Frank-Kamenetskii teorie - Frank-Kamenetskii theory - Wikipedia

v spalování, Frank-Kamenetskii teorie vysvětluje tepelný výbuch homogenní směsi reaktantů, udržované uvnitř uzavřené nádoby se stěnami o konstantní teplotě. Je pojmenována po ruském vědci David A. Frank-Kamenetskii, kteří spolu s Nikolay Semenov vyvinul teorii ve 30. letech.^[1]^[2]^[3]^[4]

Popis problému^[5]^[6]^[7]^[8]^[9]

Zvažte nádobu udržovanou na konstantní teplotě ${ displaystyle T_ {o}}$ , obsahující homogenní reakční směs. Nechť je charakteristická velikost nádoby ${ displaystyle a}$ . Protože směs je homogenní, hustota ${ displaystyle rho}$ je konstantní. Během počátečního období roku 2006 zapalování, spotřeba koncentrace reaktantů je zanedbatelná (viz ${ displaystyle t_ {f}}$ a ${ displaystyle t_ {e}}$ níže), tedy výbuch je řízen pouze energetickou rovnicí. Za předpokladu jednokrokové globální reakce ${ displaystyle { text {palivo}} + { text {oxidační činidlo}} rightarrow { text {products}} + q}$ , kde ${ displaystyle q}$ je množství tepla uvolněného na jednotku hmotnosti spotřebovaného paliva a reakční rychlost se řídí Arrhenův zákon, stane se energetická rovnice

{ displaystyle rho c_ {v} { frac { částečné T} { částečné t}} = lambda nabla ^ {2} T + q rho BY_ {Fo} e ^ {- E / (RT) }}

kde

${ displaystyle T}$ je teplota směsi
${ displaystyle c_ {v}}$ je měrné teplo při stálém objemu
${ displaystyle lambda}$ je tepelná vodivost
${ displaystyle B}$ je preexponenciální faktor s rozměrem jedna v průběhu času
${ displaystyle Y_ {Fo}}$ je počáteční palivo hmotnostní zlomek
${ displaystyle E}$ je aktivační energie
${ displaystyle R}$ je univerzální plynová konstanta

Bez dimenze

Nerozměrná aktivační energie ${ displaystyle beta}$ a parametr uvolňování tepla ${ displaystyle gamma}$ jsou

{ displaystyle beta = { frac {E} {RT_ {o}}}, quad gamma = { frac {qY_ {Fo}} {c_ {v} T_ {o}}}}

Charakteristická doba vedení tepla přes nádobu je ${ displaystyle t_ {c} = rho c_ {v} a ^ {2} / lambda}$ , je charakteristická doba spotřeby paliva ${ displaystyle t_ {f} = doleva (Be ^ {- beta} doprava) ^ {- 1}}$ a charakteristická doba exploze / zapálení je ${ displaystyle t_ {e} = left ( beta gamma Be ^ {- beta} right) ^ {- 1}}$ . Je třeba poznamenat, že v procesu spalování obvykle ${ displaystyle gamma přibližně 6 {-} 8, beta přibližně 30 {-} 100}$ aby ${ displaystyle beta gama gg 1}$ . Proto, ${ displaystyle t_ {f} = beta gama t_ {e} gg 1}$ tj. palivo je spotřebováno mnohem déle ve srovnání s dobou zapálení, spotřeba paliva je v podstatě zanedbatelná pro studium zapálení / výbuchu. Z tohoto důvodu se předpokládá stejná koncentrace paliva jako počáteční koncentrace paliva ${ displaystyle Y_ {Fo}}$ . Nerozměrné váhy jsou

{ displaystyle tau = { frac {t} {t_ {e}}}, quad theta = { frac { beta (T-T_ {o})} {T_ {o}}}, quad eta ^ {j} = { frac {r ^ {j}} {a}}, quad delta = { frac {t_ {c}} {t_ {e}}}}

kde ${ displaystyle delta}$ je Damköhlerovo číslo a ${ displaystyle r}$ je prostorová souřadnice s počátkem ve středu, ${ displaystyle j = 0}$ pro rovinnou desku, ${ displaystyle j = 1}$ pro válcovou nádobu a ${ displaystyle j = 2}$ pro kulovou nádobu. S touto stupnicí se rovnice stává

