} end {bmatrix}} ^ {- 1} { begin {bmatrix} (n-1) kappa _ {n} ^ {(-)} n kappa _ {n + 1} ^ {(-) } end {bmatrix}}, qquad kappa ^ { pm} equiv { frac { langle ! langle Phi ^ {n pm 1} rangle ! rangle} { langle ! langle Phi ^ {n} rangle ! rangle}}.}$

Experimenty

Jelikož se jedná o komplexní čísla fyzické proměnné, nula Lee – Yang byla tradičně považována za čistě teoretický nástroj k popisu fázových přechodů s malou nebo žádnou souvislostí s experimenty. V sérii experimentů v roce 2010 však byly z reálných měření určeny různé druhy nul Lee – Yang. V jednom experimentu v roce 2015 byly nuly Lee – Yang extrahovány experimentálně měřením kvantové koherence spinu spojeného se spací lázní typu Ising.^[13] V dalším experimentu v roce 2017 byly z Andreevových tunelovacích procesů mezi ostrovem normálního stavu a dvěma supravodivými vodiči extrahovány dynamické nuly Lee – Yang.^[14] Dále v roce 2018 proběhl experiment určující dynamické Fisherovy nuly Loschmidtovy amplitudy, který lze použít k identifikaci dynamické fázové přechody.^[15]

Viz také

• Lee – Yangova věta

Reference