Metody H-nekonečna v teorii řízení - H-infinity methods in control theory - Wikipedia

H_∞ (tj. "H-nekonečno") metody jsou používány v teorie řízení syntetizovat řadiče k dosažení stabilizace se zaručeným výkonem. Použít H_∞ metody, návrhář kontrol vyjadřuje problém s kontrolou jako a matematická optimalizace problém a poté najde řadič, který tuto optimalizaci řeší. H_∞ techniky mají v tom výhodu oproti klasickým technikám řízení H_∞ techniky jsou snadno použitelné na problémy zahrnující vícerozměrné systémy s křížovou vazbou mezi kanály; nevýhody H_∞ Mezi tyto techniky patří úroveň matematického porozumění potřebná k jejich úspěšnému použití a potřeba přiměřeně dobrého modelu systému, který má být kontrolován. Je důležité mít na paměti, že výsledný řadič je pouze optimální s ohledem na předepsanou nákladovou funkci a nemusí nutně představovat nejlepší řadič, pokud jde o obvyklá měřítka výkonu používaná k hodnocení řadičů, jako je doba usazení, vynaložená energie atd. Nelineární omezení, jako je sytost, také obecně nejsou dobře zpracována. Tyto metody byly do teorie řízení zavedeny koncem sedmdesátých a začátku osmdesátých let George Zames (minimalizace citlivosti),^[1] J. William Helton (přizpůsobení širokopásmového připojení),^[2]a Allen Tannenbaum (optimalizace ziskové marže).^[3]

Fráze H_∞ řízení pochází z názvu matematického prostoru, ve kterém probíhá optimalizace: H_∞ je Hardy prostor z matice -hodnotené funkce, které jsou analytický a ohraničené v otevřené pravé polovině složité letadlo definované Re (s)> 0; the H_∞ norm je maximální singulární hodnota funkce v daném prostoru. (To lze interpretovat jako maximální zisk v libovolném směru a na jakékoli frekvenci; pro SISO to je skutečně maximální velikost frekvenční odezvy.) H_∞ k minimalizaci dopadu uzavřené smyčky na rušení lze použít techniky: v závislosti na formulaci problému bude dopad měřen z hlediska stabilizace nebo výkonu.

Současná optimalizace robustního výkonu a robustní stabilizace je obtížná. Jednou z metod, která se blíží dosažení tohoto cíle, je H_∞ tvarování smyčky, který umožňuje návrháři řízení použít klasické koncepty tvarování smyčky na frekvenční odezvu s více proměnnými, aby získal dobrý robustní výkon, a poté optimalizuje odezvu poblíž šířky pásma systému, aby se dosáhlo dobré robustní stabilizace.

Na podporu je k dispozici komerční software H_∞ syntéza regulátoru.

Formulace problému

Nejprve je třeba proces reprezentovat podle následující standardní konfigurace:

Rostlina P má dva vstupy, exogenní vstup w, který zahrnuje referenční signál a poruchy a manipulované proměnné u. Existují dva výstupy, chybové signály z které chceme minimalizovat, a měřené proměnné proti, které používáme k ovládání systému. proti se používá v K. k výpočtu manipulovaných proměnných u. Všimněte si, že to vše je obecně vektory, zatímco P a K. jsou matice.

Ve vzorcích je systém:

${ displaystyle { begin {bmatrix} z ​​ v end {bmatrix}} = mathbf {P} (s) , { begin {bmatrix} w u end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} P_ {11} (s) & P_ {12} (s) P_ {21} (s) & P_ {22} (s) end {bmatrix}} , { begin {bmatrix} w u end {bmatrix}}}$

${ displaystyle u = mathbf {K} (s) , v}$

Je tedy možné vyjádřit závislost z na w tak jako:

${ displaystyle z = F _ { ell} ( mathbf {P}, mathbf {K}) , w}$

Volal dolní lineární frakční transformace, ${ displaystyle F _ { ell}}$ je definován (dolní index pochází z dolní):

${ displaystyle F _ { ell} ( mathbf {P}, mathbf {K}) = P_ {11} + P_ {12} , mathbf {K} , (I-P_ {22} , mathbf {K}) ^ {- 1} , P_ {21}}$

Proto je cílem ${ displaystyle { mathcal {H}} _ { infty}}$ design ovládání je najít ovladač ${ displaystyle mathbf {K}}$ takhle ${ displaystyle F _ { ell} ( mathbf {P}, mathbf {K})}$ je minimalizován podle ${ displaystyle { mathcal {H}} _ { infty}}$ norma. Stejná definice platí pro ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {2}}$ návrh ovládání. Norma nekonečna matice přenosové funkce ${ displaystyle F _ { ell} ( mathbf {P}, mathbf {K})}$ je definován jako:

${ displaystyle || F _ { ell} ( mathbf {P}, mathbf {K}) || _ { infty} = sup _ { omega} { bar { sigma}} (F _ { ell} ( mathbf {P}, mathbf {K}) (j omega))}$

kde ${ displaystyle { bar { sigma}}}$ je maximum singulární hodnota matice ${ displaystyle F _ { ell} ( mathbf {P}, mathbf {K}) (j omega)}$.

Dosažitelný H_∞ Norma systému uzavřené smyčky je dána hlavně prostřednictvím matice D₁₁ (když systém P je uveden ve formě (A, B₁, B₂, C₁, C₂, D₁₁, D₁₂, D₂₂, D₂₁)). Existuje několik způsobů, jak přijít k H_∞ ovladač:

• A Parametrizace Youla-Kučera uzavřené smyčky často vede k řadiči velmi vysokého řádu.
• Riccati přístupy založené na řešení 2 Riccatiho rovnice najít řadič, ale vyžadují několik zjednodušujících předpokladů.
• Optimalizace založená formulace použití Riccatiho rovnice používá lineární maticové nerovnosti a vyžaduje méně předpokladů.

Viz také

• Hardy prostor
• H náměstí
• Tvarování smyčky H-nekonečno
• Lineárně-kvadraticko-gaussovské řízení (LQG)
• Matice systému Rosenbrock

Reference

Bibliografie