Doména Goldman - Goldman domain

v matematika, a Doména Goldman nebo G-doména je integrální doména A jehož pole zlomků je definitivně generován algebra skončila A.^[1] Jsou pojmenovány po Oscar Goldman.

An overring (tj. mezikruh ležící mezi prstencem a jeho zlomkovým polem) domény Goldmana je opět doménou Goldmana. Existuje doména Goldman, kde jsou všechny nenulové primární ideály maximální, i když existuje nekonečně mnoho hlavních ideálů.^[2]

An ideál Já v komutativní prsten A se nazývá a Goldman ideální pokud kvocient A/Já je doména Goldman. Ideál Goldmana je tedy primární, ale ne nutně maximální. Ve skutečnosti je komutativní kruh a Jacobsonův prsten právě tehdy, když je v něm každý ideál Goldmana maximální.

Pojem Goldmanova ideálu lze použít k poskytnutí mírně ostré charakteristiky a radikál ideálu: radikál ideáluJá je křižovatkou všech ideálů Goldmana, které obsahujíJá.

Alternativní definice

An integrální doména ${ displaystyle D}$ je G-doména právě když:

1. Jeho kvocientové pole je a jednoduché rozšíření z ${ displaystyle D}$^{[je zapotřebí objasnění ]}
2. Jeho kvocientové pole je a konečné prodloužení z ${ displaystyle D}$^{[pochybný – diskutovat]} (Všimněte si, že by to znamenalo, že pole kvocientu je integrální nad D a tedy D má Krullův rozměr nula; tj. Pole.)
3. Průsečík jeho nenulové hodnoty hlavní ideály (nezaměňovat s nilradikální ) je nenulová
4. Existuje nenulový prvek ${ displaystyle u}$ takové, že pro jakýkoli nenulový ideál ${ displaystyle I}$, ${ displaystyle u ^ {n} v I}$ pro některé ${ displaystyle n}$.^[3]

A G-ideální je definován jako ideální ${ displaystyle I podmnožina R}$ takhle ${ displaystyle R / I}$ je doména G. Protože a faktorový prsten je integrální doménou tehdy a jen tehdy, když je prsten zohledněn primárním ideálem, je každý ideální G také ideálním ideálem. G-ideály lze použít jako rafinovanou kolekci prvotřídních ideálů v následujícím smyslu: Radikální lze charakterizovat jako průsečík všech hlavních ideálů obsahujících ideál a ve skutečnosti stále dostáváme radikál, i když průnik přejdeme přes G-ideály.^[4]

Každý maximální ideál je G-ideál, protože kvocient podle maximálního ideálu je pole a pole je triviálně G-doménou. Proto jsou maximální ideály G-ideály a G-ideály jsou prvotřídní ideály. G-ideály jsou jedinými maximálními ideály Jacobsonův prsten, a ve skutečnosti se jedná o ekvivalentní charakterizaci Jacobsonova prstenu: prsten je Jacobsonův prsten, když jsou všechny ideály G maximálními ideály. To vede ke zjednodušenému důkazu Nullstellensatz.^[5]

Je známo, že dané ${ displaystyle T supset R}$, kruhová přípona G-domény, ${ displaystyle T}$ je algebraické ${ displaystyle R}$ právě tehdy, když každé prodloužení vyzvánění mezi ${ displaystyle T}$ a ${ displaystyle R}$ je doména G.^[6]

A Noetherian doména je doménou G, pokud je její hodnost nejvýše jedna a má pouze konečně mnoho maximálních ideálů (nebo ekvivalentně hlavních ideálů).^{[7][pochybný – diskutovat]}

Poznámky

Reference

• Kaplansky, Irving (1974), Komutativní prsteny (Přepracované vydání), University of Chicago Press, ISBN  0-226-42454-5, PAN  0345945
• Picavet, Gabriel (1999), „About GCD domains“, Dobbs, David E. (ed.), Pokroky v komutativní prstencové teorii. Sborník z 3. mezinárodní konference, Fez, Maroko, Přednáška. Poznámky Pure Appl. Matematika., 205, New York, NY: Marcel Dekker, s. 501–519, ISBN  0824771478, Zbl  0982.13012