Lebesgues univerzální krycí problém - Lebesgues universal covering problem - Wikipedia

Rovnostranný trojúhelník o průměru 1 se nevejde do kruhu o průměru 1

Lebesgueův univerzální krycí problém je nevyřešený problém v geometrie který žádá o konvexní tvar nejmenší plochy, která může pokrýt jakoukoli rovinnou sadu o průměru jedna. The průměr množiny podle definice je nejmenší horní hranice vzdáleností mezi všemi dvojicemi bodů v množině. Tvar pokrývá sadu, pokud obsahuje shodnou podmnožinu. Jinými slovy, sadu lze otáčet, překládat nebo odrážet, aby se vešla do tvaru.

Nevyřešený problém v matematice: Jaká je minimální plocha konvexního tvaru, která může pokrýt každou rovinnou sadu o průměru jednoho? (více nevyřešených úloh z matematiky)

Problém představoval Henri Lebesgue v dopise Gyula Pál v roce 1914. Byl publikován v příspěvku Pála v roce 1920 spolu s Pálovou analýzou.^[1] Ukázal, že krytí pro všechny křivky konstantní šířky jeden je také kryt pro všechny sady průměru jedna a že kryt lze sestrojit pomocí pravidelného šestiúhelník s vepsanou kružnicí o průměru jedna a odstraněním dvou rohů ze šestiúhelníku, aby byla pokryta plocha ${ displaystyle 2 - { frac {2} { sqrt {3}}} přibližně 0,84529946}$.

Tvar načrtnutý černě je Pálovým řešením Lebesgueova univerzálního krycího problému. Do ní byly zahrnuty rovinné tvary s průměrem jedna: kruh (modře), Reuleauxův trojúhelník (červeně) a čtverec (zeleně).

Známé hranice

V roce 1936 Roland Sprague ukázal, že část Pálova krytu mohla být odstraněna poblíž jednoho z ostatních rohů, zatímco si stále zachovala svůj majetek jako kryt.^[2] To snížilo horní hranici oblasti na ${ displaystyle a leq 0,844137708436}$. V roce 1992 Hansen ukázal, že lze odstranit další dvě velmi malé oblasti Spragueova řešení, čímž se horní hranice sníží na ${ Displaystyle a leq 0,844137708398}$. Hansenova konstrukce byla první, která využila svobodu používat odrazy.^[3] V roce 2015 John Baez, Karine Bagdasaryan a Philip Gibbs ukázali, že pokud jsou rohy odstraněné v Pálově krytu odříznuty pod jiným úhlem, je možné tuto oblast zmenšit a dále poskytnout horní hranici ${ displaystyle a leq 0,8441153}$.^[4]V říjnu 2018 zveřejnil Philip Gibbs dokument o arXiv pomocí středoškolské geometrie a požadováním dalšího snížení na 0,8440935944.^[5][6]

Nejznámější dolní mez pro oblast poskytli Peter Brass a Mehrbod Sharifi pomocí kombinace tří tvarů v optimálním zarovnání ${ displaystyle a geq 0,832}$.^[7]

Viz také

• Moserův problém s červy, jaká je minimální plocha tvaru, který může pokrýt každou křivku jednotkové délky?
• Problém s pohyblivou pohovkou, problém najít tvar maximální plochy, který lze otáčet a překládat chodbou ve tvaru písmene L.
• Sada Kakeya, sada minimální plochy, do které se vejde každý úsečkový segment délky jednotky (s povolenými překlady, ale ne s rotacemi)

Reference