Atom hélia - Helium atom

Atom hélia

Hélium-4
Jména
Systematický název IUPAC Hélium[1]
Identifikátory
Číslo CAS	7440-59-7 Y
3D model (JSmol )	Interaktivní obrázek
ChEBI	CHEBI: 33681 Y
ChemSpider	22423 Y
Číslo ES	231-168-5
Reference Gmelin	16294
KEGG	D04420 N
Pletivo	Hélium
PubChem CID	23987
Číslo RTECS	MH6520000
UNII	206GF3GB41 Y
UN číslo	1046
InChI InChI = 1S / He Y Klíč: SWQJXJOGLNCZEY-UHFFFAOYSA-N Y
ÚSMĚVY [On]
Vlastnosti
Chemický vzorec	On
Molární hmotnost	4.002602 g · mol−1
Vzhled	Bezbarvý plyn
Bod varu	-269 ° C (-452,20 ° F; 4,15 K)
Termochemie
Std molární entropie (SÓ298)	126,151-126,155 J K.−1 mol−1
Farmakologie
ATC kód	V03AN03 (SZO)
Nebezpečí
S-věty (zastaralý)	S9
Pokud není uvedeno jinak, jsou uvedeny údaje o materiálech v nich standardní stav (při 25 ° C [77 ° F], 100 kPa).
N ověřit (co je YN ?)
Reference Infoboxu

A atom helia je atom chemického prvku hélium. Helium se skládá z dva elektrony vázán elektromagnetická síla na jádro obsahující dva protony spolu s jedním nebo dvěma neutrony, v závislosti na izotop, které drží pohromadě silná síla. Na rozdíl od pro vodík, uzavřené řešení řešení Schrödingerova rovnice pro atom helia nebyl nalezen. Různé aproximace, například Hartree – Fockova metoda, lze použít k odhadu základní stav energie a vlnová funkce atomu.

Úvod

Schematické termíny pro para- a orthohelium s jedním elektronem v základním stavu 1 s a jedním vzrušeným elektronem.

Kvantově mechanický popis atomu helia je obzvláště zajímavý, protože se jedná o nejjednodušší multi-elektronový systém a lze jej použít k pochopení pojmu Kvantové zapletení. The Hamiltonian helia, považovaného za systém tří těl dvou elektronů a jádra a po oddělení pohybu těžiště, lze zapsat jako

${displaystyle H ({vec {r}} _ {1} ,, {vec {r}} _ {2}) = součet _ {i = 1,2} {Bigg (} - {frac {hbar ^ {2} } {2mu}} abla _ {r_ {i}} ^ {2} - {frac {Ze ^ {2}} {4pi epsilon _ {0} r_ {i}}} {Bigg)} - {frac {hbar ^ {2}} {M}} abla _ {r_ {1}} cdot abla _ {r_ {2}} + {frac {e ^ {2}} {4pi epsilon _ {0} r_ {12}}}}$

kde ${displaystyle mu = {frac {mM} {m + M}}}$ je zmenšená hmotnost elektronu vzhledem k jádru, ${displaystyle {vec {r}} _ {1}}$ a ${displaystyle {vec {r}} _ {2}}$ jsou vektory vzdálenosti elektron-jádro a ${displaystyle r_ {12} = | {vec {r_ {1}}} - {vec {r_ {2}}} |}$. Jaderný náboj, ${displaystyle Z}$ je 2 pro helium. V aproximaci nekonečně těžkého jádra ${displaystyle M = infty}$ my máme ${displaystyle mu = m}$ a termín hromadné polarizace ${extstyle {frac {hbar ^ {2}} {M}} abla _ {r_ {1}} cdot abla _ {r_ {2}}}$ zmizí. v atomové jednotky Hamiltonian zjednodušuje

${displaystyle H ({vec {r}} _ {1} ,, {vec {r}} _ {2}) = - {frac {1} {2}} abla _ {r_ {1}} ^ {2} - {frac {1} {2}} abla _ {r_ {2}} ^ {2} - {frac {Z} {r_ {1}}} - {frac {Z} {r_ {2}}} + { frac {1} {r_ {12}}}.}$

