Etendue - Etendue

Etendue nebo étendue (/ˌeɪtɒnˈduː/; Francouzská výslovnost:[etɑ̃dy]) je majetkem světlo v optický systém, který charakterizuje, jak „rozložené“ je světlo v oblasti a úhlu. Odpovídá to produkt parametru paprsku (BPP) v Gaussův paprsek optika.

Z hlediska zdroje je to součin oblasti zdroje a plný úhel že systém je vstupní žák subtends jak je vidět ze zdroje. Ekvivalentně, ze systémového hlediska, se etendue rovná ploše vstupního zornice krát plný úhel, který zdroj podřízne, jak je vidět z zornice. Tyto definice musí být použity pro nekonečně malé „prvky“ plochy a objemového úhlu, které pak musí být sečteny přes zdroj i bránici, jak je znázorněno níže. Etendu lze považovat za svazek v fázový prostor.

Etendue nikdy neklesá v žádném optickém systému, kde je zachován optický výkon.^[1] Dokonalý optický systém vytváří obraz se stejnou etendou jako zdroj. Etenda souvisí s Lagrangeův invariant a optický invariant, které sdílejí vlastnost být konstantní v ideálním optickém systému. The záře optického systému se rovná derivaci sálavý tok s ohledem na etendue.

Termín étendue pochází z francouzštiny étendue géométrique, což znamená „geometrický rozsah“. Jiná jména pro tuto vlastnost jsou přijetí, propustnost, lehké uchopení, shromažďování světla nebo - sběrná síla, optický rozsah, geometrický rozsaha AΩ produkt. Propustnost a AΩ produkt se používají zejména v radiometrie a radiační přenos, pokud souvisí s faktor zobrazení (nebo tvarový faktor). Jedná se o ústřední koncept v zobrazovací optika.^[2]^[3]^[4]

Definice

Etendue pro a diferenciální povrchový prvek ve 2D (vlevo) a 3D (vpravo).

Infinitezimální povrchový prvek, dS, s normálem n_S je ponořen do média index lomu n. Povrch protíná (nebo vyzařuje) světlo omezené na plný úhel, dΩ, pod úhlem θ s normální n_S. Oblast dS promítnuté ve směru šíření světla je dS cos θ. Etenda tohoto světelného přechodu dS je definována jako

{ displaystyle mathrm {d} G = n ^ {2} , mathrm {d} S cos theta , mathrm {d} Omega.}

Protože úhly, plné úhly a indexy lomu jsou bezrozměrné množství, etendue má jednotky plochy (dané dS).

Zachování etendue

Jak je ukázáno níže, etendue se zachovává, když světlo prochází volným prostorem a při lomu nebo odrazu. Poté se také konzervuje, když světlo prochází optickými systémy, kde prochází dokonalými odrazy nebo lomy. Pokud však mělo zasáhnout světlo, řekněme, a difuzor, jeho plný úhel by se zvětšil, což by zvýšilo etendue. Etendue pak může zůstat konstantní nebo se může zvyšovat, jak se světlo šíří optikou, ale nemůže klesat. To je přímý důsledek zvyšování entropie, který lze vrátit pouze v případě, že se k rekonstrukci fázově přizpůsobeného vlnového čela použijí apriorní znalosti, například fázově sdružená zrcadla.

Zachování etendue lze odvodit v různých kontextech, například z optických prvních principů, z Hamiltonova optika nebo z druhý zákon termodynamiky.^[2]

Ve volném prostoru

Etendue ve volném prostoru.

Zvažte světelný zdroj Σa detektor světla S, z nichž oba jsou rozšířené povrchy (spíše než diferenciální prvky) a které jsou odděleny a střední indexu lomu n to je dokonale průhledný (zobrazeno). Pro výpočet etendue systému je třeba zvážit příspěvek každého bodu na povrchu světelného zdroje, protože vrhají paprsky do každého bodu přijímače.^[5]

Podle výše uvedené definice je etendue světelného přechodu dΣ směrem k dS darováno:

{ displaystyle mathrm {d} G _ { Sigma} = n ^ {2} , mathrm {d} Sigma cos theta _ { Sigma} , mathrm {d} Omega _ { Sigma } = n ^ {2} , mathrm {d} Sigma cos theta _ { Sigma} { frac { mathrm {d} S cos theta _ {S}} {d ^ {2} }}}

kde dΩ_Σ je plný úhel definovaný oblastí dS v oblasti dΣ. Podobně etendue světelného přechodu dS pocházející z dΣ darováno:

{ displaystyle mathrm {d} G_ {S} = n ^ {2} , mathrm {d} S cos theta _ {S} , mathrm {d} Omega _ {S} = n ^ {2} , mathrm {d} S cos theta _ {S} { frac { mathrm {d} Sigma cos theta _ { Sigma}} {d ^ {2}}},}

kde dΩ_S je plný úhel definovaný oblastí dΣ. Výsledkem těchto výrazů je

{ displaystyle mathrm {d} G _ { Sigma} = mathrm {d} G_ {S},}

což ukazuje, že etendue je zachována, protože světlo se šíří ve volném prostoru.

