Lane – Emdenova rovnice - Lane–Emden equation

Řešení Lane-Emdenovy rovnice pro n = 0, 1, 2, 3, 4, 5

v astrofyzika, Lane – Emdenova rovnice je bezrozměrná forma Poissonova rovnice pro gravitační potenciál newtonovského samo-gravitačního, sféricky symetrického, polytropní tekutina. Je pojmenována podle astrofyziků Jonathan Homer Lane a Robert Emden.^[1] Rovnice čte

${ displaystyle { frac {1} { xi ^ {2}}} { frac {d} {d xi}} vlevo ({ xi ^ {2} { frac {d theta} {d xi}}} vpravo) + theta ^ {n} = 0,}$

kde ${ displaystyle xi}$ je bezrozměrný poloměr a ${ displaystyle theta}$ souvisí s hustotou, a tedy tlakem, o ${ displaystyle rho = rho _ {c} theta ^ {n}}$ pro centrální hustotu ${ displaystyle rho _ {c}}$. Index ${ displaystyle n}$ je polytropický index, který se objevuje v polytropické stavové rovnici,

${ displaystyle P = K rho ^ {1 + { frac {1} {n}}} ,}$

kde ${ displaystyle P}$ a ${ displaystyle rho}$ jsou tlak, respektive hustota, a ${ displaystyle K}$ je konstanta proporcionality. Standardní okrajové podmínky jsou ${ displaystyle theta (0) = 1}$ a ${ displaystyle theta '(0) = 0}$. Řešení tedy popisují průběh tlaku a hustoty s poloměrem a jsou známa jako polytropy indexu ${ displaystyle n}$. Pokud se místo polytropní kapaliny použije izotermická kapalina (polytropní index má sklon k nekonečnu), získá se Emden – Chandrasekharova rovnice.

Aplikace

Fyzicky hydrostatická rovnováha spojuje gradient potenciálu, hustotu a gradient tlaku, zatímco Poissonova rovnice spojuje potenciál s hustotou. Pokud tedy máme další rovnici, která určuje, jak se tlak a hustota navzájem mění, můžeme dosáhnout řešení. Zvláštní výběr polytropického plynu, jak je uveden výše, činí matematické vyjádření problému obzvláště stručným a vede k rovnici Lane – Emden. Rovnice je užitečnou aproximací pro samo-gravitační sféry plazmy, jako jsou hvězdy, ale obvykle je to spíše omezující předpoklad.

Derivace

Z hydrostatické rovnováhy

Vezměme si samo gravitační sféricky symetrickou tekutinu hydrostatická rovnováha. Mše je konzervována a tak ji popisuje rovnice spojitosti

${ displaystyle { frac {dm} {dr}} = 4 pi r ^ {2} rho}$

kde ${ displaystyle rho}$ je funkce ${ displaystyle r}$. Rovnice hydrostatické rovnováhy je

${ displaystyle { frac {1} { rho}} { frac {dP} {dr}} = - { frac {Gm} {r ^ {2}}}}$

kde ${ displaystyle m}$ je také funkcí ${ displaystyle r}$. Opětovné rozlišení dává

${ displaystyle { begin {aligned} { frac {d} {dr}} left ({ frac {1} { rho}} { frac {dP} {dr}} right) & = { frac {2Gm} {r ^ {3}}} - { frac {G} {r ^ {2}}} { frac {dm} {dr}} & = - { frac {2} { rho r}} { frac {dP} {dr}} - 4 pi G rho end {zarovnáno}}}$

kde byla pro nahrazení hmotnostního gradientu použita rovnice kontinuity. Vynásobením obou stran ${ displaystyle r ^ {2}}$ a sběr derivátů z ${ displaystyle P}$ nalevo lze psát

${ displaystyle r ^ {2} { frac {d} {dr}} vlevo ({ frac {1} { rho}} { frac {dP} {dr}} vpravo) + { frac { 2r} { rho}} { frac {dP} {dr}} = { frac {d} {dr}} left ({ frac {r ^ {2}} { rho}} { frac { dP} {dr}} right) = - 4 pi Gr ^ {2} rho}$

