Emden – Chandrasekharova rovnice - Emden–Chandrasekhar equation

Numerické řešení Emden – Chandrasekharovy rovnice

v astrofyzika, Emden – Chandrasekharova rovnice je bezrozměrný forma Poissonova rovnice pro distribuci hustoty sféricky symetrického izotermický plynová koule vystavená vlastní gravitační síle, pojmenovaná po Robert Emden a Subrahmanyan Chandrasekhar.^[1]^[2] Rovnici poprvé představil Robert Emden v roce 1907.^[3] Rovnice^[4] čte

{ displaystyle { frac {1} { xi ^ {2}}} { frac {d} {d xi}} vlevo ( xi ^ {2} { frac {d psi} {d xi}} vpravo) = e ^ {- psi}}

kde ${ displaystyle xi}$ je bezrozměrný poloměr a ${ displaystyle psi}$ je vztaženo k hustotě plynové koule jako ${ displaystyle rho = rho _ {c} e ^ {- psi}}$ , kde ${ displaystyle rho _ {c}}$ je hustota plynu ve středu. Rovnice nemá žádné známé explicitní řešení. Pokud polytropní místo izotermické kapaliny se používá kapalina, získá se Lane – Emdenova rovnice. Izotermický předpoklad je obvykle modelován tak, aby popisoval jádro hvězdy. Rovnice je vyřešena s počátečními podmínkami,

{ displaystyle psi = 0, quad { frac {d psi} {d xi}} = 0 quad { text {zavináč}} quad xi = 0.}

Rovnice se objevuje i v jiných odvětvích fyziky, například stejná rovnice se objevuje v Teorie exploze Frank-Kamenetskii pro kulovou nádobu. Relativistická verze tohoto sféricky symetrického izotermického modelu byla studována Subrahmanyanem Chandrasekharem v roce 1972.^[5]

Derivace

Pro izotermický plynný hvězda, tlak ${ displaystyle p}$ je kvůli kinetice tlak a radiační tlak

{ displaystyle p = rho { frac {k_ {B}} {WH}} T + { frac {4 sigma} {3c}} T ^ {4}}

kde

${ displaystyle rho}$ je hustota
${ displaystyle k_ {B}}$ je Boltzmannova konstanta
${ displaystyle W}$ je průměr molekulární váha
${ displaystyle H}$ je hmotnost protonu
${ displaystyle T}$ je teplota hvězdy
${ displaystyle sigma}$ je Stefan – Boltzmannova konstanta
${ displaystyle c}$ je rychlost světla

Rovnice pro rovnováhu hvězdy vyžaduje rovnováhu mezi tlakovou silou a gravitační silou

{ displaystyle { frac {1} {r ^ {2}}} { frac {d} {dr}} vlevo ({ frac {r ^ {2}} { rho}} { frac {dp } {dr}} vpravo) = - 4 pi G rho}

kde ${ displaystyle r}$ je poloměr měřený od středu a ${ displaystyle G}$ je gravitační konstanta. Rovnice je přepsána jako

{ displaystyle { frac {k_ {B} T} {WH}} { frac {1} {r ^ {2}}} { frac {d} {dr}} vlevo (r ^ {2} { frac {d ln rho} {dr}} right) = - 4 pi G rho}

Aktuální řešení a asymptotické řešení

Představujeme transformaci

{ displaystyle psi = ln { frac { rho _ {c}} { rho}}, quad xi = r doleva ({ frac {4 pi G rho _ {c} WH} {k_ {B} T}} vpravo) ^ {1/2}}

kde ${ displaystyle rho _ {c}}$ je centrální hustota hvězdy, vede k

{ displaystyle { frac {1} { xi ^ {2}}} { frac {d} {d xi}} vlevo ( xi ^ {2} { frac {d psi} {d xi}} vpravo) = e ^ {- psi}}

Okrajové podmínky jsou

{ displaystyle psi = 0, quad { frac {d psi} {d xi}} = 0 quad { text {at}} quad xi = 0}

Pro ${ displaystyle xi ll 1}$ , řešení vypadá jako

{ displaystyle psi = { frac { xi ^ {2}} {6}} - { frac { xi ^ {4}} {120}} + { frac { xi ^ {6}} { 1890}} + cdots}

Omezení modelu

Za předpokladu, že izotermická sféra má určité nevýhody. Ačkoli hustota získaná jako roztok této izotermické plynové koule klesá od středu, klesá příliš pomalu, aby poskytla dobře definovaný povrch a konečnou hmotnost koule. Je možné ukázat, že jako ${ displaystyle xi gg 1}$ ,

