Hermitian Yang – Mills připojení - Hermitian Yang–Mills connection

v matematika, a zejména teorie měřidel a složitá geometrie, a Hermitian Yang – Mills připojení (nebo Hermitovo-Einsteinovo spojení) je připojení Chern spojené s vnitřním produktem na a holomorfní vektorový svazek přes Kähler potrubí který splňuje analogii Einsteinových rovnic: jmenovitě kontrakce 2-formy zakřivení spojení s Kählerovou formou musí být konstantní dobou transformace identity. Hermitian Yang – Mills spojení jsou speciální příklady Spojení Yang – Mills, a jsou často nazývány okamžiky.

The Korespondence Kobayashi – Hitchin prokázáno Donaldson, Uhlenbeck a Yau tvrdí, že holomorfní vektorový svazek přes kompaktní potrubí Kähler připouští Hermitian Yang – Mills spojení právě tehdy, když je sklon polystable.

Hermitian Yang – Millsovy rovnice

Hermitovo-Einsteinova spojení vznikají jako řešení Hermitianových rovnic Yang-Mills. Jedná se o systém parciální diferenciální rovnice na vektorovém svazku přes potrubí Kähler, což znamená Yang-Millsovy rovnice. Nechat ${ displaystyle A}$ být Hermitovské spojení na hermitovském vektorovém svazku ${ displaystyle E}$ přes potrubí Kähler ${ displaystyle X}$ dimenze ${ displaystyle n}$. Pak Hermitovské rovnice Yang-Mills jsou

${ displaystyle { begin {aligned} & F_ {A} ^ {0,2} = 0 & F_ {A} cdot omega = lambda (E) operatorname {Id}, end {aligned}}}$

pro nějakou konstantu ${ displaystyle lambda (E) v mathbb {C}}$. Tady máme

${ displaystyle F_ {A} klín omega ^ {n-1} = (F_ {A} cdot omega) omega ^ {n}.}$

Všimněte si, že od té doby ${ displaystyle A}$ se předpokládá, že je to Hermitovské spojení, zakřivení ${ displaystyle F_ {A}}$ je šikmo-poustevník a tak ${ displaystyle F_ {A} ^ {0,2} = 0}$ naznačuje ${ displaystyle F_ {A} ^ {2,0} = 0}$. Když podkladové potrubí Kähler ${ displaystyle X}$ je kompaktní, ${ displaystyle lambda (E)}$ lze vypočítat pomocí Teorie Chern-Weil. Jmenovitě máme

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {deg} (E): & = int _ {X} c_ {1} (E) wedge omega ^ {n-1} & = { frac {i} {2 pi}} int _ {X} operatorname {Tr} (F_ {A}) wedge omega ^ {n-1} & = { frac {i} {2 pi }} int _ {X} operatorname {Tr} (F_ {A} cdot omega) omega ^ {n}. end {zarovnáno}}}$

Od té doby ${ displaystyle F_ {A} cdot omega = lambda (E) operatorname {Id} _ {E}}$ a endomorfismus identity má stopu danou hodností ${ displaystyle E}$, získáváme

${ displaystyle lambda (E) = - { frac {2 pi i} {n! operatorname {Vol} (X)}} mu (E),}$

kde ${ displaystyle mu (E)}$ je sklon vektorového svazku ${ displaystyle E}$, dána

${ displaystyle mu (E) = { frac { operatorname {deg} (E)} { operatorname {rank} (E)}},}$

a objem ${ displaystyle X}$ je bráno s ohledem na objemovou formu ${ displaystyle omega ^ {n} / n!}$.

Kvůli podobnosti druhé podmínky v rovnicích Hermitian Yang-Mills s rovnicemi pro Einsteinova metrika, se často nazývají řešení Hermitianových rovnic Yang-Mills Hermite-Einsteinova spojení, stejně jako Hermitian Yang-Mills připojení.

Příklady

Spojení Levi-Civita a Kähler – Einsteinova metrika je Hermite-Einstein s ohledem na metodu Kähler-Einstein. (Tyto příklady jsou však nebezpečně zavádějící, protože existují kompaktní Einsteinova potrubí, jako je například metrika stránky ${ displaystyle {{ mathbb {C}} P} ^ {2} # { overline {{ mathbb {C}} P}} _ {2}}$, to jsou Hermitian, ale pro které spojení Levi-Civita není Hermite-Einstein.)

Když Hermitian vektorový svazek ${ displaystyle E}$ má holomorfní struktura, existuje přirozená volba Hermitian spojení, Chern spojení. Pro připojení Chern, podmínka, že ${ displaystyle F_ {A} ^ {0,2} = 0}$ je automaticky spokojen. The Hitchin-Kobayashi korespondence tvrdí, že holomorfní vektorový svazek ${ displaystyle E}$ připouští hermitovskou metriku ${ displaystyle h}$ takové, že přidružené Chernovo spojení splňuje hermitovské Yang-Millsovy rovnice právě tehdy, když je vektorový svazek polystabilní. Z tohoto pohledu lze na hermitovské Yang-Millsovy rovnice pohlížet jako na systém rovnic pro metriku ${ displaystyle h}$ spíše než přidružené Chernovo připojení, a takové metriky řešení rovnic se nazývají Hermitova-Einsteinova metrika.

Podmínku Hermite-Einstein na Chernových spojeních poprvé představil Kobajaši  (1980, oddíl 6). Tyto rovnice znamenají Yang-Millsovy rovnice v jakékoli dimenzi a ve skutečné dimenzi čtyři úzce souvisejí se samodvojnými Yang-Millsovými rovnicemi, které definují okamžiky. Zejména při složité dimenzi potrubí Kähler ${ displaystyle X}$ je ${ displaystyle 2}$, dochází k rozdělení forem na sebe-duální a anti-sebe-duální formy. Složitá struktura s tím interaguje takto:

${ displaystyle Lambda _ {+} ^ {2} = Lambda ^ {2,0} oplus Lambda ^ {0,2} oplus langle omega rangle, qquad Lambda _ {-} ^ {2} = langle omega rangle ^ { perp} podmnožina Lambda ^ {1,1}}$

Když je stupeň vektorového svazku ${ displaystyle E}$ zmizí, pak se stanou rovnice Hermitian Yang-Mills ${ displaystyle F_ {A} ^ {0,2} = F_ {A} ^ {2,0} = F_ {A} cdot omega = 0}$. Ve výše uvedeném vyjádření je to přesně ta podmínka ${ displaystyle F_ {A} ^ {+} = 0}$. To znamená, ${ displaystyle A}$ je ASD instanton. Všimněte si, že když stupeň nezmizí, řešení hermitských rovnic Yang-Mills nemůže být anti-sebe-duální a ve skutečnosti v tomto případě neexistují řešení rovnic ASD.^[1]

Viz také

• Einstein potrubí
• Deformovaná rovnice Hermitian Yang – Mills
• Teorie měřidla (matematika)

Reference

• Kobayashi, Shoshichi (1980), „První třída Chern a holomorfní tenzorová pole“, Nagojský matematický deník, 77: 5–11, ISSN  0027-7630, PAN  0556302
• Kobayashi, Shoshichi (1987), Diferenciální geometrie složitých vektorových svazkůPublikace Matematické společnosti v Japonsku, 15, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08467-1, PAN  0909698