Je důležité si uvědomit, že nepracuje v normálním prostoru, ale v 6-dimenzionálním konfigurační prostor ${displaystyle ({vec {r}} _ {1} ,, {vec {r}} _ {2})}$. V této aproximaci (Pauliho aproximace ) vlnová funkce je druhého řádu spinor se 4 složkami ${displaystyle psi _ {ij} ({vec {r}} _ {1} ,, {vec {r}} _ {2})}$kde jsou indexy ${displaystyle i, j =, uparrow, downarrow}$ popsat spinovou projekci obou elektronů (z- směr nahoru nebo dolů) v nějakém souřadném systému.^[2] Musí se řídit obvyklými normalizačními podmínkami ${displaystyle sum _ {ij} int d {vec {r}} _ {1} d {vec {r}} _ {2} | psi _ {ij} | ^ {2} = 1}$. Tento obecný spinor lze zapsat jako matici 2x2 ${displaystyle {oldsymbol {psi}} = {egin {pmatrix} psi _ {uparrow uparrow} & psi _ {uparrow downarrow} psi _ {downarrow uparrow} & psi _ {downarrow downarrow} konec {pmatrix}}}$ a následně také jako lineární kombinace libovolného daného základu čtyř ortogonálních (ve vektorovém prostoru matic 2x2) konstantních matic ${displaystyle {oldsymbol {sigma}} _ {k} ^ {i}}$ se skalárními funkčními koeficienty

${displaystyle phi _ {i} ^ {k} ({vec {r}} _ {1} ,, {vec {r}} _ {2})}$ tak jako ${displaystyle {oldsymbol {psi}} = součet _ {ik} phi _ {i} ^ {k} ({vec {r}} _ {1} ,, {vec {r}} _ {2}) {oldsymbol { sigma}} _ {k} ^ {i}}$. Pohodlný základ se skládá z jedné anti-symetrické matice (s celkovou rotací ${displaystyle S = 0}$, což odpovídá a stav singletu)

${displaystyle {oldsymbol {sigma}} _ {0} ^ {0} = {frac {1} {sqrt {2}}} {egin {pmatrix} 0 & 1 -1 & 0end {pmatrix}} = {frac {1} {sqrt {2}}} (uparrow downarrow - downarrow uparrow)}$

a tři symetrické matice (s celkovou rotací ${displaystyle S = 1}$, což odpovídá a stav tripletů)

${displaystyle {oldsymbol {sigma}} _ {0} ^ {1} = {frac {1} {sqrt {2}}} {egin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0end {pmatrix}} = {frac {1} {sqrt { 2}}} (nahoru nahoru dolů nahoru + dolů nahoru nahoru) ;;}$ ${displaystyle {oldsymbol {sigma}} _ {1} ^ {1} = {egin {pmatrix} 1 & 0 0 & 0end {pmatrix}} =; uparrow uparrow ;;}$ ${displaystyle {oldsymbol {sigma}} _ {- 1} ^ {1} = {egin {pmatrix} 0 & 0 0 & 1end {pmatrix}} =; downarrow downarrow;.}$

Je snadné ukázat, že stav singletu je neměnný při všech rotacích (skalární entita), zatímco triplet lze mapovat na běžný vesmírný vektor ${displaystyle (sigma _ {x}, sigma _ {y}, sigma _ {z})}$, se třemi složkami

${displaystyle sigma _ {x} = {frac {1} {sqrt {2}}} {egin {pmatrix} 1 & 0 0 & -1end {pmatrix}}}$, ${displaystyle sigma _ {y} = {frac {i} {sqrt {2}}} {egin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1end {pmatrix}}}$ a ${displaystyle sigma _ {z} = {frac {1} {sqrt {2}}} {egin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0end {pmatrix}}}$.