{ displaystyle { frac { rho} { rho _ {c}}} = e ^ {- psi} = { frac {2} { xi ^ {2}}} vlevo [1 + { frac {A} { xi ^ {1/2}}} cos left ({ frac { sqrt {7}} {2}} ln xi + delta right) + O ( xi ^ {-1}) vpravo]}

kde ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle delta}$ jsou konstanty, které budou získány numerickým řešením. Toto chování hustoty vede ke zvýšení hmotnosti se zvětšením poloměru. Model tedy obvykle platí k popisu jádra hvězdy, kde je teplota přibližně konstantní.^[6]

Singulární řešení

Představujeme transformaci ${ displaystyle x = 1 / xi}$ transformuje rovnici na

{ displaystyle x ^ {4} { frac {d ^ {2} psi} {dx ^ {2}}} = e ^ {- psi}}

Rovnice má a singulární řešení dána

{ displaystyle e ^ {- psi _ {s}} = 2x ^ {2}, quad { text {nebo}} quad - psi _ {s} = 2 ln x + ln 2}

Proto lze novou proměnnou zavést jako ${ displaystyle - psi = 2 ln x + z}$ , kde rovnice pro ${ displaystyle z}$ lze odvodit,

{ displaystyle { frac {d ^ {2} z} {dt ^ {2}}} - { frac {dz} {dt}} + e ^ {z} -2 = 0, quad { text { kde}} quad t = ln x}

Tato rovnice může být redukována na první objednávku zavedením

{ displaystyle y = { frac {dz} {dt}} = xi { frac {d psi} {d xi}} - 2}

pak máme

{ displaystyle y { frac {dy} {dz}} - y + e ^ {z} -2 = 0}

Snížení

Existuje další snížení kvůli Edward Arthur Milne. Pojďme definovat

{ displaystyle u = { frac { xi e ^ {- psi}} {d psi / d xi}}, quad v = xi { frac {d psi} {d xi}} }

pak

{ displaystyle { frac {u} {v}} { frac {dv} {du}} = { frac {u-1} {u + v-3}}}

Vlastnosti

Li ${ displaystyle psi ( xi)}$ je tedy řešením Emden – Chandrasekharovy rovnice ${ displaystyle psi (A xi) -2 ln A}$ je také řešením rovnice, kde ${ displaystyle A}$ je libovolná konstanta.
Řešení rovnice Emden – Chandrasekhar, která jsou u počátku konečná, nutně musí být ${ displaystyle d psi / d xi = 0}$ na ${ displaystyle xi = 0}$

Viz také

Reference

^ Chandrasekhar, Subrahmanyan a Subrahmanyan Chandrasekhar. Úvod do studia hvězdné struktury. Sv. 2. Courier Corporation, 1958.
^ Chandrasekhar, S. a Gordon W. Wares. „Izotermická funkce.“ The Astrophysical Journal 109 (1949): 551-554.http://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-iarticle_query?1949ApJ...109..551C&defaultprint=YES&filetype=.pdf
^ Emden, R. (1907). Gaskugeln: Anwendungen der mechanischen Wärmetheorie auf kosmologische und meteorologische Probleme. B. Teubner ..
^ Kippenhahn, Rudolf, Alfred Weigert a Achim Weiss. Hvězdná struktura a evoluce. Sv. 282. Berlin: Springer-Verlag, 1990.
^ Chandrasekhar, S. (1972). Omezující případ relativistické rovnováhy. In General Relativity (na počest J. L. Synge), ed. L. O'Raifeartaigh. Oxford. Clarendon Press (str. 185-199).
^ Henrich, L. R. a Chandrasekhar, S. (1941). Hvězdné modely s izotermickými jádry. The Astrophysical Journal, 94, 525.

[1] Chandrasekhar, Subrahmanyan a Subrahmanyan Chandrasekhar. Úvod do studia hvězdné struktury. Sv. 2. Courier Corporation, 1958.

[2] Chandrasekhar, S. a Gordon W. Wares. „Izotermická funkce.“ The Astrophysical Journal 109 (1949): 551-554.http://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-iarticle_query?1949ApJ...109..551C&defaultprint=YES&filetype=.pdf

[3] Emden, R. (1907). Gaskugeln: Anwendungen der mechanischen Wärmetheorie auf kosmologische und meteorologische Probleme. B. Teubner ..

[4] Kippenhahn, Rudolf, Alfred Weigert a Achim Weiss. Hvězdná struktura a evoluce. Sv. 282. Berlin: Springer-Verlag, 1990.

[5] Chandrasekhar, S. (1972). Omezující případ relativistické rovnováhy. In General Relativity (na počest J. L. Synge), ed. L. O'Raifeartaigh. Oxford. Clarendon Press (str. 185-199).

[6] Henrich, L. R. a Chandrasekhar, S. (1941). Hvězdné modely s izotermickými jádry. The Astrophysical Journal, 94, 525.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]