Vydělením obou stran ${ displaystyle r ^ {2}}$ výnosy, v jistém smyslu, rozměrová forma požadované rovnice. Pokud navíc dosadíme polytropickou stavovou rovnici za ${ displaystyle P = K rho _ {c} ^ {1 + { frac {1} {n}}} theta ^ {n + 1}}$ a ${ displaystyle rho = rho _ {c} theta ^ {n}}$, my máme

${ displaystyle { frac {1} {r ^ {2}}} { frac {d} {dr}} vlevo (r ^ {2} K rho _ {c} ^ { frac {1} { n}} (n + 1) { frac {d theta} {dr}} right) = - 4 pi G rho _ {c} theta ^ {n}}$

Shromažďování konstant a nahrazování ${ displaystyle r = alpha xi}$, kde

${ displaystyle alpha ^ {2} = (n + 1) K rho _ {c} ^ {{ frac {1} {n}} - 1} / 4 pi G,}$

máme rovnici Lane – Emden,

${ displaystyle { frac {1} { xi ^ {2}}} { frac {d} {d xi}} vlevo ({ xi ^ {2} { frac {d theta} {d xi}}} vpravo) + theta ^ {n} = 0}$

Z Poissonovy rovnice

Ekvivalentně lze začít s Poissonova rovnice,

${ displaystyle nabla ^ {2} Phi = { frac {1} {r ^ {2}}} { frac {d} {dr}} vlevo (r ^ {2} { frac {d Phi} {dr}} vpravo) = 4 pi G rho}$

Dá se nahradit gradient potenciálu pomocí hydrostatické rovnováhy, pomocí

${ displaystyle { frac {d Phi} {dr}} = - { frac {1} { rho}} { frac {dP} {dr}}}$

což opět poskytuje dimenzionální tvar rovnice Lane – Emden.

Přesná řešení

Pro danou hodnotu polytropního indexu ${ displaystyle n}$, označme řešení rovnice Lane – Emden jako ${ displaystyle theta _ {n} ( xi)}$. Obecně musí být rovnice Lane – Emden vyřešena numericky, aby ji bylo možné najít ${ displaystyle theta _ {n}}$. Existují přesná, analytická řešení pro určité hodnoty ${ displaystyle n}$, zejména: ${ displaystyle n = 0,1,5}$. Pro ${ displaystyle n}$ mezi 0 a 5 jsou řešení spojitá a konečná, přičemž poloměr hvězdy je dán vztahem ${ displaystyle R = alpha xi _ {1}}$, kde ${ displaystyle theta _ {n} ( xi _ {1}) = 0}$.

Pro dané řešení ${ displaystyle theta _ {n}}$, profil hustoty je dán vztahem

${ displaystyle rho = rho _ {c} theta _ {n} ^ {n}}$.

Celková hmotnost ${ displaystyle M}$ modelové hvězdy lze najít integrací hustoty na poloměru od 0 do ${ displaystyle xi _ {1}}$.

Tlak lze zjistit pomocí polytropické stavové rovnice, ${ displaystyle P = K rho ^ {1 + { frac {1} {n}}}}$, tj.

${ displaystyle P = K rho _ {c} ^ {1 + { frac {1} {n}}} theta _ {n} ^ {n + 1}}$

Nakonec, pokud je plyn ideál, stavová rovnice je ${ displaystyle P = k_ {B} rho T / mu}$, kde ${ displaystyle k_ {B}}$ je Boltzmannova konstanta a ${ displaystyle mu}$ střední molekulová hmotnost. Teplotní profil je pak dán vztahem

${ displaystyle T = { frac {K mu} {k_ {B}}} rho _ {c} ^ {1 / n} theta _ {n}}$

V sféricky symetrických případech je Lane-Emdenova rovnice integrovatelná pouze pro tři hodnoty polytropního indexu ${ displaystyle n}$.

