Základní lemma (program Langlands) - Fundamental lemma (Langlands program)

V matematické teorii automorfní formy, základní lemma souvisí orbitální integrály na a reduktivní skupina přes místní pole na stabilní orbitální integrály endoskopické skupiny. Bylo to domněnkou Robert Langlands (1983 ) v průběhu vývoje Langlandsův program. Základní lemma byla prokázána Gérard Laumon a Ngô Bảo Châu v případě unitární skupiny a poté Ngô (2010) pro obecné redukční skupiny, vycházející z řady důležitých redukcí provedených Jean-Loup Waldspurger k případu Lež algebry. Čas časopis umístil důkaz Ngô na seznam „10 nejlepších vědeckých objevů roku 2009“.^[1] V roce 2010 byla společnosti Ngô udělena Polní medaile pro tento důkaz.

Motivace a historie

Langlands nastínil strategii pro prokázání místní a globální Langlands dohady za použití Arthur – Selbergův stopový vzorec Aby ale tento přístup fungoval, musí být geometrické stránky vzorce trasování pro různé skupiny konkrétním způsobem spojeny. Tento vztah má formu identit mezi orbitální integrály na reduktivní skupiny G a H přes nonarchimedean místní pole F, kde skupina H, nazvaný an endoskopická skupina z G, je konstruován z G a několik dalších údajů.

První zvažovaný případ byl ${ displaystyle G = { rm {SL}} _ {2}}$ (Labesse & Langlands 1979 ). Langlands a Diana Shelstad (1987 ) poté vyvinuli obecný rámec pro teorii endoskopického přenosu a formulovali konkrétní domněnky. Během příštích dvou desetiletí však bylo dosaženo pouze částečného pokroku směrem k prokázání základního lemmatu.^[2]^[3] Harris to nazval „překážkou omezující pokrok u řady aritmetických otázek“.^[4] Sám Langlands, který psal o počátcích endoskopie, uvedl:

... není to základní lemma jako takové, co je kritické pro analytickou teorii automorfních forem a pro aritmetiku Odrůdy Shimura; je to stabilizovaný (nebo stabilní) stopový vzorec, redukce samotného stopového vzorce na stabilní stopový vzorec pro skupinu a její endoskopické skupiny a stabilizace Grothendieck – Lefschetzův vzorec. Nic z toho není možné bez základního lemmatu a jeho absence způsobila, že pokrok byl téměř nemožný po více než dvacet let.^[5]

Tvrzení

Základní lemma říká, že orbitální integrál Ó pro skupinu G se rovná stálému orbitálnímu integrálu TAK pro endoskopickou skupinu H, do faktoru přenosu Δ (Nadler 2012 ):

{ displaystyle SO _ { gamma _ {H}} (1_ {K_ {H}}) = Delta ( gamma _ {H}, gamma _ {G}) O _ { gamma _ {G}} ^ { kappa} (1_ {K_ {G}})}

kde

F je místní pole
G je unramified skupina definovaná nad Fjinými slovy kvazi-rozdělená redukční skupina definovaná nad F který se rozděluje na neramifikované rozšíření F
H je unramified endoskopická skupina G spojené s κ
K._G a K._H jsou hyperspeciální maximální kompaktní podskupiny G a H, což znamená zhruba to, že se jedná o podskupiny bodů s koeficienty v kruhu celých čísel F.
1_{K._G} a 1_{K._H} jsou charakteristické funkce K._G a K._H.
Δ (γ_H, γ_G) je přenosový faktor, určitý elementární výraz v závislosti na γ_H a y_G
y_H a y_G jsou prvky G a H představující stabilní třídy konjugace, takže stabilní třída konjugace z G je přenos stabilní třídy konjugace z H.
κ je znak skupiny tříd konjugace ve stabilní třídě konjugace γ_G
TAK a Ó jsou stabilní orbitální integrály a orbitální integrály v závislosti na jejich parametrech.

Přístupy

Shelstad (1982) se ukázalo jako základní lemma pro archimédská pole.

Waldspurger (1991) ověřil základní lemma pro obecné lineární skupiny.

Kottwitz (1992) a Blasius a Rogawski (1992) ověřil některé případy základního lematu pro trojrozměrné jednotné skupiny.

Hales (1997) a Weissauer (2009) ověřil základní lemma pro symplektické a obecné symplektické skupiny Sp₄, GSp₄.