Etendou celého systému je pak:

{ displaystyle G = int _ { Sigma} ! int _ {S} mathrm {d} G.}

Pokud jsou oba povrchy dΣ adS jsou ponořeny do vzduchu (nebo do vakua), n = 1 a výše uvedený výraz pro etendu lze zapsat jako

{ displaystyle mathrm {d} G = mathrm {d} Sigma , cos theta _ { Sigma} , { frac { mathrm {d} S , cos theta _ {S} } {d ^ {2}}} = pi , mathrm {d} Sigma , left ({ frac { cos theta _ { Sigma} cos theta _ {S}} { pi d ^ {2}}} , mathrm {d} S vpravo) = pi , mathrm {d} Sigma , F _ { mathrm {d} Sigma rightarrow mathrm {d} S },}

kde F_{dΣ→ dS} je faktor zobrazení mezi diferenciálními plochami dΣ adS. Integrace dΣ adS výsledky v G = πΣ F_Σ→S což umožňuje získat etendu mezi dvěma povrchy z faktorů zobrazení mezi těmito povrchy, jak je uvedeno v a seznam faktorů zobrazení pro konkrétní případy geometrie nebo v několika přenos tepla učebnice.

Zachování etendu ve volném prostoru souvisí s věta o vzájemnosti pro faktory zobrazení.

V lomech a odrazech

Lom světla.

Zachování etendu diskutované výše platí pro případ šíření světla ve volném prostoru nebo obecněji v médiu, ve kterém index lomu je konstantní. Etendue je však také zachována v lomech a odrazech.^[2] Obrázek "lom světla" ukazuje nekonečně malý povrch dS na xy rovina oddělující dvě média indexů lomu n_Σ a n_S.

Normální do dS body ve směru k z osa. Přicházející světlo je omezeno na plný úhel dΩ_Σ a dosáhne dS pod úhlem θ_Σ do normálu. Lomené světlo je omezeno na plný úhel dΩ_S a listy dS pod úhlem θ_S do normálu. Směry přicházejícího a lomeného světla jsou obsaženy v rovině, která svírá úhel φ do X osa, definující tyto směry v a sférický souřadný systém. S těmito definicemi Snellov zákon lomu lze zapsat jako

{ displaystyle n _ { Sigma} sin theta _ { Sigma} = n_ {S} sin theta _ {S},}

a jeho derivát ve vztahu k θ

{ displaystyle n _ { Sigma} cos theta _ { Sigma} , mathrm {d} theta _ { Sigma} = n_ {S} cos theta _ {S} mathrm {d} theta _ {S},}

vynásobené navzájem výsledkem

{ displaystyle n _ { Sigma} ^ {2} cos theta _ { Sigma} ! left ( sin theta _ { Sigma} , mathrm {d} theta _ { Sigma} , mathrm {d} varphi right) = n_ {S} ^ {2} cos theta _ {S} ! left ( sin theta _ {S} , mathrm {d} theta _ {S} , mathrm {d} varphi right),}

kde obě strany rovnice byly také vynásobeny dφ který se nemění na lomu. Tento výraz lze nyní zapsat jako

{ displaystyle n _ { Sigma} ^ {2} cos theta _ { Sigma} , mathrm {d} Omega _ { Sigma} = n_ {S} ^ {2} cos theta _ { S} , mathrm {d} Omega _ {S},}

a vynásobením obou stran dS dostaneme

{ displaystyle n _ { Sigma} ^ {2} , mathrm {d} S cos theta _ { Sigma} , mathrm {d} Omega _ { Sigma} = n_ {S} ^ { 2} , mathrm {d} S cos theta _ {S} , mathrm {d} Omega _ {S}}

to je

{ displaystyle mathrm {d} G _ { Sigma} = mathrm {d} G_ {S},}

což ukazuje, že se věnec světla lomil v dS je zachována. Stejný výsledek platí také pro případ odrazu na povrchu dS, v jakém případě n_Σ = n_S a θ_Σ = θ_S.

