Berryho spojení a zakřivení - Berry connection and curvature

Ve fyzice Berryho spojení a Berryho zakřivení jsou související pojmy, které lze chápat jako potenciál místního měřidla a měřicí pole spojené s Berryho fáze nebo geometrické fáze. Tyto koncepty představil Michael Berry v článku publikovaném v roce 1984^[1] zdůrazňující, jak geometrické fáze poskytují silný sjednocující koncept v několika odvětvích klasický a kvantová fyzika.

Berryho fáze a cyklická adiabatická evoluce

V kvantové mechanice Berryho fáze vzniká cyklicky adiabatický vývoj. Kvantové adiabatická věta platí pro systém, jehož Hamiltonian ${ displaystyle H ( mathbf {R})}$ závisí na (vektorovém) parametru ${ displaystyle mathbf {R}}$ to se mění s časem ${ displaystyle t}$. Pokud ${ displaystyle n}$'th vlastní číslo ${ displaystyle varepsilon _ {n} ( mathbf {R})}$ zůstává nedegenerovaný všude na cestě a kolísání s časem t je dostatečně pomalý, pak systém původně v vlastní stát ${ displaystyle , | n ( mathbf {R} (0)) rangle}$ zůstane v okamžitém vlastním stavu ${ displaystyle , | n ( mathbf {R} (t)) rangle}$ Hamiltonian ${ displaystyle , H ( mathbf {R} (t))}$, až do fáze, v průběhu celého procesu. Pokud jde o fázi, stav v čase t lze psát jako^[2]

${ displaystyle | Psi _ {n} (t) rangle = e ^ {i gamma _ {n} (t)} , e ^ {- {i over hbar} int _ {0} ^ {t} dt ' varepsilon _ {n} ( mathbf {R} (t'))} , | n ( mathbf {R} (t)) rangle,}$

kde druhý exponenciální člen je „dynamický fázový faktor“. První exponenciální člen je geometrický člen s ${ displaystyle gamma _ {n}}$ být Berryho fází. Z požadavku, že ${ displaystyle | Psi _ {n} (t) rangle}$ uspokojit časově závislá Schrödingerova rovnice, lze ukázat, že

${ displaystyle gamma _ {n} (t) = i int _ {0} ^ {t} dt ', langle n ( mathbf {R} (t')) | {d over dt '} | n ( mathbf {R} (t ')) rangle = i int _ { mathbf {R} (0)} ^ { mathbf {R} (t)} d mathbf {R} , jazyk n ( mathbf {R}) | nabla _ { mathbf {R}} | n ( mathbf {R}) rangle,}$

což znamená, že Berryho fáze závisí pouze na cestě v prostoru parametrů, nikoli na rychlosti, kterou je cesta procházena.

V případě cyklického vývoje kolem uzavřené dráhy ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ takhle ${ displaystyle mathbf {R} (T) = mathbf {R} (0)}$, je uzavřená cesta Berry fáze

${ displaystyle gamma _ {n} = i mast _ { mathcal {C}} d mathbf {R} , langle n ( mathbf {R}) | nabla _ { mathbf {R}} | n ( mathbf {R}) rangle.}$

Příkladem fyzického systému, kde se elektron pohybuje po uzavřené dráze, je pohyb cyklotronu (podrobnosti jsou uvedeny na stránce Berryho fáze ). Berryovu fázi je třeba zvážit, abychom získali správnou kvantizační podmínku.

Transformace měřidla

A transformace měřidla lze provést

${ displaystyle | { tilde {n}} ( mathbf {R}) rangle = e ^ {- i beta ( mathbf {R})} | n ( mathbf {R}) rangle}$

na novou sadu stavů, které se liší od původních pouze o ${ displaystyle mathbf {R}}$-závislý fázový faktor. Tím se modifikuje Berryho fáze otevřené cesty ${ displaystyle { tilde { gamma}} _ {n} (t) = gamma _ {n} (t) + beta (t) - beta (0)}$. Pro uzavřenou cestu to vyžaduje kontinuita ${ displaystyle beta (T) - beta (0) = 2 pi m}$ (${ displaystyle m}$ celé číslo) a z toho vyplývá ${ displaystyle gamma _ {n}}$ je neměnný, modulo ${ displaystyle 2 pi}$, pod libovolnou transformací měřidla.