Pro n = 0

Li ${ displaystyle n = 0}$, stane se rovnice

${ displaystyle { frac {1} { xi ^ {2}}} { frac {d} {d xi}} vlevo ( xi ^ {2} { frac {d theta} {d xi}} vpravo) + 1 = 0}$

Nové uspořádání a integrace jednou dává

${ displaystyle xi ^ {2} { frac {d theta} {d xi}} = C_ {1} - { frac {1} {3}} xi ^ {3}}$

Vydělením obou stran ${ displaystyle xi ^ {2}}$ a opět integrace dává

${ displaystyle theta ( xi) = C_ {0} - { frac {C_ {1}} { xi}} - { frac {1} {6}} xi ^ {2}}$

Okrajové podmínky ${ displaystyle theta (0) = 1}$ a ${ displaystyle theta '(0) = 0}$ znamenají, že konstanty integrace jsou ${ displaystyle C_ {0} = 1}$ a ${ displaystyle C_ {1} = 0}$. Proto,

${ displaystyle theta ( xi) = 1 - { frac {1} {6}} xi ^ {2}}$

Pro n = 1

Když ${ displaystyle n = 1}$, rovnici lze rozšířit ve formě

${ displaystyle { frac {d ^ {2} theta} {d xi ^ {2}}} + { frac {2} { xi}} { frac {d theta} {d xi} } + theta = 0}$

Jeden předpokládá řešení výkonové řady:

${ displaystyle theta ( xi) = součet _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} xi ^ {n}}$

To vede k rekurzivnímu vztahu pro koeficienty expanze:

${ displaystyle a_ {n + 2} = - { frac {a_ {n}} {(n + 3) (n + 2)}}}$

Tento vztah lze vyřešit vedoucí k obecnému řešení:

${ displaystyle theta ( xi) = a_ {0} { frac { sin xi} { xi}} + a_ {1} { frac { cos xi} { xi}}}$

To vyžaduje okrajová podmínka pro fyzický polytrop ${ displaystyle theta ( xi) rightarrow 1}$ tak jako ${ displaystyle xi rightarrow 0}$To vyžaduje ${ displaystyle a_ {0} = 1, a_ {1} = 0}$, což vede k řešení:

${ displaystyle theta ( xi) = { frac { sin xi} { xi}}}$

Pro n = 5

Začneme od rovnice Lane – Emden:

${ displaystyle { frac {1} { xi ^ {2}}} { frac {d} {d xi}} vlevo ( xi ^ {2} { frac {d theta} {d xi}} vpravo) + theta ^ {5} = 0}$

Přepis pro ${ displaystyle { frac {d theta} {d xi}}}$ vyrábí:

${ displaystyle { frac {d theta} {d xi}} = { frac {1} {2}} vlevo (1 + { frac { xi ^ {2}} {3}} vpravo ) ^ {3/2} { frac {2 xi} {3}} = { frac { xi ^ {3}} {3 left [1 + { frac { xi ^ {2}} { 3}} vpravo] ^ {3/2}}}}$

Rozlišování s ohledem na ξ vede k:

${ displaystyle theta ^ {5} = { frac { xi ^ {2}} { vlevo [1 + { frac { xi ^ {2}} {3}} vpravo] ^ {3/2 }}} + { frac {3 xi ^ {2}} {9 vlevo [1 + { frac { xi ^ {2}} {3}} doprava] ^ {5/2}}} = { frac {9} {9 left [1 + { frac { xi ^ {2}} {3}} right] ^ {5/2}}}}$

Snížení, přicházíme o:

${ displaystyle theta ^ {5} = { frac {1} { vlevo [1 + { frac { xi ^ {2}} {3}} vpravo] ^ {5/2}}}}$

Proto má rovnice Lane – Emden řešení

${ displaystyle theta ( xi) = { frac {1} { sqrt {1+ xi ^ {2} / 3}}}}$

když ${ displaystyle n = 5}$. Toto řešení je konečné v hmotnosti, ale nekonečné v radiálním rozsahu, a proto úplný polytrop nepředstavuje fyzické řešení. Chandrasekhar dlouho věřil tomu hledání jiného řešení ${ displaystyle n = 5}$ „je komplikovaný a zahrnuje eliptické integrály“.

