Geometrická fáze - Geometric phase

v klasický a kvantová mechanika, geometrická fáze je fáze rozdíl získaný v průběhu a cyklus, když je systém cyklicky vystaven adiabatické procesy, který vyplývá z geometrických vlastností prostor parametrů z Hamiltonian.^[1] Fenomén nezávisle objevil S. Pancharatnam (1956)^[2] a tím H. C. Longuet-Higgins (1958)^[3] a později zobecnit Sir Michael Berry (1984).^[4] To je také známé jako Fáze Pancharatnam – Berry, Pancharatnam fázenebo Berryho fáze.Je to vidět na kónický průnik z povrchy potenciální energie^[3][5] a v Aharonov – Bohmův efekt. Geometrická fáze kolem kuželovitého průsečíku zahrnujícího pozemní elektronický stav C₆H₃F₃⁺ molekulární iont je popsán na stranách 385-386 učebnice od Bunkera a Jensena.^[6]V případě Aharonov – Bohmova je adiabatický parametr magnetické pole uzavřené dvěma interferenčními cestami a je cyklické v tom smyslu, že tyto dvě cesty tvoří smyčku. V případě kuželovitého průniku je adiabatický parametry jsou molekulární souřadnice. Kromě kvantové mechaniky vzniká v řadě dalších mávat systémy, například klasické optika. Jako obecné pravidlo může nastat, kdykoli jsou v blízkosti nějaké singularity nebo díry v topologii alespoň dva parametry charakterizující vlnu; jsou vyžadovány dva parametry, protože buď sada nesingulárních stavů nebude jednoduše připojeno, nebo bude nenulová holonomy.

Vlny se vyznačují amplituda a fáze a může se lišit v závislosti na těchto parametrech. Geometrická fáze nastává, když se oba parametry mění současně, ale velmi pomalu (adiabaticky) a nakonec se vrátí zpět do původní konfigurace. V kvantové mechanice by to mohlo zahrnovat rotace, ale také překlady částic, které jsou na konci zjevně nevráceny. Dalo by se očekávat, že se vlny v systému vrátí do počátečního stavu, jak je charakterizován amplitudami a fázemi (a počítáním s plynutím času). Pokud však exkurze parametrů odpovídají smyčce namísto samočinné zpětné variace, pak je možné, že se počáteční a konečný stav liší ve svých fázích. Tento fázový rozdíl je geometrická fáze a její výskyt obvykle naznačuje, že závislost parametrů na systému je jednotné číslo (jeho stav je nedefinovaný) pro nějakou kombinaci parametrů.

Na opatření geometrická fáze ve vlnovém systému, an rušení experiment je požadováno. The Foucaultovo kyvadlo je příklad z klasická mechanika který se někdy používá k ilustraci geometrické fáze. Tato analogie mechaniky geometrické fáze je známá jako Hannayův úhel.

Berryho fáze v kvantové mechanice

V kvantovém systému na n-té vlastní stát, an adiabatický vývoj Hamiltonian vidí, že systém zůstane v n-tom vlastním stavu Hamiltonian, a zároveň získá fázový faktor. Získaná fáze má příspěvek z časového vývoje státu a další z variace vlastního stavu s měnícím se Hamiltonianem. Druhý člen odpovídá Berryho fázi a pro necyklické variace hamiltoniánu je možné nechat zmizet jinou volbou fáze spojené s vlastními stavy hamiltoniánu v každém bodě evoluce.

Pokud je však variace cyklická, Berryho fázi nelze zrušit; to je neměnný a stává se pozorovatelnou vlastností systému. Prověřením dokladu o adiabatická věta dána Max Born a Vladimir Fock, v Zeitschrift für Physik 51, 165 (1928), bychom mohli charakterizovat celou změnu adiabatického procesu do fázového členu. Pod adiabatickou aproximací je koeficient n-tého vlastního čísla v adiabatickém procesu dán vztahem

${ displaystyle C_ {n} (t) = C_ {n} (0) exp left [- int _ {0} ^ {t} langle psi _ {n} (t ') | { dot { psi}} _ {n} (t ') rangle dt' right] = C_ {n} (0) e ^ {i gamma _ {n} (t)}}$

kde ${ displaystyle gamma _ {n} (t)}$ je Berryho fáze s ohledem na parametr t. Změnou proměnné t na zobecněné parametry bychom mohli přepsat Berryho fázi

${ displaystyle gamma _ {n} [C] = i mastička _ {C} ! langle n, t | left ( nabla _ {R} | n, t right rangle) , dR ,}$

kde ${ displaystyle R}$ parametrizuje cyklický adiabatický proces. Sleduje uzavřenou cestu ${ displaystyle C}$ v příslušném prostoru parametrů. Geometrická fáze podél uzavřené dráhy ${ displaystyle C}$ lze také vypočítat integrací Berryho zakřivení přes povrch ohraničený ${ displaystyle C}$.

