Leibnizova algebra - Leibniz algebra

v matematika, a (vpravo) Leibnizova algebra, pojmenoval podle Gottfried Wilhelm Leibniz, někdy nazývané a Loday algebra, po Jean-Louis Loday, je modul L přes komutativní kruh R s bilineárním produktem [_, _] vyhovujícím Leibnizova identita

${displaystyle [[a, b], c] = [a, [b, c]] + [[a, c], b].,}$

Jinými slovy, správné násobení jakýmkoli prvkem C je derivace. Pokud se navíc konzola střídá ([A, A] = 0), pak je Leibnizova algebra a Lež algebra. V tomto případě [A, b] = −[b, A] a Leibnizova identita je ekvivalentní s Jacobiho identitou ([A, [b, C]] + [C, [A, b]] + [b, [C, A]] = 0). Naopak jakákoli algebra lži je zjevně Leibnizova algebra.

V tomto smyslu lze Leibnizovy algebry považovat za nekomutativní zobecnění Lieových algeber. Zkoumání, které věty a vlastnosti Lieových algeber jsou stále platné pro Leibnizovy algebry, je v literatuře opakujícím se tématem.^[1] Ukázalo se například, že Engelova věta stále platí pro Leibnizovy algebry^[2][3] a že platí i slabší verze Levi-Malcevovy věty.^[4]

Tenzorový modul, T(PROTI) libovolného vektorového prostoru PROTI lze změnit na Lodayovu algebru takovou

${displaystyle [a_ {1} otimes cdots otimes a_ {n}, x] = a_ {1} otimes cdots a_ {n} otimes xquad {ext {for}} a_ {1}, ldots, a_ {n}, xin V .}$

Toto je bezplatná algebra Loday PROTI.

Leibnizovy algebry byly objeveny v roce 1965 A. Blohem, který je nazýval D-algebry. Přitahovali zájem poté, co si Jean-Louis Loday všiml toho klasického Hraniční mapa Chevalley – Eilenberg ve vnějším modulu Lieovy algebry lze zvednout na tenzorový modul, který poskytuje nový řetězový komplex. Ve skutečnosti je tento komplex dobře definován pro jakoukoli Leibnizovu algebru. Homologie HL(L) tohoto řetězového komplexu je znám jako Leibnizova homologie. Li L je Lieova algebra (nekonečných) matic nad asociativní R-algebra A pak Leibnizova homologie L je tenzorová algebra nad Hochschildova homologie z A.

A Zinbiel algebra je Koszul dual koncept k Leibnizově algebře. Má definující identitu:

${displaystyle (acirc b) circ c = acirc (bcirc c) + acirc (ccirc b).}$

Poznámky

Reference