Řešení Srivastavy

V roce 1962 našel Sambhunath Srivastava explicitní řešení, když ${ displaystyle n = 5}$.^[2] Jeho řešení je dáno

${ displaystyle theta = { frac { sin ( ln { sqrt { xi}})} {{ sqrt { xi}} [3-2 sin ^ {2} ( ln { sqrt { xi}})]}},}$

az tohoto řešení rodina řešení ${ displaystyle theta ( xi) pravá šipka { sqrt {A}} , theta (A xi)}$ lze získat pomocí homologické transformace. Vzhledem k tomu, že toto řešení nesplňuje podmínky v počátcích (ve skutečnosti je oscilační a amplitudy rostou neurčitě, jak se blíží počátek), lze toto řešení použít v kompozitních hvězdných modelech.

Analytická řešení

V aplikacích hrají hlavní roli analytická řešení, která jsou vyjádřitelná konvergentní výkonová řada rozšířena kolem nějakého počátečního bodu. Typicky je bod expanze ${ displaystyle xi = 0}$, což je také singulární bod (pevná singularita) rovnice, a jsou zde uvedena některá počáteční data ${ displaystyle theta (0)}$ ve středu hvězdy. Dá se dokázat ^[3][4] že rovnice má konvergentní výkonové řady / analytické řešení kolem počátku formy

${ displaystyle theta ( xi) = theta (0) + { frac { theta (0) ^ {n}} {6}} xi ^ {2} + O ( xi ^ {3}) , quad xi přibližně 0}$.

Numerické řešení pro analytické řešení Lane-Emdenovy rovnice v komplexní rovině pro ${ displaystyle n = 5}$, ${ displaystyle theta (0) = 2}$. Jsou viditelné dvě pohyblivé singularity na imaginární ose. Omezují poloměr konvergence analytického řešení kolem počátku. Pro různé hodnoty počátečních dat a ${ displaystyle p}$ umístění singularit je odlišné, přesto jsou umístěny symetricky na imaginární ose.^[5]

The poloměr konvergence této série je kvůli existenci omezen ^[4][6] dvou singularit na imaginární ose v složité letadlo. Tyto singularity jsou umístěny symetricky vzhledem k původu. Jejich poloha se změní, když změníme parametry rovnice a počáteční podmínku ${ displaystyle theta (0)}$, a proto se jim říká pohyblivé singularity kvůli klasifikaci singularit nelineárních obyčejných diferenciálních rovnic v komplexní rovině podle Paul Painlevé. Podobná struktura singularit se objevuje i v jiných nelineárních rovnicích, které jsou výsledkem redukce Operátor Laplace ve sférické symetrii, např. rovnice izotermické koule.^[6]

Analytická řešení lze rozšířit podél skutečné linie o analytické pokračování postup vedoucí k úplnému profilu hvězdy nebo molekulární mrak jádra. Dvě analytická řešení s překrývajícími se kruhy konvergence lze také na překrytí přiřadit k řešení větší domény, což je běžně používaný způsob konstrukce profilů požadovaných vlastností.

Sériové řešení se také používá při numerické integraci rovnice. Používá se k posunutí počátečních dat pro analytické řešení mírně od počátku, protože u počátku numerické metody selhávají kvůli singularitě rovnice.