{ displaystyle { frac { částečná theta} { částečná tau}} = { frac {1} { delta}} { frac {1} { eta ^ {j}}} { frac { částečné} { částečné eta}} levé ( eta ^ {j} { frac { částečné theta} { částečné eta}} pravé) + e ^ { theta / (1+ theta / beta)}}

Od té doby ${ displaystyle beta gg 1}$ , exponenciální člen lze linearizovat ${ displaystyle e ^ { theta / (1+ theta / beta)} přibližně e ^ { theta}}$ , proto

{ displaystyle { frac { částečná theta} { částečná tau}} = { frac {1} { delta}} { frac {1} { eta ^ {j}}} { frac { částečné} { částečné eta}} levé ( eta ^ {j} { frac { částečné theta} { částečné eta}} pravé) + e ^ { theta}}

Semenovova teorie

Před Frank-Kamenetskii, jeho doktorský poradce Nikolay Semyonov (nebo Semenov) navrhl teorii tepelné exploze s jednoduchým modelem, tj. místo toho převzal lineární funkci pro proces vedení tepla Laplacian operátor. Semenovova rovnice zní jako

{ displaystyle { frac { částečná theta} { částečná tau}} = e ^ { theta} - { frac { theta} { delta}}, quad theta (0) = 0}

Pro ${ displaystyle e ^ {- 1} < delta < infty}$ , systém exploduje, protože dominuje exponenciální člen. Pro ${ displaystyle 0 < delta$ , systém přejde do ustáleného stavu, systém nevybuchne. Semenov shledal kritickým zejména Damköhlerovo číslo, který se nazývá jako Frank-Kamenetskii parametr ${ displaystyle delta _ {c} = e ^ {- 1}}$ (kde ${ displaystyle theta = 1}$ ) jako kritický bod, kde se systém mění z ustáleného stavu do výbušného stavu. Pro ${ displaystyle delta gg 1}$ , řešení je

{ displaystyle { frac { částečná theta} { částečná tau}} = e ^ { theta}, quad Rightarrow quad theta = ln left ({ frac {1} {1- tau}} vpravo)}

V čase ${ displaystyle tau = 1}$ , systém exploduje. Tentokrát se také označuje jako adiabatické indukční období protože vedení tepla je zde zanedbatelné.

Frank-Kamenetskii teorie ustáleného stavu^[10]^[11]

Jediným parametrem, který charakterizuje explozi, je Damköhlerovo číslo ${ displaystyle delta}$ . Když ${ displaystyle delta}$ je velmi vysoká, doba vedení je delší než doba chemické reakce a systém exploduje s vysokou teplotou, protože není dostatek času pro vedení k odstranění tepla. Na druhou stranu, když ${ displaystyle delta}$ je velmi nízká, doba vedení tepla je mnohem rychlejší než doba chemické reakce, takže veškeré teplo produkované chemickou reakcí je okamžitě vedeno do stěny, takže nedochází k explozi, jde téměř do ustáleného stavu, Amable Liñán vytvořil tento režim jako pomalu reagující režim. Na kritickém Damköhlerově čísle ${ displaystyle delta _ {c}}$ systém přejde z pomalu reagujícího režimu do výbušného režimu. Proto, ${ displaystyle delta < delta _ {c}}$ , je systém v ustáleném stavu. Místo řešení celého problému, abyste to našli ${ displaystyle delta _ {c}}$ , Frank-Kamenetskii vyřešil problém ustáleného stavu pro různá Damköhlerova čísla až do kritické hodnoty, za kterou již žádné ustálené řešení neexistuje. Problém, který je třeba vyřešit, tedy je

{ displaystyle { frac {1} { eta ^ {j}}} { frac {d} {d eta}} vlevo ( eta ^ {j} { frac {d theta} {d eta}} right) = - delta e ^ { theta}}

s okrajovými podmínkami

{ displaystyle theta (1) = 0, quad { frac {d theta} {d eta}} _ { eta = 0} = 0}

druhá podmínka je způsobena symetrií cévy. Výše uvedená rovnice je zvláštním případem Liouville – Bratu – Gelfandova rovnice v matematika.

