Kosmann výtah - Kosmann lift

v diferenciální geometrie, Kosmann výtah,^[1]^[2] pojmenoval podle Yvette Kosmann-Schwarzbach, vektorového pole ${ displaystyle X ,}$ na Riemannovo potrubí ${ displaystyle (M, g) ,}$ je kanonická projekce ${ displaystyle X_ {K} ,}$ na orthonormal frame bundle jeho přirozeného výtahu ${ displaystyle { hat {X}} ,}$ definované na svazku lineárních rámců.^[3]

Zobecnění existují pro jakoukoli danou redukční G-struktura.

Úvod

Obecně platí, že podskupina ${ displaystyle Q podmnožina E ,}$ a svazek vláken ${ displaystyle pi _ {E} dvojtečka E na M ,}$ přes ${ displaystyle M}$ a vektorové pole ${ displaystyle Z ,}$ na ${ displaystyle E}$ , jeho omezení ${ displaystyle Z vert _ {Q} ,}$ na ${ displaystyle Q}$ je vektorové pole „podél“ ${ displaystyle Q}$ ne na (tj., tečna na) ${ displaystyle Q}$ . Pokud někdo označuje pomocí ${ displaystyle i_ {Q} dvojtečka Q hookrightarrow E}$ kanonický vkládání, pak ${ displaystyle Z vert _ {Q} ,}$ je sekce z stahovací balíček ${ displaystyle i_ {Q} ^ { ast} (TE) do Q ,}$ , kde

{ displaystyle i_ {Q} ^ { ast} (TE) = {(q, v) v Q krát TE mid i (q) = tau _ {E} (v) } podmnožina Q krát TE, ,}

a ${ displaystyle tau _ {E} dvojtečka TE až E ,}$ je tečný svazek svazku vláken ${ displaystyle E}$ Předpokládejme, že dostáváme a Kosmannův rozklad stahovacího svazku ${ displaystyle i_ {Q} ^ { ast} (TE) do Q ,}$ , takový, že

{ displaystyle i_ {Q} ^ { ast} (TE) = TQ oplus { mathcal {M}} (Q), ,}

tj. u každého ${ displaystyle q v Q}$ jeden má ${ displaystyle T_ {q} E = T_ {q} Q oplus { mathcal {M}} _ {u} ,,}$ kde ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {u}}$ je vektorový podprostor z ${ displaystyle T_ {q} E ,}$ a předpokládáme ${ displaystyle { mathcal {M}} (Q) do Q ,}$ být a vektorový svazek přes ${ displaystyle Q}$ , nazvaný příčný svazek z Kosmannův rozklad. Z toho vyplývá, že omezení ${ displaystyle Z vert _ {Q} ,}$ na ${ displaystyle Q}$ rozděluje se na tečna vektorové pole ${ displaystyle Z_ {K} ,}$ na ${ displaystyle Q}$ a a příčný vektorové pole ${ displaystyle Z_ {G}, ,}$ být částí vektorového svazku ${ displaystyle { mathcal {M}} (Q) až Q. ,}$

Definice

Nechat ${ displaystyle mathrm {F} _ {SO} (M) až M}$ být orientovaný orthonormal frame bundle orientovaného ${ displaystyle n}$ -dimenzionální Riemannovo potrubí ${ displaystyle M}$ s danou metrikou ${ displaystyle g ,}$ . Toto je jistina ${ displaystyle { mathrm {S} mathrm {O}} (n) ,}$ - podskupina ${ displaystyle mathrm {F} M ,}$ , tangenta frame bundle lineárních rámců ${ displaystyle M}$ se strukturní skupinou ${ displaystyle { mathrm {G} mathrm {L}} (n, mathbb {R}) ,}$ Podle definice lze říci, že nám je dána klasická redukce ${ displaystyle { mathrm {S} mathrm {O}} (n) ,}$ -struktura. Zvláštní ortogonální skupina ${ displaystyle { mathrm {S} mathrm {O}} (n) ,}$ je redukční Lieova podskupina ${ displaystyle { mathrm {G} mathrm {L}} (n, mathbb {R}) ,}$ . Ve skutečnosti existuje a přímý součet rozklad ${ displaystyle { mathfrak {gl}} (n) = { mathfrak {so}} (n) oplus { mathfrak {m}} ,}$ , kde ${ displaystyle { mathfrak {gl}} (n) ,}$ je Lieova algebra ${ displaystyle { mathrm {G} mathrm {L}} (n, mathbb {R}) ,}$ , ${ displaystyle { mathfrak {so}} (n) ,}$ je Lieova algebra ${ displaystyle { mathrm {S} mathrm {O}} (n) ,}$ , a ${ displaystyle { mathfrak {m}} ,}$ je ${ displaystyle mathrm {Ad} _ { mathrm {S} mathrm {O}} ,}$ -invariantní vektorový podprostor symetrických matic, tj. ${ displaystyle mathrm {Ad} _ {a} { mathfrak {m}} podmnožina { mathfrak {m}} ,}$ pro všechny ${ displaystyle a in { mathrm {S} mathrm {O}} (n) ,.}$

Nechat ${ displaystyle i _ { mathrm {F} _ {SO} (M)} colon mathrm {F} _ {SO} (M) hookrightarrow mathrm {F} M}$ být kanonický vkládání.