Numerická řešení

Obecně se řešení nacházejí pomocí numerické integrace. Mnoho standardních metod vyžaduje, aby byl problém formulován jako systém prvního řádu obyčejné diferenciální rovnice. Například,

${ displaystyle { begin {aligned} & { frac {d theta} {d xi}} = - { frac { varphi} { xi ^ {2}}} [6pt] & { frac {d varphi} {d xi}} = theta ^ {n} xi ^ {2} end {zarovnáno}}}$

Tady, ${ displaystyle varphi ( xi)}$ je interpretováno jako bezrozměrná hmotnost definovaná ${ displaystyle m (r) = 4 pi alpha ^ {3} rho _ {c} varphi ( xi)}$. Příslušné počáteční podmínky jsou ${ displaystyle varphi (0) = 0}$ a ${ displaystyle theta (0) = 1}$. První rovnice představuje hydrostatickou rovnováhu a druhá představuje zachování hmotnosti.

Homologické proměnné

Homologie-invariantní rovnice

Je známo, že pokud ${ displaystyle theta ( xi)}$ je řešení rovnice Lane – Emden, tak to také je ${ displaystyle C ^ {2 / n + 1} theta (C xi)}$.^[7] Řešení, která takto souvisí, se nazývají homologní; proces, který je transformuje, je homologie. Pokud si někdo zvolí proměnné, které jsou neměnné vůči homologii, pak můžeme snížit pořadí rovnice Lane – Emden o jednu.

Existuje celá řada takových proměnných. Vhodná volba je

${ displaystyle U = { frac {d log m} {d log r}} = { frac { xi ^ {3} theta ^ {n}} { varphi}}}$

a

${ displaystyle V = { frac {d log P} {d log r}} = (n + 1) { frac { varphi} { xi theta}}}$

Logaritmy těchto proměnných můžeme odlišit s ohledem na ${ displaystyle xi}$, což dává

${ displaystyle { frac {1} {U}} { frac {dU} {d xi}} = { frac {1} { xi}} (3-n (n + 1) ^ {- 1 } VU)}$

a

${ displaystyle { frac {1} {V}} { frac {dV} {d xi}} = { frac {1} { xi}} (- 1 + U + (n + 1) ^ {- 1} V)}$.

Nakonec můžeme tyto dvě rovnice rozdělit, abychom vyloučili závislost na ${ displaystyle xi}$, který opouští

${ displaystyle { frac {dV} {dU}} = - { frac {V} {U}} vlevo ({ frac {U + (n + 1) ^ {- 1} V-1} {U + n (n + 1) ^ {- 1} V-3}} vpravo)}$

Toto je nyní jediná rovnice prvního řádu.

Topologie rovnice homologie-invariantní

Homologně invariantní rovnici lze považovat za autonomní dvojici rovnic

${ displaystyle { frac {dU} {d log xi}} = - U (U + n (n + 1) ^ {- 1} V-3)}$

a

${ displaystyle { frac {dV} {d log xi}} = V (U + (n + 1) ^ {- 1} V-1).}$

Chování řešení těchto rovnic lze určit analýzou lineární stability. Kritické body rovnice (kde ${ Displaystyle dV / d log xi = dU / d log xi = 0}$) a vlastní čísla a vlastní vektory Jacobian matrix jsou uvedeny v tabulce níže.^[8]

${ displaystyle { begin {array} {| l | l | l |} hline { text {Critical point}} & { text {Eigenvalues}} & { text {Eigenvectors}} hline (0 , 0) & 3, -1 & (1,0), (0,1) (3,0) & - 3,2 & (1,0), (- 3n, 5 + 5n) (0, n +1) & 1,3-n & (0,1), (2-n, 1 + n) vlevo ({ dfrac {n-3} {n-1}}, 2 { dfrac {n + 1} {n-1}} right) & { dfrac {n-5 pm Delta _ {n}} {2-2n}} & (1-n mp Delta _ {n}, 4 + 4n) hline end {pole}}}$

Viz také

• Emden – Chandrasekharova rovnice
• Chandrasekharův bílý trpasličí rovnice

Reference

Další čtení

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Lane-Emdenova diferenciální rovnice". MathWorld.