Berryho spojení

Fázu Berryho uzavřené cesty definovanou výše lze vyjádřit jako

${ displaystyle gamma _ {n} = int _ { mathcal {C}} d mathbf {R} cdot { mathcal {A}} _ {n} ( mathbf {R})}$

kde

${ displaystyle { mathcal {A}} _ {n} ( mathbf {R}) = i langle n ( mathbf {R}) | nabla _ { mathbf {R}} | n ( mathbf { R}) rangle}$

je funkce s vektorovou hodnotou známá jako Berryho spojení (nebo Berryho potenciál). Spojení Berry je závislé na rozchodu a transformuje se jako${ displaystyle { tilde { mathcal {A}}} _ {n} ( mathbf {R}) = { mathcal {A}} _ {n} ( mathbf {R}) + nabla _ { mathbf {R} ,} beta ( mathbf {R})}$. Proto místní připojení Berry ${ displaystyle { mathcal {A}} _ {n} ( mathbf {R})}$ nikdy nemůže být fyzicky pozorovatelný. Je to však jeho integrál podél uzavřené cesty, Berryho fáze ${ displaystyle gamma _ {n}}$, je invariantní k měřidlu až do celočíselného násobku ${ displaystyle 2 pi}$. Tím pádem, ${ displaystyle e ^ {i gamma _ {n}}}$ je absolutně invariantní vůči měřidlům a může souviset s fyzikálními pozorovatelnostmi.

Berryho zakřivení

Berryho zakřivení je anti-symetrický tenzor druhé úrovně odvozený z Berryho spojení prostřednictvím

${ displaystyle Omega _ {n, mu nu} ( mathbf {R}) = { částečné nad částečné R ^ { mu}} { mathcal {A}} _ {n, nu} ( mathbf {R}) - { částečné nad částečné R ^ { nu}} { mathcal {A}} _ {n, mu} ( mathbf {R}).}$

V trojrozměrném prostoru parametrů lze Berryho zakřivení zapsat do pseudovektor formulář

${ displaystyle mathbf { Omega} _ {n} ( mathbf {R}) = nabla _ { mathbf {R}} krát { mathcal {A}} _ {n} ( mathbf {R} ).}$

Tenzorové a pseudovektorové formy Berryho zakřivení spolu navzájem souvisejí Levi-Civita antisymetrický tenzor jako${ displaystyle Omega _ {n, mu nu} = epsilon _ { mu nu xi} , mathbf { Omega} _ {n, xi}}$. Na rozdíl od Berryho spojení, které je fyzické pouze po integraci kolem uzavřené cesty, je Berryho zakřivení lokálním projevem geometrických vlastností vlnových funkcí v parametrickém prostoru neměnným měřidlem a ukázalo se jako základní fyzikální složka pro porozumění řadě elektronických vlastností.^[3][4]

Pro uzavřenou cestu ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ který tvoří hranici povrchu ${ displaystyle { mathcal {S}}}$, fázi Berryho uzavřené cesty lze přepsat pomocí Stokesova věta tak jako

${ displaystyle gamma _ {n} = int _ { mathcal {S}} d mathbf {S} cdot mathbf { Omega} _ {n} ( mathbf {R}).}$

Pokud je povrch uzavřeným potrubím, hraniční člen zmizí, ale neurčitost hraničního členu modulo ${ displaystyle 2 pi}$ se projevuje v Chernova věta, který uvádí, že integrál Berryho zakřivení přes uzavřené potrubí je kvantován v jednotkách ${ displaystyle 2 pi}$. Toto číslo je tzv Chern číslo, a je nezbytný pro pochopení různých kvantizačních efektů.

Nakonec si všimněte, že Berryho zakřivení lze také zapsat jako součet přes všechny ostatní vlastní stavy ve formuláři

${ displaystyle Omega _ {n, mu nu} ( mathbf {R}) = i součet _ {n ' neq n} { langle n | ( částečné H / částečné R _ { mu} ) | n ' rangle langle n' | ( částečné H / částečné R _ { nu}) | n rangle - ( nu leftrightarrow mu) over ( varepsilon _ {n} - varepsilon _ {n '}) ^ {2}}.}$

Příklad: Spinor v magnetickém poli

Hamiltonián částice spin-1/2 v a magnetické pole lze psát jako^[2]

${ displaystyle H = mu mathbf { sigma} cdot mathbf {B},}$

kde ${ displaystyle mathbf { sigma}}$ označit Pauliho matice, ${ displaystyle mu}$ je magnetický moment, a B je magnetické pole. Ve třech dimenzích mají vlastní stavy energie ${ displaystyle pm mu B}$ a jejich vlastní vektory jsou