Planární loď

Frank-Kamenetskii výbuch pro planární plavidlo

Pro planární plavidlo existuje přesné řešení. Tady ${ displaystyle j = 0}$ , pak

{ displaystyle { frac {d ^ {2} theta} {d eta ^ {2}}} = - delta e ^ { theta}}

Pokud transformace ${ displaystyle Theta = theta _ {m} - theta}$ a ${ displaystyle xi ^ {2} = delta e ^ { theta _ {m}} eta ^ {2}}$ , kde ${ displaystyle theta _ {m}}$ je maximální teplota, která se vyskytuje při ${ displaystyle eta = 0}$ kvůli symetrii

{ displaystyle { frac {d ^ {2} Theta} {d xi ^ {2}}} = e ^ {- Theta}, quad Theta (0) = 0, quad { frac { d Theta} {d xi}} _ { xi = 0} = 0}

Integrace jednou a použití druhé okrajové podmínky se stane rovnicí

{ displaystyle { frac {d Theta} {d xi}} = { sqrt {2 (1-e ^ {- Theta})}}}

a znovu se integrovat

{ displaystyle e ^ {( theta _ {m} - theta) / 2} = cosh left ({ sqrt { frac { delta e ^ { theta _ {m}}} {2}} } eta vpravo)}

Výše uvedená rovnice je přesným řešením, ale ${ displaystyle theta _ {m}}$ maximální teplota není známa, ale okrajové podmínky stěny jsme zatím nepoužili. Tedy pomocí okrajové podmínky stěny ${ displaystyle theta = 0}$ na ${ displaystyle eta = 1}$ , maximální teplota se získá z implicitního výrazu,

{ displaystyle e ^ { theta _ {m} / 2} = cosh left ({ sqrt { frac { delta e ^ { theta _ {m}}} {2}}} vpravo) quad { text {or}} quad delta = 2e ^ {- theta _ {m}} left ( cosh ^ {- 1} e ^ { theta _ {m} / 2} right) ^ {2}}

Kritický ${ displaystyle delta _ {c}}$ se získá nalezením maximálního bodu rovnice (podívejte se na obrázek), tj. ${ displaystyle d delta / d theta _ {m} = 0}$ na ${ displaystyle delta _ {c}}$ .

{ displaystyle { frac {d delta} {d theta _ {m}}} = 0, quad Rightarrow quad e ^ { theta _ {m, c} / 2} - { sqrt {e ^ { theta _ {m, c}} - 1}} cosh ^ {- 1} e ^ { theta _ {m, c} / 2} = 0}

{ displaystyle theta _ {m, c} = 1,1868, quad Rightarrow quad delta _ {c} = 0,8785}

Kritický parametr Frank-Kamentskii tedy je ${ displaystyle delta _ {c} = 0,8785}$ . Systém nemá ustálený stav (nebo exploduje) pro ${ displaystyle delta> delta _ {c} = 0,8785}$ a pro ${ displaystyle delta < delta _ {c} = 0,8785}$ , systém přejde do ustáleného stavu s velmi pomalou reakcí.

Válcová nádoba

Frank-Kamenetskii výbuch pro válcovou nádobu

Pro válcovou nádobu existuje přesné řešení. Ačkoli Frank-Kamentskii použil numerickou integraci za předpokladu, že neexistuje žádné explicitní řešení, Paul L. Chambré poskytl přesné řešení v roce 1952.^[12] H. Lemke také řešil poskytl řešení v poněkud odlišné podobě v roce 1913.^[13] Tady ${ displaystyle j = 1}$ , pak

{ displaystyle { frac {1} { eta}} { frac {d} {d eta}} vlevo ( eta { frac {d theta} {d eta}} vpravo) = - delta e ^ { theta}}

Pokud transformace ${ displaystyle omega = eta d theta / d eta}$ a ${ displaystyle chi = e ^ { theta} eta ^ {2}}$ jsou zavedeny

{ displaystyle { frac {d omega} {d chi}} = - { frac { delta} {2+ omega}}, quad omega (0) = 0}

