Polynomiální aritmetika - Polynomial arithmetic - Wikipedia

Polynomiální aritmetika je pobočkou algebra zabývající se některými vlastnostmi polynomy které sdílejí silné analogie s vlastnostmi teorie čísel ve vztahu k celým číslům. Zahrnuje základní matematické operace, jako je přidání, odčítání, a násobení, stejně jako složitější operace jako Euklidovské dělení a vlastnosti související s kořeny polynomů. Ty jsou v zásadě spojeny se skutečností, že soubor K.[X] z univariate polynomy s koeficienty v a pole K. je komutativní prsten, například kruh celých čísel ${ displaystyle mathbb {Z}}$ .

Základní operace na polynomech

Sčítání a odčítání dvou polynomů se provádí přidáním nebo odečtením odpovídajících koeficienty. Li

{ displaystyle f (x) = součet _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i}; g (x) = součet _ {i = 0} ^ {m} b_ {i } x ^ {i}}

pak je přidání definováno jako

{ displaystyle f (x) + g (x) = součet _ {i = 0} ^ {m} (a_ {i} + b_ {i}) x ^ {i}}

kde m> n

Násobení se provádí podobně jako sčítání a odčítání, ale místo toho vynásobením odpovídajících koeficientů. Li ${ displaystyle f (x) = součet _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i}; g (x) = součet _ {i = 0} ^ {m} b_ {i } x ^ {i}}$ pak je násobení definováno jako ${ displaystyle f (x) krát g (x) = součet _ {i = 0} ^ {n + m} c_ {i} x ^ {i}}$ kde ${ displaystyle c_ {k} = a_ {0} b_ {k} + a_ {1} b_ {k-1} + cdots + a_ {k-1} b_ {1} + a_ {k} b_ {0} }$ . Všimněte si, že zacházíme ${ displaystyle a_ {i}}$ jako nula pro ${ displaystyle i> n}$ a že stupeň produktu se rovná součet stupňů dvou polynomů.

Pokročilá polynomiální aritmetika a srovnání s teorií čísel

Mnoho fascinujících vlastností polynomů lze nalézt, když díky základním operacím, které lze provést na dvou polynomech a podkladových komutativní prsten Struktura množiny, ve které žijí, se pokusí použít úvahy podobné těm, které jsou známy z teorie čísel.

Abychom to viděli, je třeba nejprve představit dva pojmy: pojem vykořenit polynomu a polynomu dělitelnost pro dvojice polynomů.

Pokud vezmeme v úvahu polynom ${ displaystyle P}$ jedné proměnné X v poli K. (typicky ${ displaystyle mathbb {R}}$ nebo ${ displaystyle mathbb {C}}$ ) a s koeficienty v tomto poli kořen ${ displaystyle r}$ z ${ displaystyle P}$ je prvek K. takhle

{ displaystyle P (r) = 0}

Druhý koncept, dělitelnost polynomů, umožňuje vidět první analogii s teorií čísel: polynom ${ displaystyle B}$ říká se, že rozděluje další polynom ${ displaystyle A}$ když to lze zapsat jako

{ displaystyle A = BC}

přičemž C je TÉŽ polynom. Tato definice je podobná dělitelnosti pro celá čísla a skutečnosti ${ displaystyle B}$ rozděluje ${ displaystyle A}$ je také označen ${ displaystyle B | A}$ .

Vztah mezi oběma výše uvedenými pojmy vzniká, když si všimnete následující vlastnosti: ${ displaystyle r}$ je kořenem ${ displaystyle P}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle (X-r) | P}$ . Zatímco jedno logické začlenění („pokud“) je zřejmé, druhé („pouze pokud“) se opírá o propracovanější koncept, Euklidovské dělení polynomů, zde opět silně připomínající Euklidovské dělení celých čísel.

Z toho vyplývá, že lze definovat primární polynomy, jako polynomy, které nelze rozdělit žádnými jinými polynomy kromě 1 a samy o sobě (až do celkového konstantního faktoru) - zde se opět projevuje analogicky s prvočísly a umožňuje, že některé z hlavních definic a vět vztahujících se k prvočíslům a číslům teorie mají svůj protějšek v polynomiální algebře. Nejdůležitějším výsledkem je základní věta o algebře, umožňující faktorizaci libovolného polynomu jako produktu prvočísel. Za zmínku stojí také Bézoutova identita v kontextu polynomů. Uvádí, že dva dané polynomy P a Q mají největší společný dělitel (GCD) třetí polynom D (D je pak jedinečný jako GCD P a Q až do konečného konstantního faktoru), právě když existují polynomy U a V takové, že

{ displaystyle UP + VQ = D}

.

Viz také

Reference

Stallings, William; : „Kryptografie a zabezpečení sítě: Zásady a praxe“, strany 121–126. Prentice Hall, 1999.

externí odkazy

J.A. Beachy a W. D. Blair; : "Polynomy ", z„ Abstract algebra ", 2. vydání, 1996.