Hitchinův systém - Hitchin system

v matematika, Integrovatelný systém Hitchin je integrovatelný systém v závislosti na volbě komplexní redukční skupiny a kompaktního Riemannova povrchu, který zavedl Nigel Hitchin v roce 1987. Leží na křižovatce algebraická geometrie, teorie Lež algebry a integrovatelná teorie systémů. Hraje také důležitou roli v geometrická Langlandsova korespondence přes pole komplexní čísla; související s teorie konformního pole. Rodový nulový analog systému Hitchin vzniká jako určitá hranice Knizhnik – Zamolodchikov rovnice. Téměř všechny integrovatelné systémy klasická mechanika lze získat jako konkrétní případy Hitchinova systému (nebo jeho meromorfní generalizace nebo v singulárním limitu).

The Hitchinova fibrace je mapa z prostoru modulů Hitchinovy ​​páry k charakteristickým polynomům. Ngô (2006, 2010 ) použil ve svém důkazu o Hitchinových fibracích přes konečná pole základní lemma.

Popis

Pomocí jazyka algebraické geometrie je fázový prostor systému částečným zhutněním kotangenský svazek do moduli prostor stáje G- pro některé svazky reduktivní skupina G, na nějaké kompaktní algebraické křivce. Tento prostor je vybaven kanonickou symlektickou formou. Předpokládejme pro jednoduchost G= GL (n), obecná lineární skupina; pak hamiltonians lze popsat takto: tečný prostor k G- svazky na svazku F je

${displaystyle H ^ {1} (operatorname {End} (F)),}$

který by Serre dualita je dvojí

${displaystyle Phi in H ^ {0} (operatorname {End} (F) otimes K),}$

takže pár

${displaystyle (F, Phi)}$

volal Hitchinův pár nebo Higgsův svazek, definuje bod ve svazku kotangenty. Brát

${displaystyle operatorname {Tr} (Phi ^ {k}), qquad k = 1, ldots, operatorname {rank} (G)}$

jeden získá prvky v

${displaystyle H ^ {0} (K ^ {otimes k}),}$

což je vektorový prostor, na kterém nezávisí ${displaystyle (F, Phi)}$. Takže s ohledem na jakýkoli základ v těchto vektorových prostorech získáme funkce H_i, což jsou Hitchinovi hamiltoniáni. Konstrukce pro obecnou redukční skupinu je podobná a používá invariantní polynomy na Lež algebra zG.

Z triviálních důvodů jsou tyto funkce algebraicky nezávislé a některé výpočty ukazují, že jejich počet je přesně polovina dimenze fázového prostoru. Netriviální část je důkazem Poissonova komutativita těchto funkcí.

Reference

• Hitchin, Nigeli (1987), „Stabilní svazky a integrovatelné systémy“, Duke Mathematical Journal, 54 (1): 91–114, doi:10.1215 / S0012-7094-87-05408-1
• Ngô, Bao Châu (2006), „Fibration de Hitchin et structure endoscopique de la formule des traces“ (PDF), Mezinárodní kongres matematiků. Sv. II, Eur. Matematika. Soc., Zürich, s. 1213–1225, PAN  2275642
• Ngô, Bao Châu (2010), „Fibration de Hitchin et endoscopie“, Inventiones Mathematicae, 164 (2): 399–453, arXiv:matematika / 0406599, Bibcode:2006InMat.164..399N, doi:10.1007 / s00222-005-0483-7, ISSN  0020-9910, PAN  2218781