Obecné řešení je ${ displaystyle omega ^ {2} +4 omega + C = -2 delta chi}$ . Ale ${ displaystyle C = 0}$ ze stavu symetrie ve středu. Zápis v původní proměnné přečte rovnici,

{ displaystyle eta ^ {2} left ({ frac {d theta} {d eta}} right) ^ {2} +4 eta { frac {d theta} {d eta} } = - 2 delta eta ^ {2} e ^ { theta}}

Ale původní rovnice vynásobená ${ displaystyle 2 eta ^ {2}}$ je

{ displaystyle 2 eta ^ {2} { frac {d ^ {2} theta} {d eta ^ {2}}} + 2 eta { frac {d theta} {d eta}} = -2 delta eta ^ {2} e ^ { theta}}

Nyní odečtení posledních dvou rovnic od sebe vede k

{ displaystyle { frac {d ^ {2} theta} {d eta ^ {2}}} - { frac {1} { eta}} { frac {d theta} {d eta} } - { frac {1} {2}} left ({ frac {d theta} {d eta}} right) ^ {2} = 0}

Tuto rovnici lze snadno vyřešit, protože zahrnuje pouze derivace, takže necháme ${ displaystyle g ( eta) = d theta / d eta}$ transformuje rovnici

{ displaystyle { frac {dg} {d eta}} - { frac {g} { eta}} - { frac {g ^ {2}} {2}} = 0}

Tohle je Bernoulliho diferenciální rovnice řádu ${ displaystyle 2}$ , typ Riccatiho rovnice. Řešení je

{ displaystyle g ( eta) = { frac {d theta} {d eta}} = - { frac {4 eta} {B '+ eta ^ {2}}}}

Znovu integraci máme ${ displaystyle theta = A-2 ln (B eta ^ {2} +1)}$ kde ${ displaystyle B = 1 / B '}$ . Použili jsme již jednu okrajovou podmínku, zbývá ještě jedna okrajová podmínka, ale se dvěma konstantami ${ displaystyle A, B}$ . Ukázalo se ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ jsou ve vzájemném vztahu, který se získá dosazením výše uvedeného řešení do výchozí rovnice, ke které se dostaneme ${ displaystyle A = ln (8B / delta)}$ . Řešení tedy je

{ displaystyle theta = ln left [{ frac {8B / delta} {(B eta ^ {2} +1) ^ {2}}} vpravo]}

Pokud použijeme druhou okrajovou podmínku ${ displaystyle theta (1) = 0}$ , dostaneme rovnici pro ${ displaystyle B}$ tak jako ${ displaystyle delta (B + 1) ^ {2} -8B = 0}$ . Maximální hodnota ${ displaystyle delta}$ pro které je možné řešení je, když ${ displaystyle B = 1}$ , takže kritický parametr Frank-Kamentskii je ${ displaystyle delta _ {c} = 2}$ . Systém nemá ustálený stav (nebo exploduje) pro ${ displaystyle delta> delta _ {c} = 2}$ a pro ${ displaystyle delta < delta _ {c} = 2}$ , systém přejde do ustáleného stavu s velmi pomalou reakcí. Maximální teplota ${ displaystyle theta _ {m}}$ dochází v ${ displaystyle eta = 0}$

{ displaystyle theta _ {m} = ln left ({ frac {8B} { delta}} right) quad { text {or}} quad delta = 8Be ^ {- theta _ {m}}}

Pro každou hodnotu ${ displaystyle delta}$ , máme dvě hodnoty ${ displaystyle theta _ {m}}$ od té doby ${ displaystyle B}$ má více hodnot. Maximální kritická teplota je ${ displaystyle theta _ {m, c} = ln 4}$ .