Zachování základního záření

Záře povrchu souvisí s endendou podle:

{ displaystyle L _ { mathrm {e}, Omega} = n ^ {2} { frac { částečné Phi _ { mathrm {e}}} { částečné G}},}

kde

${ displaystyle Phi _ { mathrm {e}}}$ je sálavý tok emitované, odražené, vysílané nebo přijímané;
n je index lomu, do kterého je tento povrch ponořen;
G je tendue světelného paprsku.

Jak světlo prochází ideálním optickým systémem, je zachována jak étendue, tak zářivý tok. Proto, základní záře definováno jako:^[6]

{ displaystyle L _ { mathrm {e}, Omega} ^ {*} = { frac {L _ { mathrm {e}, Omega}} {n ^ {2}}}}

je také zachována. V reálných systémech může dojít k nárůstu étendue (například v důsledku rozptylu) nebo k poklesu sálavého toku (například v důsledku absorpce), a proto může dojít ke snížení základního záření. Tendence se však nemusí snižovat a zářivý tok se nemusí zvyšovat, a proto se základní záře nemusí zvyšovat.

Etendue jako svazek ve fázovém prostoru

Optická hybnost.

V kontextu Hamiltonova optika, v bodě ve vesmíru může být světelný paprsek zcela definován bodem r = (X, y, z), jednotka Euklidovský vektor proti = (cos α_X, cos α_Y, cos α_Z) udávající jeho směr a index lomu n v bodě r. Optická hybnost paprsku v tomto bodě je definována vztahem

{ displaystyle mathbf {p} = n ( cos alpha _ {X}, cos alpha _ {Y}, cos alpha _ {Z}) = (p, q, r),}

kde ||p|| = n. Geometrie vektoru optické hybnosti je znázorněna na obrázku „optická hybnost“.

V sférický souřadný systém p lze psát jako

{ Displaystyle mathbf {p} = n ! left ( sin theta cos varphi, sin theta sin varphi, cos theta right),}

z nichž

{ displaystyle mathrm {d} p , mathrm {d} q = { frac { částečné (p, q)} { částečné ( theta, varphi)}} mathrm {d} theta , mathrm {d} varphi = left ({ frac { částečné p} { částečné theta}} { frac { částečné q} { částečné varphi}} - { frac { částečné p } { částečné varphi}} { frac { částečné q} { částečné theta}} pravé) mathrm {d} theta , mathrm {d} varphi = n ^ {2} cos theta sin theta , mathrm {d} theta , mathrm {d} varphi = n ^ {2} cos theta , mathrm {d} Omega,}

a proto pro nekonečně malou oblast dS = dX dy na xy rovina ponořená do média indexu lomu n, etendue je dána

{ displaystyle mathrm {d} G = n ^ {2} , mathrm {d} S cos theta , mathrm {d} Omega = mathrm {d} x , mathrm {d} y , mathrm {d} p , mathrm {d} q,}

což je nekonečně malý objem ve fázovém prostoru X, y, p, q. Zachování etendue ve fázovém prostoru je v optice ekvivalentní s Liouvilleova věta v klasické mechanice.^[2] Etendue jako objem ve fázovém prostoru se běžně používá v zobrazovací optika.

Maximální koncentrace

Etendue pro velký plný úhel.

Uvažujme nekonečně malý povrch dS, ponořený do média indexu lomu n protíná (nebo vyzařuje) světlo uvnitř kuželu úhlu α. Zánik tohoto světla je dán

{ displaystyle mathrm {d} G = n ^ {2} , mathrm {d} S int cos theta , mathrm {d} Omega = n ^ {2} dS int _ {0 } ^ {2 pi} ! Int _ {0} ^ { alpha} cos theta sin theta , mathrm {d} theta , mathrm {d} varphi = pi n ^ {2} mathrm {d} S sin ^ {2} alfa.}

Všímat si toho n hřích α je numerická clona NA, paprsku světla, lze to také vyjádřit jako

{ displaystyle mathrm {d} G = pi , mathrm {d} S , mathrm {NA} ^ {2}.}

Všimněte si, že dΩ je vyjádřeno v a sférický souřadný systém. Nyní, pokud velká plocha S je protínáno (nebo vyzařuje) světlo omezené také na kužel úhlu α, etendue světelného přechodu S je

{ displaystyle G = pi n ^ {2} sin ^ {2} alpha int mathrm {d} S = pi n ^ {2} S sin ^ {2} alpha = pi S , mathrm {NA} ^ {2}.}

Etendue a ideální koncentrace.