Protože všechny termíny interakce spinů mezi čtyřmi složkami ${displaystyle {oldsymbol {psi}}}$ ve výše uvedených (skalárních) Hamiltonian jsou zanedbávány (např. vnější magnetické pole, nebo relativistické efekty, jako spojka momentu hybnosti ), čtyři Schrödingerovy rovnice lze vyřešit samostatně.^[3]

Točení zde přichází do hry pouze prostřednictvím Pauliho princip vyloučení, což pro fermiony (jako elektrony) vyžaduje antisymetrii pod simultánní výměna rotace a souřadnic

${displaystyle {oldsymbol {psi}} _ {ij} ({vec {r}} _ {1} ,, {vec {r}} _ {2}) = - {oldsymbol {psi}} _ {ji} ({ vec {r}} _ {2} ,, {vec {r}} _ {1})}$.

Parahelium je pak stav singletu ${displaystyle {oldsymbol {psi}} = phi _ {0} ({vec {r}} _ {1} ,, {vec {r}} _ {2}) {oldsymbol {sigma}} _ {0} ^ { 0}}$ s symetrický funkce ${displaystyle phi _ {0} ({vec {r}} _ {1} ,, {vec {r}} _ {2}) = phi _ {0} ({vec {r}} _ {2} ,, {vec {r}} _ {1})}$ a orthohelium je tripletový stav ${displaystyle {oldsymbol {psi}} _ {m} = phi _ {1} ({vec {r}} _ {1} ,, {vec {r}} _ {2}) {oldsymbol {sigma}} _ { m} ^ {1} ,; m = -1,0,1}$ s antisymetrický funkce ${displaystyle phi _ {1} ({vec {r}} _ {1} ,, {vec {r}} _ {2}) = - phi _ {1} ({vec {r}} _ {2}, , {vec {r}} _ {1})}$. Pokud je ignorován termín interakce elektron-elektron, obě prostorové funkce ${displaystyle phi _ {x} ,; x = 0,1}$ lze psát jako lineární kombinaci dvou libovolných (ortogonálních a normalizovaných)

vlastní elektronové funkce ${displaystyle varphi _ {a}, varphi _ {b}}$:

${displaystyle phi _ {x} = {frac {1} {sqrt {2}}} (varphi _ {a} ({vec {r}} _ {1}) varphi _ {b} ({vec {r}} _ {2}) pm varphi _ {a} ({vec {r}} _ {2}) varphi _ {b} ({vec {r}} _ {1}))}$

nebo pro zvláštní případy

z ${displaystyle varphi _ {a} = varphi _ {b}}$ (oba elektrony mají shodná kvantová čísla, pouze parahelium): ${displaystyle phi _ {0} = varphi _ {a} ({vec {r}} _ {1}) varphi _ {a} ({vec {r}} _ {2})}$Celková energie (jako vlastní hodnota ${displaystyle H}$) je pak pro všechny případy ${displaystyle E = E_ {a} + E_ {b}}$ (nezávisle na symetrii).

To vysvětluje absenci ${displaystyle 1 ^ {3} S_ {1}}$ stát (s ${displaystyle varphi _ {a} = varphi _ {b} = varphi _ {1s}}$) pro orthohelium, kde následně ${displaystyle 2 ^ {3} S_ {1}}$ (s ${displaystyle varphi _ {a} = varphi _ {1s}, varphi _ {b} = varphi _ {2s}}$) je metastabilní základní stav. (Stav s kvantovými čísly: hlavní kvantové číslo ${displaystyle n}$, celková rotace ${displaystyle S}$úhlové kvantové číslo ${displaystyle L}$ a celkový moment hybnosti ${displaystyle J = | L-S | tečky L + S}$ je označen ${displaystyle n ^ {2S + 1} L_ {J}}$.)

