Höldersova věta - Hölders theorem - Wikipedia

v matematika, Hölderova věta uvádí, že funkce gama neuspokojuje žádné algebraická diferenciální rovnice jejichž koeficienty jsou racionální funkce. Tento výsledek poprvé prokázal Otto Hölder v roce 1887; následně bylo nalezeno několik alternativních důkazů.^[1]

Věta také zobecňuje na ${ displaystyle q}$-gamma funkce.

Výrok věty

Pro každého ${ displaystyle n in mathbb {N} _ {0},}$ neexistuje nenulový polynom ${ displaystyle P in mathbb {C} [X; Y_ {0}, Y_ {1}, ldots, Y_ {n}]}$ takhle

${ displaystyle forall z in mathbb {C} setminus mathbb {Z} _ { leq 0}: qquad P left (z; Gamma (z), Gamma '(z), ldots , { Gamma ^ {(n)}} (z) vpravo) = 0,}$

kde ${ displaystyle Gamma}$ je funkce gama. ${ displaystyle quad blacksquare}$

Například definujte ${ displaystyle P in mathbb {C} [X; Y_ {0}, Y_ {1}, Y_ {2}]}$ podle

${ displaystyle P ~ { stackrel { text {df}} {=}} X ^ {2} Y_ {2} + XY_ {1} + (X ^ {2} - nu ^ {2}) Y_ { 0}.}$

Pak rovnice

${ Displaystyle P left (z; f (z), f '(z), f' '(z) right) = z ^ {2} f' '(z) + zf' (z) + left (z ^ {2} - nu ^ {2} vpravo) f (z) ekviv 0}$

se nazývá algebraická diferenciální rovnice, který v tomto případě má řešení ${ displaystyle f = J _ { nu}}$ a ${ displaystyle f = Y _ { nu}}$ - Besselovy funkce prvního a druhého druhu. Proto to říkáme ${ displaystyle J _ { nu}}$ a ${ displaystyle Y _ { nu}}$ jsou diferenciálně algebraický (taky algebraicky transcendentální). Většina známých speciálních funkcí matematické fyziky je diferenciálně algebraická. Všechny algebraické kombinace diferenciálně algebraických funkcí jsou diferenciálně algebraické. Kromě toho jsou všechny kompozice diferenciálně algebraických funkcí diferenciálně algebraické. Hölderova věta jednoduše říká, že funkce gama, ${ displaystyle Gamma}$, není diferenciálně algebraický, a proto je transcendentálně transcendentální.^[2]

Důkaz

Nechat ${ displaystyle n in mathbb {N} _ {0},}$ a předpokládejme, že nenulový polynom ${ displaystyle P in mathbb {C} [X; Y_ {0}, Y_ {1}, ldots, Y_ {n}]}$ existuje takový, že

${ displaystyle forall z in mathbb {C} setminus mathbb {Z} _ { leq 0}: qquad P left (z; Gamma (z), Gamma '(z), ldots , { Gamma ^ {(n)}} (z) vpravo) = 0.}$

Jako nenulový polynom v ${ displaystyle mathbb {C} [X]}$ nikdy nemůže vést k nulové funkci na žádné neprázdné otevřené doméně ${ displaystyle mathbb {C}}$ (podle Základní věty o algebře), můžeme předpokládat, bez ztráty obecnosti, že ${ displaystyle P}$ obsahuje monomiální člen, který má nenulovou sílu jednoho z neurčitých ${ displaystyle Y_ {0}, Y_ {1}, ldots, Y_ {n}}$.

Předpokládejme také to ${ displaystyle P}$ má nejnižší možný celkový stupeň s ohledem na lexikografické řazení ${ displaystyle Y_ {0}$ Například,

${ displaystyle deg left (-3X ^ {10} Y_ {0} ^ {2} Y_ {1} ^ {4} + iX ^ {2} Y_ {2} right) < deg left (2XY_ {0} ^ {3} -Y_ {1} ^ {4} vpravo)}$

protože nejvyšší síla ${ displaystyle Y_ {0}}$ v jakémkoli monomálním členu prvního polynomu je menší než u druhého polynomu.