Omezení maximální koncentrace (zobrazeno) je optika se vstupním otvorem S, ve vzduchu (n_i = 1) sbírání světla v pevném úhlu úhlu 2α (své úhel přijetí ) a odeslání do přijímače menší oblasti Σ ponořen do média indexu lomu n, jejíž body jsou osvětleny v plném úhlu úhlu 2β. Z výše uvedeného výrazu je etendue přicházejícího světla

{ displaystyle G _ { mathrm {i}} = pi S sin ^ {2} alfa}

a etendue světla dopadajícího na přijímač je

{ displaystyle G _ { mathrm {r}} = pi n ^ {2} Sigma sin ^ {2} beta.}

Zachování etendue G_i = G_r pak dává

{ displaystyle C = { frac {S} { Sigma}} = n ^ {2} { frac { sin ^ {2} beta} { sin ^ {2} alpha}},}

kde C je koncentrace optiky. Pro danou úhlovou clonu α, přicházejícího světla, bude tato koncentrace maximální pro maximální hodnotu hříchu β, to je β = π / 2. Maximální možná koncentrace je tedy^[2]^[3]

{ displaystyle C _ { mathrm {max}} = { frac {n ^ {2}} { sin ^ {2} alpha}}.}

V případě, že index incidentů není jednota, máme

{ displaystyle G _ { mathrm {i}} = pi n _ { mathrm {i}} S sin ^ {2} alpha = G _ { mathrm {r}} = pi n _ { mathrm {r} } Sigma sin ^ {2} beta,}

a tak

{ displaystyle C = left ({ frac { mathrm {NA} _ { mathrm {r}}} { mathrm {NA} _ { mathrm {i}}}} right) ^ {2}, }

a v nejlepším případě limit β = π / 2, toto se stane

{ displaystyle C _ { mathrm {max}} = { frac {n _ { mathrm {r}} ^ {2}} { mathrm {NA} _ { mathrm {i}} ^ {2}}}. }

Pokud by optika byla a kolimátor místo koncentrátoru je směr světla obrácen a zachování etendue nám dává minimální clonu, S, pro daný výstup plný úhel 2α.

Viz také

Reference

^ Poznámky k přednášce o Radiance
^ ^A ^b ^C ^d ^E Chaves, Julio (2015). Úvod do zobrazovací optiky, druhé vydání. CRC Press. ISBN 978-1482206739.
^ ^A ^b Roland Winston et al. ,, Nezobrazovací optika, Academic Press, 2004 ISBN 978-0127597515
^ Matthew S. Brennesholtz, Edward H. Stupp, Projekční displeje, John Wiley & Sons Ltd, 2008 ISBN 978-0470518038
^ Wikilivre de Photographie, Pojem d'étendue géométrique (francouzsky). Zpřístupněno 27. ledna 2009.
^ William Ross McCluney, Úvod do radiometrie a fotometrie, Artech House, Boston, MA, 1994 ISBN 978-0890066782

Další čtení

Greivenkamp, John E. (2004). Polní průvodce geometrickou optikou. SPIE Field Guides vol. FG01. SPIE. ISBN 0-8194-5294-7.
Xutao slunce et al., 2006, „Analýza etendue a měření světelného zdroje s eliptickým reflektorem“, Displeje (27), 56–61.
Randall Munroe vysvětluje, proč je nemožné zapálit oheň koncentrovaným měsíčním světlem pomocí argumentu zachování etendue. Munroe, Randall. „Fire from Moonlight“. Co když?. Citováno 28. července 2020.

[1] Poznámky k přednášce o Radiance

[IntroNio2e-2] A ^b ^C ^d ^E Chaves, Julio (2015). Úvod do zobrazovací optiky, druhé vydání. CRC Press. ISBN 978-1482206739.

[NIO-3] A ^b Roland Winston et al. ,, Nezobrazovací optika, Academic Press, 2004 ISBN 978-0127597515

[Projection_Displays-4] Matthew S. Brennesholtz, Edward H. Stupp, Projekční displeje, John Wiley & Sons Ltd, 2008 ISBN 978-0470518038

[Wikilivre-5] Wikilivre de Photographie, Pojem d'étendue géométrique (francouzsky). Zpřístupněno 27. ledna 2009.

[6] William Ross McCluney, Úvod do radiometrie a fotometrie, Artech House, Boston, MA, 1994 ISBN 978-0890066782

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]