Problém s červem Mosers - Mosers worm problem - Wikipedia

Nevyřešený problém v matematice: Jaká je minimální plocha tvaru, který dokáže pokrýt každou křivku jednotkové délky? (více nevyřešených úloh z matematiky)

Moserův problém s červy (také známý jako problém přikrývky matky červa) je nevyřešený problém v geometrie formuloval rakousko-kanadský matematik Leo Moser v roce 1966. Problém si žádá oblast nejmenší plocha který pojme každého rovinná křivka délky 1. Zde „akomodovat“ znamená, že křivka může být otočeno a přeloženo aby se vešly do regionu. V některých variantách problému je region omezen na konvexní.

Příklady

Například a kruhový disk poloměru 1/2 může pojmout jakoukoli rovinnou křivku délky 1 umístěním středu křivky do středu disku. Další možné řešení má tvar a kosočtverec s úhly vrcholů 60 a 120 stupňů (π/ 3 a 2π/3 radiány ) a s dlouhou úhlopříčkou jednotkové délky.^[1] Nejedná se však o optimální řešení; jsou známy jiné tvary, které řeší problém s menšími plochami.

Vlastnosti řešení

Není zcela triviální, že řešení existuje - alternativní možností by bylo, že existuje nějaká minimální oblast, na kterou lze přistupovat, ale ve skutečnosti ji dosáhnout nelze. V konvexním případě však existence řešení vyplývá z Blaschkeova věta o výběru.^[2]

Rovněž není triviální určovat, zda daný tvar tvoří řešení. Gerriets & Poole (1974) domníval se, že tvar pojme každou křivku jednotkové délky právě tehdy, pokud pojme každý polygonální řetězec se třemi segmenty o jednotkové délce, což je snadněji testovatelný stav, ale Panraksa, Wetzel a Wichiramala (2007) ukázaly, že pro tento test nebude stačit žádná konečná vazba na počet segmentů v polychainu.

Známé hranice

Problém zůstává otevřený, ale během řady článků vědci zmenšili mezeru mezi známou dolní a horní hranicí. Zejména, Norwood & Poole (2003) zkonstruoval (nekonvexní) univerzální kryt a ukázal, že minimální tvar má plochu maximálně 0,260437; Gerriets & Poole (1974) a Norwood, Poole & Laidacker (1992) dal slabší horní hranice. V konvexním případě Wang (2006) vylepšil horní hranici na 0,270911861. Khandhawit, Pagonakis & Sriswasdi (2013) použil min-max strategii pro oblast konvexní množiny obsahující segment, trojúhelník a obdélník, aby ukázal dolní hranici 0,232239 pro konvexní obálku.

V 70. letech se John Wetzel domníval, že 30 ° kruhový sektor o poloměru jednotky je kryt s plochou ${ displaystyle pi / 12 přibližně 0,2618}$. Dva důkazy domněnky byly nezávisle nárokovány Movshovich & Wetzel (2017) a tím Panraksa a Wichiramala (2019). Pokud to potvrdí peer-review, sníží to horní hranici konvexního krytu asi o 3%.

Viz také

• Problém s pohyblivou pohovkou, problém najít tvar maximální plochy, který lze otáčet a překládat chodbou ve tvaru písmene L.
• Sada Kakeya, sada minimální plochy, do které se vejde každý úsečkový segment délky jednotky (s povolenými překlady, ale ne s rotacemi)
• Lebesgueův univerzální krycí problém, najděte nejmenší konvexní oblast, která může pokrýt jakoukoli rovinnou sadu průměrů jednotek
• Bellman se ztratil v lesním problému, najděte nejkratší cestu k úniku z lesa známé velikosti a tvaru.

Poznámky

Reference

• Gerriets, John; Poole, George (1974), „Konvexní oblasti pokrývající oblouky konstantní délky“, Americký matematický měsíčník, 81 (1): 36–41, doi:10.2307/2318909, JSTOR  2318909, PAN  0333991.
• Khandhawit, Tirasan; Pagonakis, Dimitrios; Sriswasdi, Sira (2013), „Lower Bound for Convex Hull Area and Universal Cover Problems“, International Journal of Computational Geometry & Applications, 23 (3): 197–212, arXiv:1101.5638, doi:10.1142 / S0218195913500076, PAN  3158583.
• Norwood, Ricku; Poole, George (2003), „Vylepšená horní hranice problému s červem Leo Mosera“, Diskrétní a výpočetní geometrie, 29 (3): 409–417, doi:10.1007 / s00454-002-0774-3, PAN  1961007.
• Norwood, Ricku; Poole, George; Laidacker, Michael (1992), „Problém červa Leo Mosera“, Diskrétní a výpočetní geometrie, 7 (2): 153–162, doi:10.1007 / BF02187832, PAN  1139077.
• Panraksa, Chatchawan; Wetzel, John E .; Wichiramala, Wacharin (2007), „Krycí n-segment segmentu jednotky není dostatečný ", Diskrétní a výpočetní geometrie, 37 (2): 297–299, doi:10.1007 / s00454-006-1258-7, PAN  2295060.
• Wang, Wei (2006), „Vylepšená horní hranice problému s červy“, Acta Mathematica Sinica, 49 (4): 835–846, PAN  2264090.
• Panraksa, Chatchawan; Wichiramala, Wacharin (2019), „Wetzelov sektor pokrývá jednotkové oblouky“, arXiv:1907.07351 [math.MG ].
• Movshovich, Jevgenij; Wetzel, John (2017), „Zakrývající oblouky jednotky zapadají do sektoru 30 ° sektoru“, Pokroky v geometrii, 17, doi:10.1515 / advgeom-2017-0011.