Sférická nádoba

Pro sférickou nádobu neexistuje žádné známé explicitní řešení, takže Frank-Kamenetskii použili numerické metody k nalezení kritické hodnoty. Tady ${ displaystyle j = 2}$ , pak

{ displaystyle { frac {1} { eta ^ {2}}} { frac {d} {d eta}} left ( eta ^ {2} { frac {d theta} {d eta}} right) = - delta e ^ { theta}}

Pokud transformace ${ displaystyle Theta = theta _ {m} - theta}$ a ${ displaystyle xi ^ {2} = delta e ^ { theta _ {m}} eta ^ {2}}$ , kde ${ displaystyle theta _ {m}}$ je maximální teplota, která se vyskytuje při ${ displaystyle eta = 0}$ kvůli symetrii

{ displaystyle { frac {1} { xi ^ {2}}} { frac {d} {d xi}} vlevo ( xi ^ {2} { frac {d Theta} {d xi}} right) = e ^ {- Theta}, quad Theta (0) = 0, quad { frac {d Theta} {d xi}} _ { xi = 0} = 0 }

Výše uvedená rovnice není nic jiného než Emden – Chandrasekharova rovnice,^[14] který se objeví v astrofyzika popisující izotermický plynová koule. Na rozdíl od rovinného a válcového pouzdra má sférická nádoba nekonečně mnoho řešení ${ displaystyle delta < delta _ {c}}$ kmitající kolem bodu ${ displaystyle delta = 2}$ ,^[15] místo jen dvou řešení, která ukázala Izrael Gelfand.^[16] Pro vysvětlení výbušného chování bude vybrána nejnižší větev.

Z numerického řešení bylo zjištěno, že kritický parametr Frank-Kamenetskii je ${ displaystyle delta _ {c} = 3,32}$ . Systém nemá ustálený stav (nebo exploduje) pro ${ displaystyle delta> delta _ {c} = 3,32}$ a pro ${ displaystyle delta < delta _ {c} = 3,32}$ , systém přejde do ustáleného stavu s velmi pomalou reakcí. Maximální teplota ${ displaystyle theta _ {m}}$ dochází v ${ displaystyle eta = 0}$ a maximální kritická teplota je ${ displaystyle theta _ {m, c} = 1,61}$ .

Nesymetrické geometrie

U nádob, které nejsou symetrické kolem středu (například obdélníková nádoba), problém zahrnuje řešení nelineárního parciální diferenciální rovnice místo nelineárního obyčejná diferenciální rovnice, což lze ve většině případů vyřešit pouze numerickými metodami. Rovnice je

{ displaystyle nabla ^ {2} theta + delta e ^ { theta} = 0}

s okrajovou podmínkou ${ displaystyle theta = 0}$ na ohraničujících plochách.

Aplikace

Vzhledem k tomu, že model předpokládá homogenní směs, je teorie dobře použitelná pro studium výbušného chování pevných paliv (spontánní vznícení biopaliv, organických materiálů, odpadků atd.). To se také používá k navrhování výbušnin a požárních crackerů. Teorie přesně předpovídala kritické hodnoty pro kapaliny / pevné látky s nízkou vodivostí u tenkostěnných nádob s vysokou vodivostí.^[17]

Viz také

Clarkova rovnice

Reference

^ Frank-Kamenetskii, David A. „Směrem k distribuci teploty v reakční nádobě a stacionární teorii tepelného výbuchu.“ Doklady Akademii Nauk SSSR. Sv. 18. 1938.
^ Frank-Kamenetskii, D. A. "Výpočet mezních hodnot tepelného výbuchu." Acta. Phys.-Chim SSSR 10 (1939): 365.
^ Semenov, N. N. "Výpočet kritických teplot tepelného výbuchu." Z Phys Chem 48 (1928): 571.
^ Semenov, N. N. "K teorii spalovacích procesů." Z. fyz. Chem 48 (1928): 571–582.
^ Frank-Kamenetskii, David Albertovich. Difúze a výměna tepla v chemické kinetice. Princeton University Press, 2015.
^ Linan, Amable a Forman Arthur Williams. „Základní aspekty spalování.“ (1993).
^ Williams, Forman A. „Teorie spalování“. (1985).
^ Buckmaster, John David a Geoffrey Stuart Stephen Ludford. Teorie laminárních plamenů. Cambridge University Press, 1982.
^ Buckmaster, John D., ed. Matematika spalování. Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku, 1985.
^ Zeldovich, I. A., Barenblatt, G. I., Librovich, V. B. a Makhviladze, G. M. (1985). Matematická teorie spalování a výbuchů.
^ Lewis, Bernard a Guenther Von Elbe. Spalování, plameny a výbuchy plynů. Elsevier, 2012.
^ Chambre, P. L. „K řešení Poisson-Boltzmannovy rovnice s aplikací na teorii tepelných výbuchů.“ The Journal of Chemical Physics 20.11 (1952): 1795–1797.
^ Lemke, H. (1913). Über die Differentialgleichungen, welche den Gleichgewichtszustand eines gasförmigem Himmelskörpers bestimmen, dessen Teile gegeneinander nach dem Newtonschen Gesetz gravitieren. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 142, 118-145.
^ Subrahmanyan Chandrasekhar. Úvod do studia hvězdné struktury. Sv. 2. Courier Corporation, 1958.
^ Jacobsen, Jon a Klaus Schmitt. „Problém Liouville – Bratu – Gelfand pro radiální operátory.“ Journal of Differential Equations 184.1 (2002): 283–298.
^ Gelfand, I. M. (1963). Některé problémy v teorii kvazilineárních rovnic. Amer. Matematika. Soc. Transl, 29 (2), 295–381.
^ Zukas, Jonas A., William Walters a William P. Walters, eds. Výbušné efekty a aplikace. Springer Science & Business Media, 2002.