Jeden pak může dokázat, že existuje kanonický Kosmannův rozklad z stahovací balíček ${ displaystyle i _ { mathrm {F} _ {SO} (M)} ^ { ast} (T mathrm {F} M) do mathrm {F} _ {SO} (M)}$ takhle

{ displaystyle i _ { mathrm {F} _ {SO} (M)} ^ { ast} (T mathrm {F} M) = T mathrm {F} _ {SO} (M) oplus { mathcal {M}} ( mathrm {F} _ {SO} (M)) ,,}

tj. u každého ${ displaystyle u in mathrm {F} _ {SO} (M)}$ jeden má ${ displaystyle T_ {u} mathrm {F} M = T_ {u} mathrm {F} _ {SO} (M) oplus { mathcal {M}} _ {u} ,,}$ ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {u}}$ být vláknem ${ displaystyle u}$ z podskupina ${ displaystyle { mathcal {M}} ( mathrm {F} _ {SO} (M)) do mathrm {F} _ {SO} (M)}$ z ${ displaystyle i _ { mathrm {F} _ {SO} (M)} ^ { ast} (V mathrm {F} M) do mathrm {F} _ {SO} (M)}$ . Tady, ${ displaystyle V mathrm {F} M ,}$ je vertikální podskupina ${ displaystyle T mathrm {F} M ,}$ a u každého ${ displaystyle u in mathrm {F} _ {SO} (M)}$ vlákno ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {u}}$ je isomorfní s vektorový prostor symetrických matic ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ .

Z výše uvedeného kanonického a ekvivariant rozkladu, z toho vyplývá, že omezení ${ displaystyle Z vert _ { mathrm {F} _ {SO} (M)}}$ z ${ displaystyle { mathrm {G} mathrm {L}} (n, mathbb {R})}$ -invariantní vektorové pole ${ displaystyle Z ,}$ na ${ displaystyle mathrm {F} M}$ na ${ displaystyle mathrm {F} _ {SO} (M)}$ rozděluje se na ${ displaystyle { mathrm {S} mathrm {O}} (n)}$ -invariantní vektorové pole ${ displaystyle Z_ {K} ,}$ na ${ displaystyle mathrm {F} _ {SO} (M)}$ , nazvaný Kosmann vektorové pole spojené s ${ displaystyle Z ,}$ a příčný vektorové pole ${ displaystyle Z_ {G} ,}$ .

Zejména pro generické vektorové pole ${ displaystyle X ,}$ na základním potrubí ${ displaystyle (M, g) ,}$ , z toho vyplývá, že omezení ${ displaystyle { hat {X}} vert _ { mathrm {F} _ {SO} (M)} ,}$ na ${ displaystyle mathrm {F} _ {SO} (M) až M}$ jeho přirozeného výtahu ${ displaystyle { hat {X}} ,}$ na ${ displaystyle mathrm {F} M až M}$ rozděluje se na ${ displaystyle { mathrm {S} mathrm {O}} (n)}$ -invariantní vektorové pole ${ displaystyle X_ {K} ,}$ na ${ displaystyle mathrm {F} _ {SO} (M)}$ , nazvaný Kosmann výtah z ${ displaystyle X ,}$ a příčný vektorové pole ${ displaystyle X_ {G} ,}$ .

Viz také

Poznámky

^ Fatibene, L .; Ferraris, M .; Francaviglia, M .; Godina, M. (1996). "Geometrická definice derivátu Lie pro Spinor Fields". In Janyska, J .; Kolář, I .; Slovák, J. (eds.). Sborník ze 6. mezinárodní konference o diferenciální geometrii a aplikacích, 28. srpna - 1. září 1995 (Brno, Česká republika). Brno: Masarykova univerzita. str. 549–558. arXiv:gr-qc / 9608003v1. Bibcode:1996gr.qc ..... 8003F. ISBN 80-210-1369-9.
^ Godina, M .; Matteucci, P. (2003). „Reduktivní G-struktury a Lieovy deriváty“. Journal of Geometry and Physics. 47: 66–86. arXiv:matematika / 0201235. Bibcode:2003JGP .... 47 ... 66G. doi:10.1016 / S0393-0440 (02) 00174-2.
^ Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Základy diferenciální geometrie, Sv. 1, Wiley-Interscience, ISBN 0-470-49647-9 (Příklad 5.2), str. 55-56

Reference

Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Základy diferenciální geometrie, Sv. 1 (New ed.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3
Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Přirozené operátory v diferenciální geometrii (PDF), Springer-Verlag, archivovány z originál (PDF) dne 30. března 2017, vyvoláno 4. června 2011
Sternberg, S. (1983), Přednášky o diferenciální geometrii (2. vyd.), New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8218-1385-4
Fatibene, Lorenzo; Francaviglia, Mauro (2003), Natural and Gauge Natural Formalism for Classical Field TheoriesKluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-1703-2

[1] Fatibene, L .; Ferraris, M .; Francaviglia, M .; Godina, M. (1996). "Geometrická definice derivátu Lie pro Spinor Fields". In Janyska, J .; Kolář, I .; Slovák, J. (eds.). Sborník ze 6. mezinárodní konference o diferenciální geometrii a aplikacích, 28. srpna - 1. září 1995 (Brno, Česká republika). Brno: Masarykova univerzita. str. 549–558. arXiv:gr-qc / 9608003v1. Bibcode:1996gr.qc ..... 8003F. ISBN 80-210-1369-9.

[2] Godina, M .; Matteucci, P. (2003). „Reduktivní G-struktury a Lieovy deriváty“. Journal of Geometry and Physics. 47: 66–86. arXiv:matematika / 0201235. Bibcode:2003JGP .... 47 ... 66G. doi:10.1016 / S0393-0440 (02) 00174-2.

[3] Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Základy diferenciální geometrie, Sv. 1, Wiley-Interscience, ISBN 0-470-49647-9 (Příklad 5.2), str. 55-56

[1]

[2]

[3]