Freilingsův axiom symetrie - Freilings axiom of symmetry - Wikipedia

Freilingův axiom symetrie (${ displaystyle { texttt {AX}}}$) je set-teoretický axiom navržený Chris Freiling. Je založen na intuici Stuarta Davidsona, ale matematika za tím sahá až k Wacław Sierpiński.

Nechat ${ displaystyle A subseteq wp ([0,1]) ^ {[0,1]}}$ označuje množinu všech funkcí z ${ displaystyle [0,1]}$ na spočetné podmnožiny ${ displaystyle [0,1]}$. Axiom ${ displaystyle { texttt {AX}}}$ uvádí:

Pro každého ${ displaystyle f v A}$, existují ${ displaystyle x, y v [0,1]}$ takhle ${ displaystyle x not in f (y)}$ a ${ Displaystyle y not in f (x)}$.

Sierpińská věta říká, že za předpokladů teorie množin ZFC, ${ displaystyle { texttt {AX}}}$ je ekvivalentem negace hypotéza kontinua (CH). Sierpińského teorém odpověděl na otázku Hugo Steinhaus a bylo prokázáno dlouho předtím, než nezávislost CH byla ustanovenaKurt Gödel a Paul Cohen.

Freiling tvrdí, že pravděpodobnostní intuice tento návrh silně podporuje, zatímco jiní nesouhlasí. Existuje několik verzí axiomu, z nichž některé jsou popsány níže.

Freilingův argument

Opravte funkci F v A. Uvažujeme o myšlenkovém experimentu, který zahrnuje házení dvou šipek v jednotkovém intervalu. Nejsme schopni fyzicky určit s nekonečnou přesností skutečné hodnoty čísel X a y které jsou zasaženy. Stejně tak otázka, zda „y je v F(X) "ve skutečnosti nelze fyzicky vypočítat. Nicméně, pokud F opravdu je funkce, pak je tato otázka smysluplná a bude mít jednoznačnou odpověď „ano“ nebo „ne“.

Teď počkejte až po první šipce, X, je hozen a poté posouzen šance, že druhá šipka y bude v F(X). Od té doby X je nyní opraveno, F(X) je pevná spočetná množina a má Lebesgueovo opatření nula. Proto je tato událost s X opraveno, má pravděpodobnost nula. Freiling nyní provádí dvě zobecnění:

• Protože můžeme s virtuální jistotou předpovědět, že „y není v F(X) „poté, co je hodena první šipka, a protože tato předpověď je platná bez ohledu na to, co dělá první šipka, měli bychom být schopni provést tuto předpověď dříve, než je hodena první šipka. To neznamená, že máme stále měřitelnou událost spíše jde o intuici o povaze předvídatelnosti.
• Od té doby "y není v F(X) „je předvídatelně pravda, podle symetrie pořadí, ve kterém byly šipky hozeny (odtud název„ axiom symetrie “), bychom také měli být schopni s virtuální jistotou předpovědět, že“X není v F(y)".

Axiom ${ displaystyle { texttt {AX}}}$ je nyní odůvodněno na základě zásady, že to, co se předvídatelně stane při každém provedení tohoto experimentu, by mělo být přinejmenším možné Proto by měla existovat dvě reálná čísla X, y takhle X není v F(y) a y není v F(X).

Vztah k (zobecněné) hypotéze kontinua

Opravit ${ displaystyle kappa ,}$ nekonečný kardinál (např. ${ displaystyle aleph _ {0} ,}$). Nechat ${ displaystyle { texttt {AX}} _ { kappa}. ,}$ být prohlášení: není tam žádná mapa ${ Displaystyle f: wp ( kappa) až wp ( wp ( kappa)) ,}$ od sad po sady velikostí ${ displaystyle leq kappa}$ pro který ${ displaystyle ( forall {x, y in wp ( kappa)}) ,}$ buď ${ displaystyle x in f (y) ,}$ nebo ${ Displaystyle y in f (x) ,}$.

Nárok: ${ displaystyle { texttt {ZFC}} vdash 2 ^ { kappa} = kappa ^ {+} leftrightarrow neg { texttt {AX}} _ { kappa}. ,}$.

Důkaz:Část I. (${ displaystyle Rightarrow ,}$):

Předpokládat ${ displaystyle 2 ^ { kappa} = kappa ^ {+} ,}$. Pak existuje bijekce ${ displaystyle sigma: kappa ^ {+} na wp ( kappa) ,}$. Nastavení ${ Displaystyle f: wp ( kappa) až wp ( wp ( kappa)) ,}$ definováno prostřednictvím ${ Displaystyle sigma ( alpha) mapsto { sigma ( beta): beta preceq alpha } ,}$, je snadné vidět, že to ukazuje selhání Freilingova axiomu.

Část II (${ displaystyle Leftarrow ,}$):