Příklady geometrických fází

Foucaultovo kyvadlo

Jedním z nejjednodušších příkladů je Foucaultovo kyvadlo. Snadné vysvětlení, pokud jde o geometrické fáze, podávají Wilczek a Shapere ^[7]

Jak kyvadlo precesuje, když je vedeno po obecné dráze C? Pro přepravu podél rovník, kyvadlo nebude precesní. [...] Nyní, pokud je C složeno z geodetické segmenty, precese všechny budou pocházet z úhlů, kde se stýkají segmenty geodetiky; celková precese se rovná čisté hodnotě úhel deficitu což se zase rovná plný úhel uzavřeno C modulo 2π. Nakonec můžeme aproximovat libovolnou smyčku posloupností geodetických segmentů, takže nejobecnějším výsledkem (na povrchu koule nebo mimo ni) je to, že čistá precese se rovná uzavřenému plnému úhlu.

Jinými slovy, neexistují žádné setrvačné síly, které by mohly kyvadlovému precesu umožnit, takže precese (vzhledem ke směru pohybu dráhy, po které se kyvadlo nese) je zcela způsobena otočením této dráhy. Orientace kyvadla tak prochází paralelní doprava. U původního Foucaultova kyvadla je cesta kruhem zeměpisné šířky a Věta o Gauss-Bonnetovi, fázový posun je dán uzavřeným plným úhlem.^[8]

Polarizované světlo v optickém vlákně

Druhým příkladem je lineárně polarizované světlo vstupující do a jednovidové optické vlákno. Předpokládejme, že vlákno sleduje určitou cestu ve vesmíru a světlo opouští vlákno ve stejném směru, ve kterém vstoupilo. Poté porovnejte počáteční a konečnou polarizaci. V semiklasické aproximaci funguje vlákno jako a vlnovod a hybnost světla je vždy tečná k vláknu. Polarizaci lze považovat za orientaci kolmou na hybnost. Když vlákno sleduje svou cestu, vektor hybnosti světla sleduje cestu na kouli dovnitř hybnost prostor. Dráha je uzavřena, protože počáteční a konečný směr světla se shodují, a polarizace je tečna vektoru ke kouli. Přechod do prostoru hybnosti je ekvivalentní získání Gaussova mapa. Neexistují žádné síly, které by mohly způsobit, že se polarizace otočí, pouze omezení, které zůstane tečnou ke kouli. Polarizace tak prochází paralelní doprava a fázový posun je dán uzavřeným plným úhlem (krát rotace, která v případě světla je 1).

Efekt stochastické pumpy

Stochastická pumpa je klasický stochastický systém, který v průměru nenulovými proudy reaguje na periodické změny parametrů. Účinek stochastické pumpy lze interpretovat z hlediska geometrické fáze ve vývoji funkce generující moment stochastických proudů.^[9]

Točte ½

Geometrickou fázi lze přesně vyhodnotit pro spin-½ částice v magnetickém poli.^[1]

Geometrická fáze definovaná na atraktorech

Zatímco Berryho formulace byla původně definována pro lineární hamiltonovské systémy, brzy si ji uvědomili Ning a Haken^[10] že podobná geometrická fáze může být definována pro zcela odlišné systémy, jako jsou nelineární disipativní systémy, které mají určité cyklické atraktory. Ukázali, že takové cyklické atraktory existují ve třídě nelineárních disipativních systémů s určitou symetrií.^[11]

Expozice v povrchových křižovatkách molekulárního adiabatického potenciálu

Existuje několik způsobů, jak vypočítat geometrickou fázi v molekulách v rámci Born Oppenheimer. Jedním ze způsobů je „neadiabatické spojení ${ displaystyle M krát M}$ matice "definovaná

${ displaystyle tau _ {ij} ^ { mu} = levý langle psi _ {i} | částečný ^ { mu} psi _ {j} pravý rangle}$

kde ${ displaystyle psi _ {i}}$ je adiabatická funkce elektronických vln v závislosti na jaderných parametrech ${ displaystyle R _ { mu}}$. Neaadiabatickou vazbu lze použít k definování integrálního cyklu, analogického k a Wilsonova smyčka (1974) v teorii pole, vyvinutý nezávisle pro molekulární rámec M. Baerem (1975, 1980, 2000). Vzhledem k uzavřené smyčce ${ displaystyle Gamma}$, parametrizováno pomocí ${ displaystyle R _ { mu} vlevo (t vpravo)}$ kde ${ displaystyle t in left [0,1 right]}$ je parametr a ${ displaystyle R _ { mu} vlevo (t + 1 vpravo) = R _ { mu} vlevo (t vpravo)}$. D-matice je dána vztahem:

${ displaystyle D left [ Gamma right] = { hat {P}} e ^ { mast _ { Gamma} { tau ^ { mu} dR _ { mu}}}}$

(tady, ${ displaystyle { hat {P}}}$ je symbol řazení cesty). Je možné ukázat, že jednou ${ displaystyle M}$ je dostatečně velká (tj. je uvažován dostatečný počet elektronických stavů), tato matice je diagonální s úhlopříčnými prvky rovnými ${ displaystyle e ^ {i beta _ {j}}}$ kde ${ displaystyle beta _ {j}}$ jsou geometrické fáze spojené se smyčkou pro ${ displaystyle j}$ adiabatický elektronický stav.

U symetrických elektronických hamiltoniánů s reverzací času odráží geometrická fáze počet kónických průsečíků obklopených smyčkou. Přesněji:

${ displaystyle e ^ {i beta _ {j}} = doleva (-1 doprava) ^ {N_ {j}}}$

kde ${ displaystyle N_ {j}}$ je počet kuželových křižovatek zahrnujících adiabatický stav ${ displaystyle psi _ {j}}$ obklopen smyčkou ${ displaystyle Gamma}$.

Alternativou k přístupu D-matice by byl přímý výpočet fáze Pancharatnam. To je obzvláště užitečné, pokud se zajímáme pouze o geometrické fáze jednoho adiabatického stavu. V tomto přístupu si člověk vezme číslo ${ displaystyle N + 1}$ bodů ${ displaystyle left (n = 0, ..., N right)}$ podél smyčky ${ displaystyle R left (t_ {n} right)}$ s ${ displaystyle t_ {0} = 0}$ a ${ displaystyle t_ {N} = 1}$ pak pouze s použitím j. adiabatických stavů ${ displaystyle psi _ {j} doleva [R doleva (t_ {n} doprava) doprava]}$ počítá produkt Pancharatnam překrytí:

${ displaystyle I_ {j} left ( Gamma, N right) = prod limity _ {n = 0} ^ {N-1} { left langle psi _ {j} left [R left (t_ {n} right) right] | psi _ {j} left [R left (t_ {n + 1} right) right] right rangle}}$

V limitu ${ displaystyle N až infty}$ jeden má (vysvětlení a některé aplikace viz Ryb & Baer 2004):

${ displaystyle I_ {j} left ( Gamma, N right) to e ^ {i beta _ {j}}}$

Geometrická fáze a kvantizace pohybu cyklotronu

Elektron vystavený magnetickému poli ${ displaystyle B}$ se pohybuje na kruhové (cyklotronové) dráze.^[2] Klasicky jakýkoli poloměr cyklotronu ${ displaystyle R_ {c}}$ je přijatelné. Kvantově mechanicky, pouze diskrétní energetické úrovně (Úrovně Landau ) jsou povoleny a od té doby ${ displaystyle R_ {c}}$ souvisí s energií elektronu, odpovídá to kvantovaným hodnotám ${ displaystyle R_ {c}}$. Podmínka kvantování energie získaná řešením Schrödingerovy rovnice zní například ${ displaystyle E = (n + alfa) hbar omega _ {c}, alpha = 1/2}$ pro volné elektrony (ve vakuu) nebo ${ displaystyle E = v { sqrt {2 (n + alpha) eB hbar}}, alpha = 0}$ pro elektrony v grafenu kde ${ displaystyle n = 0,1,2, ldots}$.^[3] Ačkoli odvození těchto výsledků není obtížné, existuje alternativní způsob jejich odvození, který v určitém ohledu nabízí lepší fyzický vhled do kvantizace na úrovni Landau. Tento alternativní způsob je založen na semiklasice Bohr-Sommerfeldova kvantizační podmínka

${ displaystyle hbar mast d mathbf {r} cdot mathbf {k} -e mast d mathbf {r} cdot mathbf {A} + hbar gamma = 2 pi hbar (n +1/2)}$

který zahrnuje geometrickou fázi ${ displaystyle gamma}$ zachycen elektronem, zatímco vykonává svůj pohyb (v reálném prostoru) podél uzavřené smyčky cyklotronové dráhy.^[12] U volných elektronů ${ displaystyle gamma = 0}$ zatímco ${ displaystyle gamma = pi}$ pro elektrony v grafenu. Ukazuje se, že geometrická fáze je přímo spojena s ${ displaystyle alpha = 1/2}$ volných elektronů a ${ displaystyle alpha = 0}$ elektronů v grafenu.

