Laughlinova vlnová funkce - Laughlin wavefunction - Wikipedia

v fyzika kondenzovaných látek, Laughlinova vlnová funkce^[1][2] je ansatz, navrhl Robert Laughlin pro základní stav a dvourozměrný elektronový plyn umístěny na jednotném pozadí magnetické pole v přítomnosti uniformy želé pozadí, když faktor plnění (kvantový Hallův efekt) z nejnižší úroveň Landau je ${ displaystyle nu = 1 / n}$ kde ${ displaystyle n}$ je liché kladné celé číslo. Byl zkonstruován, aby vysvětlil pozorování ${ displaystyle nu = 1/3}$ frakční kvantový Hallův jev, a předpovídal existenci dalších ${ displaystyle nu = 1 / n}$ stavy stejně jako buzení kvazičástic s frakčním elektrickým nábojem ${ displaystyle e / n}$, které byly později experimentálně pozorovány. Laughlin obdržel jednu třetinu Nobelova cena za fyziku v roce 1998 za tento objev. Jelikož jde o zkušební vlnovou funkci, není přesná, ale kvalitativně reprodukuje mnoho funkcí přesného řešení a kvantitativně má velmi vysoké překrývání s přesným základním stavem pro malé systémy.

Pokud ignorujeme jellium a vzájemné Coulombův odpor mezi elektrony jako aproximace nultého řádu máme nekonečně degenerovanou nejnižší hladinu Landau (LLL) a s faktorem plnění 1 / n bychom očekávali, že všechny elektrony budou ležet v LLL. Když zapneme interakce, můžeme udělat aproximaci, že všechny elektrony leží v LLL. Li ${ displaystyle psi _ {0}}$ je vlnová funkce jedné částice stavu LLL s nejnižší orbitální úhlový moment, pak je Laughlinova odpověď pro vícesložkovou vlnovou funkci

${ displaystyle langle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}, ldots, z_ {N} mid n, N rangle = psi _ {n, N} (z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}, ldots, z_ {N}) = D left [ prod _ {N geqslant i> j geqslant 1} left (z_ {i} -z_ {j} right ) ^ {n} right] prod _ {k = 1} ^ {N} exp left (- mid z_ {k} mid ^ {2} right)}$

kde pozice je označena

${ displaystyle z = {1 nad 2 { mathit {l}} _ {B}} vlevo (x + iy vpravo)}$

v (Gaussovy jednotky )

${ displaystyle { mathit {l}} _ {B} = { sqrt { hbar c přes eB}}}$

a ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ jsou souřadnice v rovině xy. Tady ${ displaystyle hbar}$ je Planckova konstanta, ${ displaystyle e}$ je elektronový náboj, ${ displaystyle N}$ je celkový počet částic a ${ displaystyle B}$ je magnetické pole, která je kolmá na rovinu xy. Dolní indexy na z identifikují částice. Aby bylo možné vlnovou funkci popsat fermiony, n musí být liché celé číslo. To nutí vlnovou funkci, aby byla při výměně částic antisymetrická. Moment hybnosti pro tento stav je ${ displaystyle n hbar}$.

Energie interakce pro dvě částice

Obrázek 1. Energie interakce vs. ${ displaystyle { mathit {l}}}$ pro ${ displaystyle n = 7}$ a ${ displaystyle k_ {B} r_ {B} = 20}$. Energie je v jednotkách ${ displaystyle {e ^ {2} přes L_ {B}}}$. Všimněte si, že minima se vyskytují pro ${ displaystyle { mathit {l}} = 3}$ a ${ displaystyle { mathit {l}} = 4}$. Obecně se minima vyskytují v ${ displaystyle {{ mathit {l}} nad n} = {1 nad 2} pm {1 nad 2n}}$.

Laughlinova vlnová funkce je vícesložková vlnová funkce pro kvazičástice. The očekávaná hodnota energie interakce pro pár kvazičástic je

${ displaystyle langle V rangle = langle n, N mid V mid n, N rangle, ; ; ; N = 2}$

kde je detekovaný potenciál (viz Coulombův potenciál mezi dvěma proudovými smyčkami zabudovanými v magnetickém poli )

