Hypertranscendentní funkce - Hypertranscendental function

A hyperranscendentní funkce nebo transcendentálně transcendentální funkce je transcendentální analytická funkce což není řešení algebraická diferenciální rovnice s koeficienty v Z (dále jen celá čísla ) a algebraicky počáteční podmínky.

Dějiny

Termín „transcendentálně transcendentální“ zavedl E. H. Moore v roce 1896; termín „hypertranscendentní“ zavedl D. D. Morduhai-Boltovskoi v roce 1914.^[1][2]

Definice

Jedna standardní definice (existují mírné varianty) definuje řešení diferenciální rovnice formuláře

${displaystyle Fleft (x, y, y ', cdots, y ^ {(n)} ight) = 0}$,

kde ${displaystyle F}$ je polynom s konstantními koeficienty, jako algebraicky transcendentální nebo diferenciálně algebraický. Transcendentální funkce, které nejsou algebraicky transcendentální jsou transcendentálně transcendentální. Hölderova věta ukazuje, že funkce gama je v této kategorii.^[3][4][5]

Hypertranscendentální funkce obvykle vznikají jako řešení funkční rovnice, například funkce gama.

Příklady

Hypertranscendentní funkce

• Funkce zeta algebraické číselné pole, zejména Funkce Riemann zeta
• The funkce gama (srov. Hölderova věta )

Transcendentální, ale ne hyperranscendentní funkce

• The exponenciální funkce, logaritmus a trigonometrický a hyperbolický funkce.
• The generalizované hypergeometrické funkce, včetně zvláštních případů, jako je Besselovy funkce (kromě některých zvláštních případů, které jsou algebraické).

Netranscendentální (algebraické) funkce

• Všechno algebraické funkce, zejména polynomy.

Viz také

• Hypertranscendentní číslo

Poznámky

Reference

• Loxton, J.H., Poorten, A.J. van der, “Třída hyperranscendentních funkcí ", Aequationes Mathematicae, Periodický svazek 16
• Mahler, K. „Arithmetische Eigenschaften einer Klasse transzendental-transzendenter Funktionen“, Math. Z. 32 (1930) 545-585.
• Morduhaĭ-Boltovskoĭ, D. (1949), „O hyperranscendentálních funkcích a hyperranscendentálních počtech“, Doklady Akademii Nauk SSSR (N.S.) (v Rusku), 64: 21–24, PAN  0028347