Chandrasekharova bílá trpasličí rovnice - Chandrasekhars white dwarf equation - Wikipedia

v astrofyzika, Chandrasekharův bílý trpasličí rovnice je počáteční hodnota obyčejná diferenciální rovnice zavedený Indický Američan astrofyzik Subrahmanyan Chandrasekhar,^[1] ve své studii o gravitačním potenciálu zcela zvrhlého bílý trpaslík hvězdy. Rovnice zní jako^[2]

${ displaystyle { frac {1} { eta ^ {2}}} { frac {d} {d eta}} left ( eta ^ {2} { frac {d varphi} {d eta}} right) + ( varphi ^ {2} -C) ^ {3/2} = 0}$

s počátečními podmínkami

${ displaystyle varphi (0) = 1, quad varphi '(0) = 0}$

kde ${ displaystyle varphi}$ měří hustotu bílého trpaslíka, ${ displaystyle eta}$ je bezrozměrný radiální vzdálenost od středu a ${ displaystyle C}$ je konstanta, která souvisí s hustotou bílého trpaslíka ve středu. Hranice ${ displaystyle eta = eta _ { infty}}$ rovnice je definována podmínkou

${ displaystyle varphi ( eta _ { infty}) = { sqrt {C}}.}$

takový, že rozsah ${ displaystyle varphi}$ se stává ${ displaystyle { sqrt {C}} leq varphi leq 1}$. Tato podmínka je ekvivalentní s tím, že hustota zmizí při ${ displaystyle eta = eta _ { infty}}$.

Derivace

Z kvantové statistiky úplně zdegenerovaného elektronového plynu (jsou obsazeny všechny nejnižší kvantové stavy) je tlak a hustota bílého trpaslíka je dáno

${ displaystyle P = Af (x), quad rho = Bx ^ {3}}$

kde

${ displaystyle { begin {aligned} & A = 6,01 krát 10 ^ {22}, B = 9,82 krát 10 ^ {5} mu _ {e}, & f (x) = x (2x ^ { 2} -3) (x ^ {2} +1) ^ {1/2} +3 sinh ^ {- 1} x, end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle mu _ {e}}$ je střední molekulová hmotnost plynu. Když je toto dosazeno do hydrostatické rovnovážné rovnice

${ displaystyle { frac {1} {r ^ {2}}} { frac {d} {dr}} vlevo ({ frac {r ^ {2}} { rho}} { frac {dP } {dr}} vpravo) = - 4 pi G rho}$

kde ${ displaystyle G}$ je gravitační konstanta a ${ displaystyle r}$ je radiální vzdálenost, dostaneme

${ displaystyle { frac {1} {r ^ {2}}} { frac {d} {dr}} vlevo (r ^ {2} { frac {d { sqrt {x ^ {2} + 1}}} {dr}} right) = - { frac { pi GB ^ {2}} {2A}} x ^ {3}}$

a nechat ${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {2} +1}$, my máme

${ displaystyle { frac {1} {r ^ {2}}} { frac {d} {dr}} vlevo (r ^ {2} { frac {dy} {dr}} vpravo) = - { frac { pi GB ^ {2}} {2A}} (y ​​^ {2} -1) ^ {3/2}}$

Pokud označíme hustotu na počátku jako ${ displaystyle rho _ {o} = Bx_ {o} ^ {3} = B (y_ {o} ^ {2} -1) ^ {3/2}}$, pak bezrozměrná stupnice

${ displaystyle r = left ({ frac {2A} { pi GB ^ {2}}} right) ^ {1/2} { frac { eta} {y_ {o}}}, quad y = y_ {o} varphi}$

dává

${ displaystyle { frac {1} { eta ^ {2}}} { frac {d} {d eta}} left ( eta ^ {2} { frac {d varphi} {d eta}} right) + ( varphi ^ {2} -C) ^ {3/2} = 0}$

kde ${ displaystyle C = 1 / y_ {o} ^ {2}}$. Jinými slovy, jakmile je výše uvedená rovnice vyřešena, je hustota dána vztahem

${ displaystyle rho = By_ {o} ^ {3} left ( varphi ^ {2} - { frac {1} {y_ {o} ^ {2}}} right) ^ {3/2} .}$

Potom lze vypočítat hmotový interiér do určitého bodu

${ displaystyle M ( eta) = - { frac {4 pi} {B ^ {2}}} vlevo ({ frac {2A} { pi G}} vpravo) ^ {3/2} eta ^ {2} { frac {d varphi} {d eta}}.}$

Vztah poloměr-hmotnost bílého trpaslíka je obvykle vykreslen v rovině ${ displaystyle eta _ { infty}}$-${ displaystyle M ( eta _ { infty})}$.