externí odkazy

Frank-Kamenetskii problém v Wolfram řešitel http://demonstrations.wolfram.com/TheFrankKamenetskiiProblem/
Sledování problému Frank-Kamenetskii v Wolfram řešitel http://demonstrations.wolfram.com/TrackingTheFrankKamenetskiiProblem/
Rovinné řešení v Chebfun řešitel http://www.chebfun.org/examples/ode-nonlin/BlowupFK.html

[1] Frank-Kamenetskii, David A. „Směrem k distribuci teploty v reakční nádobě a stacionární teorii tepelného výbuchu.“ Doklady Akademii Nauk SSSR. Sv. 18. 1938.

[2] Frank-Kamenetskii, D. A. "Výpočet mezních hodnot tepelného výbuchu." Acta. Phys.-Chim SSSR 10 (1939): 365.

[3] Semenov, N. N. "Výpočet kritických teplot tepelného výbuchu." Z Phys Chem 48 (1928): 571.

[4] Semenov, N. N. "K teorii spalovacích procesů." Z. fyz. Chem 48 (1928): 571–582.

[5] Frank-Kamenetskii, David Albertovich. Difúze a výměna tepla v chemické kinetice. Princeton University Press, 2015.

[6] Linan, Amable a Forman Arthur Williams. „Základní aspekty spalování.“ (1993).

[7] Williams, Forman A. „Teorie spalování“. (1985).

[8] Buckmaster, John David a Geoffrey Stuart Stephen Ludford. Teorie laminárních plamenů. Cambridge University Press, 1982.

[9] Buckmaster, John D., ed. Matematika spalování. Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku, 1985.

[10] Zeldovich, I. A., Barenblatt, G. I., Librovich, V. B. a Makhviladze, G. M. (1985). Matematická teorie spalování a výbuchů.

[11] Lewis, Bernard a Guenther Von Elbe. Spalování, plameny a výbuchy plynů. Elsevier, 2012.

[12] Chambre, P. L. „K řešení Poisson-Boltzmannovy rovnice s aplikací na teorii tepelných výbuchů.“ The Journal of Chemical Physics 20.11 (1952): 1795–1797.

[13] Lemke, H. (1913). Über die Differentialgleichungen, welche den Gleichgewichtszustand eines gasförmigem Himmelskörpers bestimmen, dessen Teile gegeneinander nach dem Newtonschen Gesetz gravitieren. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 142, 118-145.

[14] Subrahmanyan Chandrasekhar. Úvod do studia hvězdné struktury. Sv. 2. Courier Corporation, 1958.

[15] Jacobsen, Jon a Klaus Schmitt. „Problém Liouville – Bratu – Gelfand pro radiální operátory.“ Journal of Differential Equations 184.1 (2002): 283–298.

[16] Gelfand, I. M. (1963). Některé problémy v teorii kvazilineárních rovnic. Amer. Matematika. Soc. Transl, 29 (2), 295–381.

[17] Zukas, Jonas A., William Walters a William P. Walters, eds. Výbušné efekty a aplikace. Springer Science & Business Media, 2002.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]