Pokud je termín interakce elektron-elektron ${displaystyle {frac {1} {r_ {12}}}}$ je zahrnuta, Schrödingerova rovnice je neoddělitelná. Pokud je však zanedbáno, všechny výše popsané stavy (například se dvěma stejnými kvantovými čísly, jako) ${displaystyle 1 ^ {1} S_ {0}}$ s ${displaystyle {oldsymbol {psi}} = varphi _ {1s} ({vec {r}} _ {1}) varphi _ {1s} ({vec {r}} _ {2}) {oldsymbol {sigma}} _ {0} ^ {0}}$) nelze zapsat jako produkt funkcí jedné elektronové vlny:${displaystyle psi _ {ik} ({vec {r}} _ {1} ,, {vec {r}} _ {2}) eq chi _ {i} ({vec {r}} _ {1}) xi _ {k} ({vec {r}} _ {2})}$ - vlnová funkce je zapletený Nelze říci, že částice 1 je uvnitř stav 1 a druhý v stav 2a měření nelze provádět na jedné částici, aniž by to ovlivnilo druhou.

Přesto lze docela dobré teoretické popisy helia získat v rámci Hartree-Fockových a Thomas-Fermiho aproximací (viz níže).

Hartree – Fockova metoda

Metoda Hartree – Fock se používá pro různé atomové systémy. Je to však jen aproximace a dnes se k řešení atomových systémů používají přesnější a účinnější metody. „problém s mnoha těly "pro hélium a dalších pár elektronových systémů lze vyřešit docela přesně. Například základní stav helia je známo na patnáct číslic. V teorii Hartree – Fock se předpokládá, že elektrony se pohybují v potenciálu vytvořeném jádrem a dalšími elektrony. The Hamiltonian pro helium se dvěma elektrony lze zapsat jako součet Hamiltoniánů pro každý elektron:

${displaystyle H = součet _ {i = 1} ^ {2} h (i) = H_ {0} + H ^ {prime}}$

kde je Hamiltonian bez rušení nulového řádu

${displaystyle H_ {0} = - {frac {1} {2}} abla _ {r_ {1}} ^ {2} - {frac {1} {2}} abla _ {r_ {2}} ^ {2 } - {frac {Z} {r_ {1}}} - {frac {Z} {r_ {2}}}}$

zatímco perturbační termín:

${displaystyle H '= {frac {1} {r_ {12}}}}$

je interakce elektron-elektron. H₀ je jen součet dvou vodíkových Hamiltoniánů:

${displaystyle H_ {0} = {hat {h}} _ {1} + {hat {h}} _ {2}}$

kde

${displaystyle {hat {h}} _ {i} = - {frac {1} {2}} abla _ {r_ {i}} ^ {2} - {frac {Z} {r_ {i}}}, i = 1,2}$

E_ni, vlastní čísla energie a ${displaystyle psi _ {n_ {i}, l_ {i}, m_ {i}} ({vec {r}} _ {i})}$, odpovídající vlastní funkce vodíkového Hamiltonianu budou označovat normalizovanou energii vlastní čísla a normalizované vlastní funkce. Tak:

${displaystyle {hat {h}} _ {i} psi _ {n_ {i}, l_ {i}, m_ {i}} ({vec {r_ {i}}}) = E_ {n_ {i}} psi _ {n_ {i}, l_ {i}, m_ {i}} ({vec {r_ {i}}})}$

kde

${displaystyle E_ {n_ {i}} = - {frac {1} {2}} {frac {Z ^ {2}} {n_ {i} ^ {2}}} {ext {in a.u.}}}$

Zanedbáním termínu odpuzování elektronů elektrony se Schrödingerova rovnice protože prostorová část funkce dvou elektronů se sníží na rovnici „nultého řádu“

${displaystyle H_ {0} psi ^ {(0)} ({vec {r}} _ {1}, {vec {r}} _ {2}) = E ^ {(0)} psi ^ {(0) } ({vec {r}} _ {1}, {vec {r}} _ {2})}$

Tato rovnice je oddělitelná a vlastní funkce lze zapsat ve formě jednotlivých produktů funkcí vodíkových vln:

${displaystyle psi ^ {(0)} ({vec {r}} _ {1}, {vec {r}} _ {2}) = psi _ {n_ {1}, l_ {1}, m_ {1} } ({vec {r}} _ {1}) psi _ {n_ {2}, l_ {2}, m_ {2}} ({vec {r}} _ {2})}$

Odpovídající energie jsou (v atomové jednotky, dále a.u.):