${ displaystyle V left (r_ {12} right) = left ({2e ^ {2} over L_ {B}} right) int _ {0} ^ { infty} {{k ; dk ;} nad k ^ {2} + k_ {B} ^ {2} r_ {B} ^ {2}} ; M vlevo ({ mathit {l}} + 1,1, - {k ^ {2} přes 4} vpravo) ; M vlevo ({ mathit {l}} ^ { prime} +1,1, - {k ^ {2} přes 4} vpravo) ; { mathcal {J}} _ {0} doleva (k {r_ {12} nad r_ {B}} doprava)}$

kde ${ displaystyle M}$ je konfluentní hypergeometrická funkce a ${ displaystyle { mathcal {J}} _ {0}}$ je Besselova funkce prvního druhu. Tady, ${ displaystyle r_ {12}}$ je vzdálenost mezi středy dvou proudových smyček, ${ displaystyle e}$ je velikost elektronový náboj, ${ displaystyle r_ {B} = { sqrt {2}} { mathit {l}} _ {B}}$ je kvantová verze Poloměr Larmor, a ${ displaystyle L_ {B}}$ je tloušťka elektronového plynu ve směru magnetického pole. The úhlový moment ze dvou jednotlivých proudových smyček jsou ${ displaystyle { mathit {l}} hbar}$ a ${ displaystyle { mathit {l}} ^ { prime} hbar}$ kde ${ displaystyle { mathit {l}} + { mathit {l}} ^ { prime} = n}$. Délka inverzní clony je dána vztahem (Gaussovy jednotky )

${ displaystyle k_ {B} ^ {2} = {4 pi e ^ {2} přes hbar omega _ {c} AL_ {B}}}$

kde ${ displaystyle omega _ {c}}$ je frekvence cyklotronu, a ${ displaystyle A}$ je plocha elektronového plynu v rovině xy.

Energie interakce se hodnotí na:

${ displaystyle E = left ({2e ^ {2} over L_ {B}} right) int _ {0} ^ { infty} {{k ; dk ;} přes k ^ {2 } + k_ {B} ^ {2} r_ {B} ^ {2}} ; M vlevo ({ mathit {l}} + 1,1, - {k ^ {2} přes 4} doprava ) ; M vlevo ({ mathit {l}} ^ { prime} +1,1, - {k ^ {2} nad 4} vpravo) ; M vlevo (n + 1,1, - {k ^ {2} přes 2} doprava)}$

Obrázek 2. Energie interakce vs. ${ displaystyle {n}}$ pro ${ displaystyle {{ mathit {l}} nad n} = {1 nad 2} pm {1 nad 2n}}$ a ${ displaystyle k_ {B} r_ {B} = 0,1,1,0,10}$. Energie je v jednotkách ${ displaystyle {e ^ {2} přes L_ {B}}}$.

K získání tohoto výsledku jsme provedli změnu integračních proměnných

${ displaystyle u_ {12} = {z_ {1} -z_ {2} nad { sqrt {2}}}}$

a

${ displaystyle v_ {12} = {z_ {1} + z_ {2} nad { sqrt {2}}}}$

a poznamenal (viz Běžné integrály v teorii kvantového pole )

${ displaystyle {1 over left (2 pi right) ^ {2} ; 2 ^ {2n} ; n!} int d ^ {2} z_ {1} ; d ^ {2} z_ {2} ; mid z_ {1} -z_ {2} mid ^ {2n} ; exp left [-2 left ( mid z_ {1} mid ^ {2} + mid z_ {2} mid ^ {2} right) right] ; { mathcal {J}} _ {0} left ({ sqrt {2}} ; {k mid z_ {1} - z_ {2} mid} right) =}$

${ displaystyle {1 over left (2 pi right) ^ {2} ; 2 ^ {n} ; n!} int d ^ {2} u_ {12} ; d ^ {2} v_ {12} ; mid u_ {12} mid ^ {2n} ; exp left [-2 left ( mid u_ {12} mid ^ {2} + mid v_ {12} mid ^ {2} right) right] ; { mathcal {J}} _ {0} left ({2} k mid u_ {12} mid right) =}$

${ displaystyle M left (n + 1,1, - {k ^ {2} přes 2} right).}$

Energie interakce má minima pro (obrázek 1)

${ displaystyle {{ mathit {l}} nad n} = {1 nad 3}, {2 nad 5}, {3 nad 7}, { mbox {atd.,}}}$

a

${ displaystyle {{ mathit {l}} nad n} = {2 nad 3}, {3 nad 5}, {4 nad 7}, { mbox {atd.}}}$

Pro tyto hodnoty poměru úhlového momentu je energie vynesena na obrázku 2 jako funkce ${ displaystyle n}$.

Reference

Viz také

• Úroveň Landau
• Frakční kvantový Hallův jev
• Coulombův potenciál mezi dvěma proudovými smyčkami zabudovanými v magnetickém poli