Předpokládejme, že Freilingův axiom selže. Pak některé opravte ${ displaystyle f ,}$ tuto skutečnost ověřit. Definujte relaci objednávky na ${ displaystyle wp ( kappa) ,}$ podle ${ displaystyle A leq _ {f} B}$ iff ${ displaystyle A in f (B)}$. Tento vztah je celkový a každý bod má ${ displaystyle leq kappa}$ mnoho předchůdců. Definujte nyní přísně rostoucí řetězec ${ displaystyle (A _ { alpha} in wp ( kappa)) _ { alpha < kappa ^ {+}}}$ takto: v každé fázi si vyberte ${ displaystyle A _ { alpha} in wp ( kappa) setminus bigcup _ { xi < alpha} f (A _ { xi})}$. Tento proces lze provést, protože pro každého řadového ${ displaystyle alpha < kappa ^ {+} ,}$, ${ displaystyle bigcup _ { xi < alpha} f (A _ { xi}) ,}$ je svazek ${ displaystyle leq kappa ,}$ mnoho sad velikostí ${ displaystyle leq kappa ,}$; tak má velikost ${ displaystyle leq kappa <2 ^ { kappa} ,}$ a stejně tak přísná podmnožina ${ displaystyle wp ( kappa) ,}$. Také máme, že tato sekvence je konečný v definovaném pořadí, tj. každý člen ${ displaystyle wp ( kappa) ,}$ je ${ displaystyle leq _ {f} ,}$ nějaký ${ displaystyle A _ { alpha} ,}$. (Jinak pokud ${ Displaystyle B in wp ( kappa) ,}$ není ${ displaystyle leq _ {f} ,}$ nějaký ${ displaystyle A _ { alpha}}$, protože objednávka je celkem ${ displaystyle ( forall { alpha < kappa ^ {+}}) A _ { alpha} leq _ {f} B ,}$; naznačující ${ displaystyle B ,}$ má ${ displaystyle geq kappa ^ {+}> kappa ,}$ mnoho předchůdců; rozpor.) Můžeme tedy dobře definovat mapu ${ displaystyle g: wp ( kappa) až kappa ^ {+} ,}$ podle ${ displaystyle B mapsto operatorname {min} { alpha < kappa ^ {+}: B in f (A _ { alpha}) }}$.Tak ${ displaystyle wp ( kappa) = bigcup _ { alpha < kappa ^ {+}} g ^ {- 1} { alpha } = bigcup _ { alpha < kappa ^ {+} } f (A _ { alpha}) ,}$ což je unie ${ displaystyle kappa ^ {+} ,}$ mnoho sad každé velikosti ${ displaystyle leq kappa ,}$. Proto ${ displaystyle 2 ^ { kappa} leq kappa ^ {+} cdot kappa = kappa ^ {+} ,}$ a máme hotovo.

Všimněte si, že ${ displaystyle | [0,1] | = | wp ( aleph _ {0}) | ,}$ abychom to mohli snadno přeskupit ${ displaystyle neg { texttt {CH}} Leftrightarrow ,}$ výše zmíněná forma Freilingova axiomu.

Výše uvedené lze upřesnit: ${ displaystyle { texttt {ZF}} vdash ({ texttt {AC}} _ ​​{ wp ( kappa)} + neg { texttt {AX}} _ { kappa}) leftrightarrow { texttt {CH}} _ { kappa} ,}$. To ukazuje (spolu se skutečností, že hypotéza kontinua je nezávislá na volbě) přesný způsob, jakým je (zobecněná) hypotéza kontinua rozšířením axiomu volby.

Námitky proti argumentu Freiling

Freilingův argument není široce přijímán z důvodu následujících dvou problémů s ním (o kterých Freiling dobře věděl a diskutoval ve svém příspěvku).

• Naivní pravděpodobnostní intuice používaná Freilingem mlčky předpokládá že existuje dobře vychovaný způsob, jak spojit pravděpodobnost s jakoukoli podmnožinou skutečností. Ale matematická formalizace pojmu pravděpodobnost používá pojem opatření, ale axiom volby znamená existenci neměřitelných podmnožin, dokonce i jednotkového intervalu. Některé příklady tohoto jsou Banach – Tarski paradox a existence Sady Vitali.
• Menší variace jeho argumentu je v rozporu s axiomem volby, zda člověk přijímá hypotézu kontinua, pokud nahradí spočitatelnou aditivitu pravděpodobnosti aditivitou pro kardinály menší než kontinuum. (Freiling k tomu tvrdil podobný argument Martinův axiom je nepravdivé.) Není jasné, proč by v tomto případě měla být Freilingova intuice méně použitelná, pokud vůbec platí. (Maddy 1988, str. 500) Zdá se tedy, že Freilingův argument je spíše argumentem proti možnosti řádného uspořádání realit než proti hypotéze kontinua.

Spojení s teorií grafů

Vzhledem k tomu, že v ZFC máme ${ displaystyle 2 ^ { kappa} = kappa ^ {+} Leftrightarrow neg { texttt {AX}} _ { kappa} ,}$ (vidět výše ), není těžké vidět, že selhání axiomu symetrie - a tedy úspěchu ${ displaystyle 2 ^ { kappa} = kappa ^ {+} ,}$ - je ekvivalentní následujícímu kombinatorickému principu pro grafy:

• The kompletní graf na ${ displaystyle wp ( kappa) ,}$ lze nasměrovat tak, že každý uzel vede nanejvýš ${ displaystyle kappa ,}$- mnoho uzlů.

V případě ${ displaystyle kappa = aleph _ {0} ,}$, to znamená:

• Celý graf na jednotkové kružnici lze směrovat tak, aby každý uzel vedl k nejvýše spočetně mnoha uzlům.

V kontextu ZFC je tedy selhání Freilingova axiomu ekvivalentní existenci konkrétního druhu výběrové funkce.

Reference

• Freiling, Chris (1986), „Axiomy symetrie: házení šipek na řádku reálného čísla“, The Journal of Symbolic Logic, 51 (1): 190–200, doi:10.2307/2273955, ISSN  0022-4812, PAN  0830085
• Maddy, Penelope (1988). „Věřím v Axiomy, já.“ Journal of Symbolic Logic. 53 (2): 481–511. doi:10.2307/2274520.
• David Mumford "Úsvit věku stochasticity", v Mathematics: Frontiers and Perspectives 2000, American Mathematical Society, 1999, 197–218.
• Sierpiński, Wacław (1956) [1934], Hypotéza du pokračování, Chelsea Publishing Company, New York, N.Y., PAN  0090558
• John Simms, „Tradiční principy Cavalieri aplikované na moderní představu o oblasti“, J. Filozofická logika 18 (1989), 275–314.