${displaystyle E_ {n_ {1}, n_ {2}} ^ {(0)} = E_ {n_ {1}} + E_ {n_ {2}} = - {frac {Z ^ {2}} {2} } {Bigg [} {frac {1} {n_ {1} ^ {2}}} + {frac {1} {n_ {2} ^ {2}}} {Bigg]}}$

Všimněte si, že vlnová funkce

${displaystyle psi ^ {(0)} ({vec {r}} _ {2}, {vec {r}} _ {1}) = psi _ {n_ {2}, l_ {2}, m_ {2} } ({vec {r}} _ {1}) psi _ {n_ {1}, l_ {1}, m_ {1}} ({vec {r}} _ {2})}$

Výměna elektronových štítků odpovídá stejné energii ${displaystyle E_ {n_ {1}, n_ {2}} ^ {(0)}}$. Tento konkrétní případ zvrhlost s ohledem na výměnu elektronových štítků se nazývá výměna degenerace. Přesné funkce prostorových vln atomů dvou elektronů musí být buď symetrické, nebo antisymetrický s ohledem na výměnu souřadnic ${displaystyle {vec {r}} _ {1}}$ a ${displaystyle {vec {r}} _ {2}}$ ze dvou elektronů. Správná vlnová funkce pak musí být složena ze symetrických (+) a antisymetrických (-) lineárních kombinací:

${displaystyle psi _ {pm} ^ {(0)} ({vec {r}} _ {1}, {vec {r}} _ {2}) = {frac {1} {sqrt {2}}} [ psi _ {n_ {1}, l_ {1}, m_ {1}} ({vec {r}} _ {1}) psi _ {n_ {2}, l_ {2}, m_ {2}} ({ vec {r}} _ {2}) pm psi _ {n_ {2}, l_ {2}, m_ {2}} ({vec {r}} _ {1}) psi _ {n_ {1}, l_ {1}, m_ {1}} ({vec {r}} _ {2})]}$

Toto pochází z Slaterovy determinanty.

Faktor ${displaystyle {frac {1} {sqrt {2}}}}$ normalizuje ${displaystyle psi _ {pm} ^ {(0)}}$. Abychom tuto vlnovou funkci dostali do jediného produktu vlnových funkcí s jednou částicemi, použijeme skutečnost, že je v základním stavu. Tak ${displaystyle n_ {1} = n_ {2} = 1,, l_ {1} = l_ {2} = 0,, m_ {1} = m_ {2} = 0}$. Takže ${displaystyle psi _ {-} ^ {(0)}}$ zmizí, v souladu s původní formulací Pauliho princip vyloučení, ve kterém dva elektrony nemohou být ve stejném stavu. Proto lze vlnovou funkci pro helium zapsat jako

${displaystyle psi _ {0} ^ {(0)} ({vec {r}} _ {1}, {vec {r}} _ {2}) = psi _ {1} ({vec {r_ {1} }}) psi _ {1} ({vec {r_ {2}}}) = {frac {Z ^ {3}} {pi}} e ^ {- Z (r_ {1} + r_ {2})} }$

Kde ${displaystyle psi _ {1}}$ a ${displaystyle psi _ {2}}$ použít vlnové funkce pro vodíkový Hamiltonian. ^[A] Pro helium je Z = 2 z

${displaystyle E_ {0} ^ {(0)} = E_ {n_ {1} = 1,, n_ {2} = 1} ^ {(0)} = - Z ^ {2} {ext {a.u.}}}$

kde E${displaystyle _ {0} ^ {(0)}}$ = −4 a.u. což je přibližně -108,8 eV, což odpovídá ionizačnímu potenciálu V${displaystyle _ {P} ^ {(0)}}$ = 2 a.u. (-54,4 eV). Experimentální hodnoty jsou E${displaystyle _ {0}}$ = -2,90 a.u. (≅ -79,0 eV) a V${displaystyle _ {p}}$ = 0,90 a.u. (≅ 24,6 eV).