Papír z George Lusztig a David Kazhdan poukázal na to, že orbitální integrály lze interpretovat jako počítání bodů na určitých algebraických varietách přes konečná pole. Dále lze dotyčné integrály vypočítat způsobem, který závisí pouze na reziduálním poli F; a problém lze omezit na verzi orbitálních integrálů Lie Algebry. Poté byl problém přepracován z hlediska Springer vlákno algebraických skupin.^[6] Okruh myšlenek byl propojen s a domněnka čistoty; Laumon poskytl podmíněný důkaz založený na takové domněnce pro jednotné skupiny. Laumon a Ngô (2008 ) poté prokázal základní lemma pro unitární skupiny pomocí Hitchinova fibrace představil Ngô (2006 ), což je abstraktní geometrický analog Hitchinův systém komplexní algebraické geometrie.Waldspurger (2006) ukázal u Lieových algeber, že případ funkčního pole implikuje základní lemma nad všemi místními poli, a Waldspurger (2008) ukázal, že základní lemma pro Lieovy algebry implikuje základní lemma pro skupiny.

Poznámky

^ „Top 10 vědeckých objevů roku 2009“. Čas.
^ Kottwitz a Rogawski pro ${ displaystyle { rm {U}} _ {3}}$ , Wadspurger pro ${ displaystyle { rm {SL}} _ {n}}$ , Hales a Weissauer pro ${ displaystyle { rm {Sp}} _ {4}}$ .
^ Základní Lemma a Hitchinova fibrace, Gérard Laumon, 13. května 2009
^ ÚVOD DO „STABILNÍHO ZÁZNAMOVÉHO FORMULA, Odrůdy SHIMURA A ARITMETICKÉ APLIKACE“ Archivováno 2009-07-31 na Wayback Machine, str. 1., Michael Harris
^ publications.ias.edu
^ Základní lemma pro jednotné skupiny Archivováno 12. 06. 2010 na Wayback Machine, u p. 12., Gérard Laumon