Řešení blízko původu

V sousedství původu, ${ displaystyle eta ll 1}$, Chandrasekhar poskytl asymptotickou expanzi jako

${ displaystyle { begin {aligned} varphi = {} & 1 - { frac {q ^ {3}} {6}} eta ^ {2} + { frac {q ^ {4}} {40} } eta ^ {4} - { frac {q ^ {5} (5q ^ {2} +14)} {7!}} eta ^ {6} [6pt] & {} + { frac {q ^ {6} (339q ^ {2} +280)} {3 krát 9!}} eta ^ {8} - { frac {q ^ {7} (1425q ^ {4} + 11346q ^ { 2} +4256)} {5 krát 11!}} Eta ^ {10} + cdots end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle q ^ {2} = C-1}$. Poskytl také numerická řešení rozsahu ${ displaystyle C = 0,01-0,8}$.

Rovnice pro malé centrální hustoty

Když centrální hustota ${ displaystyle rho _ {o} = Bx_ {o} ^ {3} = B (y_ {o} ^ {2} -1) ^ {3/2}}$ je malý, rovnici lze zredukovat na a Lane-Emdenova rovnice zavedením

${ displaystyle xi = { sqrt {2}} eta, qquad theta = varphi ^ {2} -C = varphi ^ {2} -1 + x_ {o} ^ {2} + O ( x_ {o} ^ {4})}$

získat v předním pořadí následující rovnici

${ displaystyle { frac {1} { xi ^ {2}}} { frac {d} {d xi}} vlevo ( xi ^ {2} { frac {d theta} {d xi}} vpravo) = - theta ^ {3/2}}$

podmínkám ${ displaystyle theta (0) = x_ {o} ^ {2}}$ a ${ displaystyle theta '(0) = 0}$. Všimněte si, že ačkoli se rovnice redukuje na Lane-Emdenova rovnice s polytropickým indexem ${ displaystyle 3/2}$, počáteční podmínka není podmínka Lane-Emdenovy rovnice.

Omezení hmotnosti pro velké centrální hustoty

Když se centrální hustota zvětší, tj. ${ displaystyle y_ {o} rightarrow infty}$ nebo ekvivalentně ${ displaystyle C rightarrow 0}$, řídící rovnice se redukuje na

${ displaystyle { frac {1} { eta ^ {2}}} { frac {d} {d eta}} left ( eta ^ {2} { frac {d varphi} {d eta}} right) = - varphi ^ {3}}$

podmínkám ${ displaystyle varphi (0) = 1}$ a ${ displaystyle varphi '(0) = 0}$. To je přesně to Lane-Emdenova rovnice s polytropickým indexem ${ displaystyle 3}$. Všimněte si, že v tomto limitu velkých hustot je poloměr

${ displaystyle r = left ({ frac {2A} { pi GB ^ {2}}} right) ^ {1/2} { frac { eta} {y_ {o}}}}$

má sklon k nule. Hmotnost bílého trpaslíka má však konečnou hranici

${ displaystyle M rightarrow - { frac {4 pi} {B ^ {2}}} vlevo ({ frac {2A} { pi G}} vpravo) ^ {3/2} vlevo ( eta ^ {2} { frac {d varphi} {d eta}} doprava) _ { eta = eta _ { infty}} = 5,75 mu _ {e} ^ {- 2} M_ { odot}.}$

The Chandrasekhar limit vyplývá z tohoto limitu.

Viz také

• Chandrasekharova rovnice
• Lane – Emdenova rovnice

Reference