V matematické oblasti diferenciální geometrie , Produkt Kulkarni – Nomizu (pojmenováno pro Ravindra Shripad Kulkarni a Katsumi Nomizu ) je definován pro dva (0,2) -tenzory a ve výsledku dává (0,4) -tenzor.
Definice Li h a k jsou symetrické (0,2) -tenzory, pak je produkt definován pomocí[1]
( h ∧ ◯ k ) ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) := h ( X 1 , X 3 ) k ( X 2 , X 4 ) + h ( X 2 , X 4 ) k ( X 1 , X 3 ) + − h ( X 1 , X 4 ) k ( X 2 , X 3 ) − h ( X 2 , X 3 ) k ( X 1 , X 4 ) = | h ( X 1 , X 3 ) h ( X 1 , X 4 ) k ( X 2 , X 3 ) k ( X 2 , X 4 ) | + | k ( X 1 , X 3 ) k ( X 1 , X 4 ) h ( X 2 , X 3 ) h ( X 2 , X 4 ) | {displaystyle {egin {aligned} (h {~ wedge !!!!!!!!; igcirc ~} k) (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, X_ {4}) &: = h (X_ {1}, X_ {3}) k (X_ {2}, X_ {4}) + h (X_ {2}, X_ {4}) k (X_ {1}, X_ {3}) + & ;;; - h (X_ {1}, X_ {4}) k (X_ {2}, X_ {3}) - h (X_ {2}, X_ {3}) k (X_ {1}, X_ {4}) & = {egin {vmatrix} h (X_ {1}, X_ {3}) & h (X_ {1}, X_ {4}) k (X_ {2}, X_ {3}) & k (X_ {2}, X_ {4}) end {vmatrix}} + {egin {vmatrix} k (X_ {1}, X_ {3}) & k (X_ {1}, X_ {4}) h ( X_ {2}, X_ {3}) & h (X_ {2}, X_ {4}) end {vmatrix}} end {aligned}}} Kde X j | ⋅ | {displaystyle | cdot |} maticový determinant . Všimněte si, že h ∧ ◯ k = k ∧ ◯ h {displaystyle h {~ klín !!!!!!!!; igcirc ~} k = k {~ klín !!!!!!!!; igcirc ~} h}
S ohledem na základ { ∂ i } {displaystyle {částečné _ {i}}}
( h ∧ ◯ k ) i j l m = ( h ∧ ◯ k ) ( ∂ i , ∂ j , ∂ l , ∂ m ) = 2 h i [ l k m ] j + 2 h j [ m k l ] i , {displaystyle (h ~ klín !!!!!!!!; igcirc ~ k) _ {ijlm} = (h {~ klín !!!!!!!!; igcirc ~} k) (částečný _ {i}, částečný _ {j}, částečný _ {l}, částečný _ {m}) = 2h_ {i [l} k_ {m] j} + 2h_ {j [m} k_ {l] i} ,,} kde [ … ] {displaystyle [tečky]} symbol totální antisymetrie .
Produkt Kulkarni – Nomizu je speciální případ produktu v odstupňované algebře
⨁ p = 1 n S 2 ( Ω p M ) , {displaystyle igoplus _ {p = 1} ^ {n} S ^ {2} (Omega ^ {p} M),} kde na jednoduchých prvcích
( α ⋅ β ) ∧ ◯ ( y ⋅ δ ) = ( α ∧ y ) ⊙ ( β ∧ δ ) {displaystyle (alpha cdot eta) {~ klín !!!!!!!!; igcirc ~} (gama cdot delta) = (alfa klínová gama) odot (eta klínová delta)} ( ⊙ {displaystyle odot} symetrický součin ).