Reference

Blasius, Don; Rogawski, Jonathan D. (1992), „Základní lemma pro U (3) a příbuzné skupiny“, Langlands, Robert P .; Ramakrishnan, Dinakar (eds.), Funkce zeta modulárních povrchů Picard, Montreal, QC: Univ. Montréal, str. 363–394, ISBN 978-2-921120-08-1, PAN 1155234
Casselman, W. (2009), Langlandsova základní lemma pro SL (2) (PDF)
Dat, Jean-François (listopad 2004), Lemme fondamental et endoscopie, une accche géométrique, d'après Gérard Laumon et Ngô Bao Châu (PDF), Seminář Bourbaki, č. 940
Hales, Thomas C. (1997), „Základní lemma pro Sp (4)“, Proceedings of the American Mathematical Society, 125 (1): 301–308, doi:10.1090 / S0002-9939-97-03546-6, ISSN 0002-9939, PAN 1346977
Harris, M. (ed.), Stabilizace de la formule des traces, variétés de Shimura, et applications arithmétiques, archivovány z originál dne 2012-04-20, vyvoláno 2012-01-04
Kazhdan, David; Lusztig, George (1988), „Odrůdy s pevným bodem na afinních varietách vlajky“, Israel Journal of Mathematics, 62 (2): 129–168, doi:10.1007 / BF02787119, ISSN 0021-2172, PAN 0947819
Kottwitz, Robert E. (1992), "Výpočet některých orbitálních integrálů", v Langlands, Robert P .; Ramakrishnan, Dinakar (eds.), Funkce zeta modulárních povrchů Picard, Montreal, QC: Univ. Montréal, str. 349–362, ISBN 978-2-921120-08-1, PAN 1155233
Labesse, Jean-Pierre; Langlands, R. P. (1979), „L-nerozeznatelnost pro SL (2)“, Kanadský žurnál matematiky, 31 (4): 726–785, doi:10.4153 / CJM-1979-070-3, ISSN 0008-414X, PAN 0540902
Langlands, Robert P. (1983), Les débuts d'une formule des traces stabilní Publikace Mathématiques de l'Université Paris VII [Mathematical Publications of the University of Paris VII], 13, Paříž: Université de Paris VII U.E.R. de Mathématiques, PAN 0697567
Langlands, Robert P .; Shelstad, Diana (1987), „O definici převodních faktorů“, Mathematische Annalen, 278 (1): 219–271, doi:10.1007 / BF01458070, ISSN 0025-5831, PAN 0909227
Laumon, Gérard (2006), „Aspects géométriques du Lemme Fondamental de Langlands-Shelstad“, Mezinárodní kongres matematiků. Sv. II, Eur. Matematika. Soc., Zürich, s. 401–419, PAN 2275603, archivovány z originál dne 15. 3. 2012, vyvoláno 2012-01-09
Laumon, Gérard; Ngô, Bao Châu (2008), „Le lemme fondamental pour les groupes unitaires“, Annals of Mathematics, Druhá série, 168 (2): 477–573, arXiv:matematika / 0404454, doi:10.4007 / annals.2008.168.477, ISSN 0003-486X, PAN 2434884
Nadler, David (2012), „Geometrická podstata základního lemmatu“, Bulletin of the American Mathematical Society, 49: 1–50, arXiv:1009.1862, doi:10.1090 / S0273-0979-2011-01342-8, ISSN 0002-9904
Ngô, Bao Châu (2006), „Fibration de Hitchin et endoscopie“, Inventiones Mathematicae, 164 (2): 399–453, arXiv:matematika / 0406599, Bibcode:2006InMat.164..399N, doi:10.1007 / s00222-005-0483-7, ISSN 0020-9910, PAN 2218781
Ngô, Bao Châu (2010), „Le lemme fondamental pour les algèbres de Lie“, Institut des Hautes Études Scientifiques. Publikace Mathématiques, 111: 1–169, arXiv:0801.0446, doi:10.1007 / s10240-010-0026-7, ISSN 0073-8301, PAN 2653248
Shelstad, Diana (1982), „L-nerozeznatelnost pro skutečné skupiny“, Mathematische Annalen, 259 (3): 385–430, doi:10.1007 / BF01456950, ISSN 0025-5831, PAN 0661206
Waldspurger, Jean-Loup (1991), „Sur les intégrales orbitales tordues pour les groupes linéaires: un lemme fondamental“, Kanadský žurnál matematiky, 43 (4): 852–896, doi:10.4153 / CJM-1991-049-5, ISSN 0008-414X, PAN 1127034
Waldspurger, Jean-Loup (2006), „Endoscopie et changement de caractéristique“, Věstník Matematického ústavu v Jussieu. JIMJ. Journal de l'Institut de Mathématiques de Jussieu, 5 (3): 423–525, doi:10.1017 / S1474748006000041, ISSN 1474-7480, PAN 2241929
Waldspurger, Jean-Loup (2008), „L'endoscopie tordue n'est pas si tordue“ [Zkroucená endoskopie není tak zkroucená] (PDF), Monografie Americké matematické společnosti (ve francouzštině), Providence, R.I .: Americká matematická společnost, 194 (908): 261, ISBN 978-0-8218-4469-4, ISSN 0065-9266, PAN 2418405
Weissauer, Rainer (2009), Endoskopie pro GSp (4) a kohomologie Siegelových modulárních trojnásobkůPřednášky z matematiky, 1968, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-89306-6, ISBN 978-3-540-89305-9, PAN 2498783

externí odkazy

Gerard Laumon přednáška o základním lemmatu pro unitární skupiny
Basken, Paul (12. září 2010). „Porozumění základní lemmě Langlands“. Kronika vysokoškolského vzdělávání.

[1] „Top 10 vědeckých objevů roku 2009“. Čas.

[2] Kottwitz a Rogawski pro ${ displaystyle { rm {U}} _ {3}}$ , Wadspurger pro ${ displaystyle { rm {SL}} _ {n}}$ , Hales a Weissauer pro ${ displaystyle { rm {Sp}} _ {4}}$ .

[3] Základní Lemma a Hitchinova fibrace, Gérard Laumon, 13. května 2009

[4] ÚVOD DO „STABILNÍHO ZÁZNAMOVÉHO FORMULA, Odrůdy SHIMURA A ARITMETICKÉ APLIKACE“ Archivováno 2009-07-31 na Wayback Machine, str. 1., Michael Harris

[5] ublications.ias.edu

[6] Základní lemma pro jednotné skupiny Archivováno 12. 06. 2010 na Wayback Machine, u p. 12., Gérard Laumon

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]