Viz také

• Riemannův tenzor zakřivení - pro spojení s matematikou
• Berryho spojení a zakřivení
• Třída Chern
• Optická rotace
• Vinutí číslo

Poznámky

^ Pro zjednodušení považujeme elektrony omezené na rovinu, jako např 2DEG a magnetické pole kolmé k rovině.

^ ${ displaystyle omega _ {c} = eB / m}$ je frekvence cyklotronu (pro volné elektrony) a ${ displaystyle v}$ je Fermiho rychlost (elektronů v grafenu).

Poznámky pod čarou

Zdroje

• Jeeva Anandan; Joy Christian; Kazimir Wanelik (1997). „Resource Letter GPP-1: Geometric Phases in Physics“. Dopoledne. J. Phys. 65 (3): 180. arXiv:quant-ph / 9702011. Bibcode:1997AmJPh..65..180A. doi:10.1119/1.18570.
• Cantoni, V .; Mistrangioli, L. (1992). "Tříbodová fáze, symlektická míra a Berryho fáze". International Journal of Theoretical Physics. 31 (6): 937. Bibcode:1992IJTP ... 31..937C. doi:10.1007 / BF00675086.
• Richard Montgomery (8. srpna 2006). Prohlídka subriemannských geometrií, jejich geodetiky a aplikací. American Mathematical Soc. str. 11–. ISBN  978-0-8218-4165-5. (Matematické zpracování viz kapitola 13)
• Spojení s jinými fyzikálními jevy (např Jahn – Tellerův efekt ) jsou zde diskutovány: Berryho geometrická fáze: recenze
• Příspěvek prof. Galveze z Colgate University, popisující geometrickou fázi v optice: Aplikace geometrické fáze v optice
• Surya Ganguli, Balíčky vláken a teorie měřidel v klasické fyzice: Jednotný popis padajících koček, magnetických monopolů a Berryho fáze
• Robert Batterman, Padající kočky, paralelní parkování a polarizované světlo
• Baer, ​​M. (1975). "Adiabatické a diabatické reprezentace pro srážky atomů a molekul: Léčba kolineárního uspořádání". Dopisy o chemické fyzice. 35 (1): 112–118. Bibcode:1975CPL .... 35..112B. doi:10.1016/0009-2614(75)85599-0.
• M. Baer, Elektronické neadiabatické přechody: Odvození obecné adiabaticko-diabatické transformační matice Mol. Phys. 40, 1011 (1980);
• M. Baer, Existence diabetických potenciálů a kvantizace neadiabatické matice J. Phys. Chem. A 104, 3181 - 3184 (2000).
• Ryb, já; Baer, ​​R (2004). "Kombinatorické invarianty a kovarianty jako nástroje pro kónické křižovatky". The Journal of Chemical Physics. 121 (21): 10370–5. Bibcode:2004JChPh.12110370R. doi:10.1063/1.1808695. PMID  15549915.

• Wilczek, Frank; Shapere, A. (1989). Geometrické fáze ve fyzice. World Scientific. ISBN  978-9971-5-0621-6.
• Jerrold E. Marsden; Richard Montgomery; Tudor S. Ratiu (1990). Redukce, symetrie a fáze v mechanice. AMS Bookstore. str. 69. ISBN  978-0-8218-2498-6.
• C. Pisani (1994). Kvantově mechanický výpočet Ab-initio vlastností krystalických materiálů (Proceedings of the IV School of Computational Chemistry of the Italian Chemical Society ed.). Springer. str. 282. ISBN  978-3-540-61645-0.
• L. Mangiarotti, Gennadiĭ Aleksandrovich Sardanashvili (1998). Mechanika měřidla. World Scientific. str. 281. ISBN  978-981-02-3603-8.
• Karin M. Rabe; Jean-Marc Triscone; Charles H Ahn (2007). Fyzika feroelektriky moderní perspektiva. Springer. str. 43. ISBN  978-3-540-34590-9.
• Michael Baer (2006). Beyond Born Oppenheimer. Wiley. ISBN  978-0-471-77891-2.
• C. N. Ning a H. Haken (1992). "Geometrické fázové a amplitudové akumulace v disipativních systémech s cyklickými atraktory". Phys. Rev. Lett. 68 (14): 2109–2122. Bibcode:1992PhRvL..68,2109N. doi:10.1103 / PhysRevLett.68.2109. PMID  10045311.
• C. N. Ning a H. Haken (1992). "Geometrická fáze v nelineárních disipativních systémech". Mod. Phys. Lett. B. 6 (25): 1541–1568. Bibcode:1992MPLB .... 6,1541N. doi:10.1142 / S0217984992001265.

Další čtení

• Michael V. Berry; Geometrická fáze, Scientific American 259 (6) (1988), 26-34 [4]