Energie, kterou jsme získali, je příliš nízká, protože byl ignorován termín odpuzování mezi elektrony, jehož účinkem je zvýšení energetické hladiny. Jak se Z zvětšuje, náš přístup by měl přinést lepší výsledky, protože termín odpuzování elektronů elektronů bude menší.

Dosud byla použita velmi hrubá aproximace nezávislých částic, ve které je termín elektron-elektronový odpor zcela vynechán. Rozdělení Hamiltonianů ukázané níže zlepší výsledky:

${displaystyle H = {ar {H_ {0}}} + {ar {H '}}}$

kde

${displaystyle {ar {H_ {0}}} = - {frac {1} {2}} abla _ {r_ {1}} ^ {2} + V (r_ {1}) - {frac {1} {2 }} abla _ {r_ {2}} ^ {2} + V (r_ {2})}$

a

${displaystyle {ar {H '}} = {frac {1} {r_ {12}}} - {frac {Z} {r_ {1}}} - V (r_ {1}) - {frac {Z} { r_ {2}}} - V (r_ {2})}$

V (r) je centrální potenciál, který je zvolen tak, aby působil rušení ${displaystyle {ar {H '}}}$ je malý. Čistým účinkem každého elektronu na pohyb druhého je poněkud skrínink náboje jádra, takže jednoduchý odhad pro V (r) je

${displaystyle V (r) = - {frac {Z-S} {r}} = - {frac {Z_ {e}} {r}}}$

kde S je screeningová konstanta a veličina Z_E je efektivní poplatek. Potenciál je Coulombova interakce, takže odpovídající jednotlivé elektronové energie jsou dány (v a.u.)

${displaystyle E_ {0} = - (Z-S) ^ {2} = - Z_ {e} ^ {2}}$

a odpovídající vlnová funkce je dána vztahem

${displaystyle psi _ {0} (r_ {1}, r_ {2}) = {frac {Z_ {e} ^ {3}} {pi}} e ^ {- Z_ {e} (r_ {1} + r_ {2})}}$

Pokud Z_E byla 1,70, díky čemuž by výše uvedený výraz pro energii základního stavu souhlasil s experimentální hodnotou E₀ = -2 903 a.u. energie základního stavu helia. Protože v tomto případě Z = 2, screeningová konstanta je S = 0,30. Pro základní stav helia, pro průměrnou aproximaci stínění, je stínící účinek každého elektronu na druhý ekvivalent přibližně ${displaystyle {frac {1} {3}}}$ elektronického poplatku.^[5]

Thomas-Fermiho metoda

Tato sekce vyžaduje pozornost odborníka na fyziku. Přidejte prosím důvod nebo a mluvit parametr k této šabloně pro vysvětlení problému s touto částí. Fyzika WikiProject může pomoci s náborem odborníka. (Červenec 2009)

Nedlouho poté, co Schrödinger vyvinul vlnovou rovnici, Thomas – Fermiho model bylo vyvinuto. Hustota funkční teorie se používá k popisu hustoty částic ${displaystyle ho ({vec {r}}) ,, r, epsilon, mathbb {R} ^ {3}}$, a energie základního stavu E (N), kde N je počet elektronů v atomu. Pokud existuje velké množství elektronů, Schrödingerova rovnice narazí na problémy, protože je velmi obtížné ji vyřešit, dokonce i v základních stavech atomu. To je místo, kde přichází funkční teorie hustoty. Thomas-Fermiova teorie poskytuje velmi dobrou intuici toho, co se děje v základních stavech atomů a molekul s N elektrony.

Energie funkční pro atom s N elektrony je dána vztahem:

${displaystyle xi = {frac {3} {5}} gamma int _ {mathbb {R} ^ {3}} ho ^ {5/3} ({vec {r}}) d ^ {3} {vec {r }}, + int _ {mathbb {R} ^ {3}} V ({vec {r}}) ho ({vec {r}}) d ^ {3} {vec {r}}, + {frac { e ^ {2}} {2}} int _ {mathbb {R} ^ {3}} {frac {ho ({vec {r}}) ho ({vec {r '}})}} | | {vec { r}} - {vec {r '}} |}}, d ^ {3} {vec {r}} d ^ {3} {vec {r'}}}$

Kde

${displaystyle gamma = (3pi ^ {2}) ^ {2/3} {frac {hbar ^ {2}} {2m}}}$

Hustota elektronů musí být větší nebo rovna 0, ${displaystyle int _ {mathbb {R} ^ {3}} ho = N}$, a ${displaystyle ho ightarrow xi}$ je konvexní.