${ displaystyle | u _ {-} rangle = { začátek {pmatrix} sin { theta nad 2} e ^ {- i phi} - cos { theta nad 2} konec {pmatrix }}, | u _ {+} rangle = { begin {pmatrix} cos { theta nad 2} e ^ {- i phi} sin { theta nad 2} end {pmatrix} }.}$

Nyní zvažte ${ displaystyle | u _ {-} rangle}$ Stát. Jeho připojení Berry lze vypočítat jako${ displaystyle { mathcal {A}} _ { theta} = langle u | i částečný _ { theta} u rangle = 0,}$${ displaystyle { mathcal {A}} _ { phi} = langle u | i částečný _ { phi} u rangle = sin ^ {2} { theta nad 2}}$a Berryho zakřivení je${ displaystyle Omega _ { theta phi} = částečné _ { theta} { mathcal {A}} _ { phi} - částečné _ { phi} { mathcal {A}} _ { theta} = {1 nad 2} sin theta.}$Vybereme-li nový rozchod vynásobením ${ displaystyle | u _ {-} rangle}$ podle ${ displaystyle e ^ {i phi}}$, spojení Berry jsou${ displaystyle { mathcal {A}} _ { theta} = 0}$ a ${ displaystyle { mathcal {A}} _ { phi} = - cos ^ {2} { theta nad 2}}$, zatímco Berryho zakřivení zůstává stejné. To je v souladu se závěrem, že Berryho spojení je závislé na rozchodu, zatímco Berryho zakřivení není.

Berryho zakřivení na plný úhel je dáno vztahem ${ displaystyle { overline { Omega}} _ { theta phi} = Omega _ { theta phi} / sin theta = 1/2}$. V tomto případě Berryho fáze odpovídající jakékoli dané cestě v jednotkové kouli ${ displaystyle { mathcal {S}} ^ {2}}$ v prostoru magnetického pole je jen polovina plného úhlu podřízeného cestou. Integrál Berryho zakřivení přes celou kouli je tedy přesně ${ displaystyle 2 pi}$, takže Chernovo číslo je jednotné, shodné s Chernovou větou.

Aplikace v krystalech

Berryho fáze hraje důležitou roli v moderním výzkumu elektronických vlastností v krystalických pevných látkách^[4] a v teorii kvantový Hallův jev.^[5]Periodicita krystalického potenciálu umožňuje aplikaci Blochova věta, který uvádí, že Hamiltonovské vlastní stavy mají podobu

${ displaystyle psi _ {n mathbf {k}} ( mathbf {r}) = e ^ {i mathbf {k} cdot mathbf {r}} u_ {n mathbf {k}} ( mathbf {r}),}$

kde ${ displaystyle n}$ je index pásma, ${ displaystyle mathbf {k}}$ je vlnovod v vzájemný prostor (Brillouinova zóna ), a ${ displaystyle u_ {n mathbf {k}} ( mathbf {r})}$ je periodická funkce ${ displaystyle mathbf {r}}$. Pak necháme ${ displaystyle mathbf {k}}$ hrát roli parametru ${ displaystyle mathbf {R}}$, lze definovat Berryho fáze, spojení a zakřivení ve vzájemném prostoru. Například připojení Berry ve vzájemném prostoru je

${ displaystyle { mathcal {A}} _ {n} ( mathbf {k}) = i langle u_ {n mathbf {k}} ( mathbf {r}) | nabla _ { mathbf {k }} | u_ {n mathbf {k}} ( mathbf {r}) rangle.}$

Protože Blochova věta také naznačuje, že reciproční prostor je sám o sobě uzavřený, přičemž Brillouinova zóna má topologii 3-torusu ve třech rozměrech, lze snadno splnit požadavky integrace přes uzavřenou smyčku nebo potrubí. Tímto způsobem takové vlastnosti jako elektrická polarizace orbitální magnetizace, anomální Hallova vodivost, a orbitální magnetoelektrická vazba může být vyjádřena jako Berryho fáze, spojení a zakřivení.^[4][6][7]

Reference

externí odkazy

• Kvantová fáze, pět let poté. M. Berry.
• Berryho fáze a zakřivení v teorii elektronické struktury Přednáška D. Vanderbilta.
• Berry-ology, orbitální magnetolektrické efekty a topologické izolátory - Přednáška D. Vanderbilta.