Klein povrch - Klein surface

Neorientovatelný topologický povrch viz Kleinova láhev. Algebraický povrch viz Kleinův ikosaedrický povrch.

V matematice, a Klein povrch je dianalytické potrubí komplexní dimenze 1. Kleinovy ​​povrchy mohou mít a hranice a nemusí být orientovatelný. Kleinovy ​​povrchy se zobecňují Riemannovy povrchy. Zatímco posledně jmenované se používají ke analytickému studiu algebraických křivek nad komplexními čísly, první se používají ke analytickému studiu algebraických křivek nad reálnými čísly. Kleinovy ​​povrchy představil Felix Klein v roce 1882.[1]

Kleinův povrch je a povrch (tj. a diferencovatelné potrubí skutečné dimenze 2), na které je představa úhlu mezi dvěma tečné vektory v daném bodě je dobře definovaný, stejně jako úhel mezi dvěma protínajícími se křivkami na povrchu. Tyto úhly jsou v rozsahu [0, π]; protože povrch nenese žádnou představu o orientaci, není možné rozlišovat mezi úhly α a −α. (Naproti tomu na Riemannově povrchu jsou orientovány a úhly v rozsahu (-π, π] lze smysluplně definovat.) Délka křivek, plocha dílčích potrubí a pojem geodetické nejsou definovány na Kleinových plochách.

Dva Kleinovy ​​povrchy X a Y jsou považovány za rovnocenné, pokud existují konformní (tj. úhlové zachovávající, ale ne nutně orientační) rozlišitelné mapy F:X→Y a G:Y→X že mapa hranice k hranici a uspokojit fg = idY a gf = idX.

Příklady

Každý Riemannův povrch (analytické potrubí komplexní dimenze 1, bez hranice) je Kleinův povrch. Mezi příklady patří otevřené podmnožiny souboru složité letadlo (nekompaktní), Riemannova koule (kompaktní) a Tori (kompaktní). Všimněte si, že existuje mnoho různých nerovnoměrných Riemannův povrchů se stejným podkladovým torusem jako potrubí.

A uzavřený disk v komplexní rovině je Kleinův povrch (kompaktní, s hranicí). Všechny uzavřené disky jsou ekvivalentní jako Kleinovy ​​povrchy. Uzavřený prstenec v komplexní rovině je Kleinův povrch (kompaktní, s hranicí). Ne všechna annuli jsou ekvivalentní jako Kleinovy ​​povrchy: existuje jednoparametrická rodina nerovnocenných Kleinových povrchů vznikajících tímto způsobem z annuli. Odebráním řady otevřených disků z Riemannovy koule získáme další třídu Kleinových ploch (kompaktní, s hranicí). The skutečná projektivní rovina lze proměnit na Klein povrch (kompaktní, bez ohraničení), v podstatě pouze jedním způsobem. The Kleinova láhev lze přeměnit na Klein povrch (kompaktní, bez ohraničení); na Kleinově láhvi je definována jednoparametrická rodina nerovnocenných Kleinových povrchových struktur. Podobně existuje na jednom parametru rodina nerovnoměrných Kleinových povrchových struktur (kompaktní, s hranicí) Möbiusův proužek.[2]

Každé kompaktní topologické 2-potrubí (možná s hranicí) lze přeměnit na Klein povrch,[3] často mnoha různými nerovnocennými způsoby.

Vlastnosti

Hranice kompaktního Kleinova povrchu se skládá z konečně mnoha připojené komponenty, z nichž každá je homeomorfní do kruhu. Tyto komponenty se nazývají ovály Kleinova povrchu.[3]

Předpokládejme, že Σ je (nemusí být nutně spojen) Riemannova plocha a τ: Σ → Σ je anti-holomorfní (orientace obrácená) involuce. Potom kvocient Σ / τ nese přirozenou Kleinovu povrchovou strukturu a každý Klein povrch lze získat tímto způsobem v podstatě pouze jedním způsobem.[3] The pevné body τ odpovídají hraničním bodům Σ / τ. Povrch Σ se nazývá „analytický dvojník“ Σ / τ.

Kleinovy ​​povrchy tvoří a kategorie; morfismus z Kleinova povrchu X na Kleinův povrch Y je rozlišitelná mapa F:X→Y který na každé souřadnicové ploše je buď holomorfní, nebo komplexní konjugát holomorfní mapy a dále mapuje hranici X na hranici Y.

Existuje vzájemná korespondence hladký projektivní algebraické křivky nad skutečností (až izomorfismus ) a kompaktně spojené Kleinovy ​​povrchy (až do ekvivalence). Skutečné body křivky odpovídají hraničním bodům Kleinovy ​​plochy.[3] Ve skutečnosti existuje rovnocennost kategorií mezi kategorií hladkých projektivních algebraických křivek R (s pravidelné mapy jako morfismy) a kategorie kompaktně spojených Kleinových povrchů. To se podobá korespondenci mezi hladkými projektivními algebraickými křivkami nad komplexními čísly a kompaktně spojenými Riemannovými plochami. (Všimněte si, že zde uvažované algebraické křivky jsou abstraktní křivky: integrální, oddělené jednorozměrný schémata z konečný typ přes R. Taková křivka nemusí mít žádnou R-racionální body (jako křivka X2+Y2+ 1 = 0 nad R), v takovém případě bude mít jeho povrch Klein prázdnou hranici.)

K dispozici je také vzájemná korespondence mezi kompaktně spojenými Kleinovými plochami (až do ekvivalence) a algebraické funkční pole v jedné proměnné nad R (až do R-izomorfismus). Tato korespondence je podobná korespondenci mezi kompaktně spojenými Riemannovými povrchy a algebraickými funkčními poli přes komplexní čísla.[2] Li X je Kleinův povrch, funkce F:X→Cu {∞} se nazývá meromorfní, pokud na každé souřadnicové záplatě F nebo jeho komplexní konjugát je meromorfní v běžném smyslu, a pokud F bere na hranici pouze skutečné hodnoty (nebo ∞) X. Vzhledem k propojenému Kleinovu povrchu X, množina meromorfních funkcí definovaných na X tvoří pole M (X), algebraické funkční pole v jedné proměnné R. M je a kontravariantní funktor a výnosy a dualita (kontravariantní ekvivalence) mezi kategorií kompaktně spojených Kleinových ploch (s nekonstantní morfismem) a kategorií funkčních polí v jedné proměnné nad reálemi.

Lze klasifikovat kompaktní spojené Kleinovy ​​povrchy X až do homeomorfismus (ne do ekvivalence!) zadáním tří čísel (G, k, A): rod G analytického dvojitého Σ, číslo k připojených složek hranice X a číslo A, definován A= 0 pokud X je orientovatelný a A= 1 jinak.[3] Vždy jsme měli k ≤ G+1. The Eulerova charakteristika z X rovná se 1-G.[3]

Reference

  1. ^ Klein, Felix (1882), Theorie der algebraischen Funktionen und ihrer Integrale od Uebera Riemanna (v němčině), Teubner
  2. ^ A b Norman L. Alling a Newcomb Greenleaf (1969). „Kleinovy ​​plochy a skutečná algebraická funkční pole“ (PDF). Bulletin AMS (75): 869–872.CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)
  3. ^ A b C d E F Florent Schaffhauser. „Přednášky o Kleinových povrchech a jejich základních skupinách“ (PDF).

Další čtení

  • Norman L. Alling a Newcomb Greenleaf (1971), Základy teorie Kleinových povrchů. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 219., Springer-VerlagCS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)