Ve funkční energii má každý termín určitý význam. První termín popisuje minimální kvantově-mechanickou kinetickou energii potřebnou k vytvoření elektronové hustoty ${displaystyle ho ({vec {x}})}$ pro N počet elektronů. Dalším termínem je atraktivní interakce elektronů s jádry prostřednictvím Coulombova potenciálu ${displaystyle V ({vec {r}})}$. Konečným termínem je potenciální energie odpuzující elektrony od elektronů.^[6]

Hamiltonián pro soustavu mnoha elektronů lze tedy napsat:

${displaystyle H = součet _ {i = 1} ^ {N} {Bigg [} - {frac {hbar ^ {2}} {2m}} abla _ {i} ^ {2} + V ({vec {r_ { i}}}) {Bigg]} + int {frac {e ^ {2} ho ({vec {r '}})}} {| {vec {r}} - {vec {r'}} |}} d ^ {3} r '}$

Pro helium je N = 2, takže hamiltonián je dán vztahem:

${displaystyle H = - {frac {hbar ^ {2}} {2m}} (abla _ {1} ^ {2} + abla _ {2} ^ {2}) + V ({vec {r_ {1}} } ,, {vec {r_ {2}}}) + int {frac {e ^ {2} ho ({vec {r '}})} {| {vec {r}} - {vec {r'}} |}} d ^ {3} r '}$

Kde

${displaystyle int {frac {e ^ {2} ho ({vec {r '}})} {| {vec {r}} - {vec {r'}} |}} d ^ {3} r '= { frac {e ^ {2}} {4pi epsilon _ {0}}} {frac {1} {| {vec {r}} _ {1} - {vec {r}} _ {2} |}} ,, {ext {and}}, V ({vec {r_ {1}}} ,, {vec {r_ {2}}}) = {frac {e ^ {2}} {4pi epsilon _ {0}}} { Bigg [} {frac {2} {r_ {1}}} + {frac {2} {r_ {2}}} {Bigg]}}$

poddajný

${displaystyle H = - {frac {hbar ^ {2}} {2m}} (abla _ {1} ^ {2} + abla _ {2} ^ {2}) + {frac {e ^ {2}} { 4pi epsilon _ {0}}} {Bigg [} {frac {2} {r_ {1}}} + {frac {2} {r_ {2}}} - {frac {1} {| {vec {r} } _ {1} - {vec {r}} _ {2} |}} {Bigg]}}$

Z metody Hartree – Fock je známo, že ignorujeme-li termín elektron-elektronový odpor, energie je 8E₁ = -109 eV.

Variační metoda

Chcete-li získat přesnější energii, variační princip lze aplikovat na elektron-elektronový potenciál V_ee pomocí vlnové funkce

${displaystyle psi _ {0} ({vec {r}} _ {1} ,, {vec {r}} _ {2}) = {frac {8} {pi a ^ {3}}} e ^ {- 2 (r_ {1} + r_ {2}) / a}}$:

${displaystyle langle Hangle = 8E_ {1} + langle V_ {ee} angle = 8E_ {1} + {Bigg (} {frac {e ^ {2}} {4pi epsilon _ {0}}} {Bigg)} {Bigg (} {frac {8} {pi a ^ {3}}} {Bigg)} ^ {2} int {frac {e ^ {- 4 (r_ {1} + r_ {2}) / a}} {| {vec {r}} _ {1} - {vec {r}} _ {2} |}}, d ^ {3} {vec {r}} _ {1}, d ^ {3} {vec {r }} _ {2}}$

Po integraci je výsledkem:

${displaystyle langle Hangle = 8E_ {1} + {frac {5} {4a}} {Bigg (} {frac {e ^ {2}} {4pi epsilon _ {0}}} {Bigg)} = 8E_ {1} - {frac {5} {2}} E_ {1} = - 109 + 34 = -75 {ext {eV}}}$

To je blíže experimentální hodnotě, ale pokud se použije lepší funkce zkušební vlny, lze získat ještě přesnější odpověď. Ideální vlnová funkce by byla taková, která nebude ignorovat vliv druhého elektronu. Jinými slovy, každý elektron představuje mrak negativního náboje, který poněkud chrání jádro, takže druhý elektron skutečně vidí efektivní jaderný náboj Z, který je menší než 2. Vlnová funkce tohoto typu je dána vztahem:

${displaystyle psi ({vec {r}} _ {1}, {vec {r}} _ {2}) = {frac {Z ^ {3}} {pi a ^ {3}}} e ^ {- Z (r_ {1} + r_ {2}) / a}}$

Zacházení s Z jako s variačním parametrem k minimalizaci H. Hamiltonián pomocí výše uvedené vlnové funkce je dán vztahem:

${displaystyle langle Hangle = 2Z ^ {2} E_ {1} +2 (Z-2) {Bigg (} {frac {e ^ {2}} {4pi epsilon _ {0}}} {Bigg)} leftlangle {frac {1} {r}} ightangle + leftlangle V_ {ee} ightangle}$

Po výpočtu očekávané hodnoty ${displaystyle {frac {1} {r}}}$ a V_ee očekávaná hodnota Hamiltonian se stává:

${displaystyle langle Hangle = left [-2Z ^ {2} + {frac {27} {4}} Zight] E_ {1}}$

Je třeba vypočítat minimální hodnotu Z, takže převzetí derivace vzhledem k Z a nastavení rovnice na 0 dá minimální hodnotu Z:

${displaystyle {frac {d} {dZ}} vlevo (vlevo [-2Z ^ {2} + {frac {27} {4}} Zima] E_ {1} ight) = 0}$

${displaystyle Z = {frac {27} {16}} sim 1,69}$

To ukazuje, že druhý elektron poněkud chrání jádro, čímž snižuje efektivní náboj ze 2 na 1,69. Takže získáme dosud nejpřesnější výsledek:

${displaystyle {frac {1} {2}} {Bigg (} {frac {3} {2}} {Bigg)} ^ {6} E_ {1} = - 77,5 {ext {eV}}}$

Kde zase E₁ představuje ionizační energii vodíku.

Použitím složitějších / přesnějších vlnových funkcí byla vypočítána energie základního stavu helia blíže a blíže experimentální hodnotě −78,95 eV.^[7] Variační přístup byl zdokonalen na velmi vysokou přesnost pro komplexní režim kvantových stavů G.W.F. Drake a spolupracovníci^[8][9][10] stejně jako J.D.Morgan III, Jonathan Baker a Robert Hill^[11][12][13] pomocí Hylleraas nebo Frankowski-Pekeris základní funkce. Je třeba zahrnout relativistické a kvantová elektrodynamická korekce pro získání úplné shody s experimentem na spektroskopickou přesnost^[14][15]

Experimentální hodnota ionizační energie

Helium je první ionizační energie je −24,587387936 (25) eV.^[16] Tato hodnota byla odvozena experimentem.^[17] Teoretická hodnota druhé ionizační energie atomu hélia je -54,41776311 (2) eV.^[16] Celková energie základního stavu atomu helia je -79,005151042 (40) eV,^[16] nebo −2,90338583 (13) Atomové jednotky a.u., což se rovná -5,80677166 (26) Ry.

Viz také

• Araki – Sucherova korekce
• Vodíkový molekulární ion
• Atom lithia
• Seznam kvantově-mechanických systémů s analytickými řešeními
• Teorie kvantového pole
• Kvantová mechanika
• Kvantové stavy
• Teoretické a experimentální zdůvodnění Schrödingerovy rovnice
• „Atom helia“ na Wikiversity

Reference