Vlastnosti Produkt Kulkarni – Nomizu dvojice symetrických tenzorů má algebraické symetrie Riemannův tenzor [2] vesmírné formy (tj. prostory konstanty řezové zakřivení ) a dvourozměrné hladké Riemannovy potrubí, Riemannův tenzor zakřivení má jednoduchý výraz, pokud jde o produkt Kulkarni-Nomizu z metrický G = G i j d X i ⊗ d X j {displaystyle g = g_ {ij} dx ^ {i} mnohokrát dx ^ {j}}
R ( ∂ i , ∂ j ) ∂ k = R l i j k ∂ l {displaystyle operatorname {R} (částečný _ {i}, částečný _ {j}) částečný _ {k} = {R ^ {l}} _ {ijk} částečný _ {l}} tenzor zakřivení (1,3) a
Rm = R i j k l d X i ⊗ d X j ⊗ d X k ⊗ d X l {displaystyle operatorname {Rm} = R_ {ijkl} dx ^ {i} otimes dx ^ {j} otimes dx ^ {k} otimes dx ^ {l}} tenzor zakřivení Riemann s R i j k l = G i m R m j k l {displaystyle R_ {ijkl} = g_ {im} {R ^ {m}} _ {jkl}}
Rm = Scal 4 G ∧ ◯ G , {displaystyle operatorname {Rm} = {frac {operatorname {Scal}} {4}} g ~ wedge !!!!!!!!; igcirc ~ g,} kde Scal = tr G Ric = R i i {displaystyle operatorname {Scal} = operatorname {tr} _ {g} operatorname {Ric} = {R ^ {i}} _ {i}} skalární zakřivení a
Ric ( Y , Z ) = tr G { X ↦ R ( X , Y ) Z } {displaystyle operatorname {Ric} (Y, Z) = operatorname {tr} _ {g} lbrace Xmapsto operatorname {R} (X, Y) Zbrace} je Ricciho tenzor , který v komponentách čte R i j = R k i k j {displaystyle R_ {ij} = {R ^ {k}} _ {ikj}} G ∧ ◯ G {displaystyle g ~ wedge !!!!!!!!; igcirc ~ g}
R i j k l = Scal 4 G i [ k G l ] j = Scal 2 ( G i k G j l − G i l G j k ) . {displaystyle R_ {ijkl} = {frac {operatorname {Scal}} {4}} g_ {i [k} g_ {l] j} = {frac {operatorname {Scal}} {2}} (g_ {ik} g_ {jl} -g_ {il} g_ {jk}) ,.} Jedná se o stejný výraz, jaký je uveden v článku o Riemannův tenzor zakřivení .
Z tohoto důvodu se běžně používá k vyjádření příspěvku, který Ricciho zakřivení (nebo spíše Schoutenův tenzor ) a Weyl tenzor každý z nich dělá zakřivení a Riemannovo potrubí . Tento tzv Ricciho rozklad je užitečné v diferenciální geometrie .
Když existuje metrický tenzor G , produkt Kulkarni – Nomizu společnosti G sám o sobě je endomorfismus identity prostoru 2 forem, Ω2 M ), pod identifikací (pomocí metriky) endomorfního kruhu End (Ω2 M )) s tenzorovým součinem Ω2 M ) ⊗ Ω2 M ).
Riemannovo potrubí má konstantu řezové zakřivení k právě když má Riemannův tenzor tvar
R = k 2 G ∧ ◯ G {displaystyle R = {frac {k} {2}} g {~ klín !!!!!!!!; igcirc ~} g} kde G je metrický tenzor .
Poznámky ^ Někteří autoři také zahrnují celkový faktor 1 2 {displaystyle {frac {1} {2}}} ^ Tensor (0,4), který splňuje vlastnost symetrie zešikmení, vlastnost symetrie výměny a první (algebraickou) identitu Bianchi (viz symetrie a identity Riemannova zakřivení ) se nazývá an tenzor algebraického zakřivení . Reference Besse, Arthur L. (1987), Einsteinova potrubí , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Výsledky v matematice a příbuzných oblastech (3)], sv. 10, Berlín, New York: Springer-Verlag , str. xii + 510, ISBN 978-3-540-15279-8 Gallot, S., Hullin, D. a Lafontaine, J. (1990). Riemannova geometrie . Springer-Verlag. CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz) 
![{displaystyle (h ~ klín !!!!!!!!; igcirc ~ k) _ {ijlm} = (h {~ klín !!!!!!!!; igcirc ~} k) (částečný _ {i}, částečný _ {j}, částečný _ {l}, částečný _ {m}) = 2h_ {i [l} k_ {m] j} + 2h_ {j [m} k_ {l] i} ,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4df75d1fe68248d8c313fc5221d803fe6d5cfd8)
![{displaystyle [tečky]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d38ede602403d3f5673d81a5ca62156be96727b)
![{displaystyle R_ {ijkl} = {frac {operatorname {Scal}} {4}} g_ {i [k} g_ {l] j} = {frac {operatorname {Scal}} {2}} (g_ {ik} g_ {jl} -g_ {il} g_ {jk}) ,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b465201200bf77ef7e9fd51f9495440772f40678)