Dále to pozorujte pro všechny ${ displaystyle z in mathbb {C} setminus mathbb {Z} _ { leq 0}}$ my máme:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} P left (z + 1; Gamma (z + 1), Gamma '(z + 1), Gamma' '(z + 1), ldots, Gamma ^ {(n)} (z + 1) right) & = P left (z + 1; z Gamma (z), [z Gamma (z)] ', [z Gamma (z)]' ' , ldots, [z Gamma (z)] ^ {(n)} vpravo) & = P vlevo (z + 1; z Gamma (z), z Gamma '(z) + Gamma (z), z Gamma '' (z) +2 Gamma '(z), ldots, z { Gamma ^ {(n)}} (z) + n { Gamma ^ {(n-1) }} (z) vpravo). end {zarovnáno}}}$

Definujeme-li druhý polynom ${ displaystyle Q in mathbb {C} [X; Y_ {0}, Y_ {1}, ldots, Y_ {n}]}$ transformací

${ displaystyle Q { stackrel { text {df}} {=}} ~ P (X + 1; XY_ {0}, XY_ {1} + Y_ {0}, XY_ {2} + 2Y_ {1}, ldots, XY_ {n} + nY_ {n-1}),}$

pak získáme následující algebraickou diferenciální rovnici pro ${ displaystyle Gamma}$:

${ displaystyle forall z in mathbb {C} setminus mathbb {Z} _ { leq 0}: qquad Q left (z; Gamma (z), Gamma '(z), ldots , { Gamma ^ {(n)}} (z) vpravo) ekviv 0.}$

Kromě toho, pokud ${ displaystyle X ^ {h} Y_ {0} ^ {h_ {0}} Y_ {1} ^ {h_ {1}} cdots Y_ {n} ^ {h_ {n}}}$ je monomiální termín nejvyššího stupně v ${ displaystyle P}$, pak monomiální termín nejvyššího stupně v ${ displaystyle Q}$ je

${ displaystyle X ^ {h + h_ {0} + h_ {1} + cdots + h_ {n}} Y_ {0} ^ {h_ {0}} Y_ {1} ^ {h_ {1}} cdots Y_ {n} ^ {h_ {n}}.}$

V důsledku toho polynom

${ displaystyle Q-X ^ {h_ {0} + h_ {1} + cdots + h_ {n}} P}$

má celkově menší stupeň než ${ displaystyle P}$, a protože jasně vede k algebraické diferenciální rovnici pro ${ displaystyle Gamma}$, musí to být nulový polynom podle předpokladu minimality na ${ displaystyle P}$. Proto, definování ${ displaystyle R in mathbb {C} [X]}$ podle

${ displaystyle R { stackrel { text {df}} {=}} X ^ {h_ {0} + h_ {1} + cdots + h_ {n}},}$

dostaneme

${ displaystyle Q = P (X + 1; XY_ {0}, XY_ {1} + Y_ {0}, XY_ {2} + 2Y_ {1}, ldots, XY_ {n} + nY_ {n-1} ) = R (X) cdot P (X; Y_ {0}, Y_ {1}, ldots, Y_ {n}).}$

Nyní, pojďme ${ displaystyle X = 0}$ v ${ displaystyle Q}$ získat

${ displaystyle Q (0; Y_ {0}, Y_ {1}, ldots, Y_ {n}) = P (1; 0, Y_ {0}, 2Y_ {1}, ldots, nY_ {n-1 }) = R (0) cdot P (0; Y_ {0}, Y_ {1}, ldots, Y_ {n}) = 0 _ { mathbb {C} [Y_ {0}, Y_ {1}, ldots, Y_ {n}]}.}$

Změna proměnných pak vede

${ displaystyle P (1; 0, Y_ {1}, Y_ {2}, ldots, Y_ {n}) = 0 _ { mathbb {C} [Y_ {0}, Y_ {1}, ldots, Y_ {n}]},}$

a aplikace matematické indukce (spolu se změnou proměnných v každém indukčním kroku) na dřívější výraz

${ displaystyle P (X + 1; XY_ {0}, XY_ {1} + Y_ {0}, XY_ {2} + 2Y_ {1}, ldots, XY_ {n} + nY_ {n-1}) = R (X) cdot P (X; Y_ {0}, Y_ {1}, ldots, Y_ {n})}$

to odhaluje

${ displaystyle forall m in mathbb {N}: qquad P (m; 0, Y_ {1}, Y_ {2}, ldots, Y_ {n}) = 0 _ { mathbb {C} [Y_ {0}, Y_ {1}, ldots, Y_ {n}]}.}$

To je možné, pouze pokud ${ displaystyle P}$ je dělitelné ${ displaystyle Y_ {0}}$, což je v rozporu s předpokladem minimality dne ${ displaystyle P}$. Proto žádné takové ${ displaystyle P}$ existuje, a tak ${ displaystyle Gamma}$ není diferenciálně algebraický.^[2][3] Q.E.D.

Reference