Bernoulliho diferenciální rovnice - Bernoulli differential equation

v matematika, an obyčejná diferenciální rovnice se nazývá a Bernoulliho diferenciální rovnice pokud je ve formě

${ displaystyle y '+ P (x) y = Q (x) y ^ {n},}$

kde ${ displaystyle n}$ je reálné číslo. Někteří autoři povolují jakékoli skutečné ${ displaystyle n}$,^[1][2] zatímco ostatní to vyžadují ${ displaystyle n}$ nesmí být 0 nebo 1.^[3][4] Je pojmenován po Jacob Bernoulli, který o tom diskutoval v roce 1695. Bernoulliho rovnice jsou speciální, protože se jedná o nelineární diferenciální rovnice se známými přesnými řešeními. Slavným zvláštním případem Bernoulliho rovnice je logistická diferenciální rovnice.

Transformace na lineární diferenciální rovnici

Když ${ displaystyle n = 0}$, diferenciální rovnice je lineární. Když ${ displaystyle n = 1}$, to je oddělitelný. V těchto případech lze použít standardní techniky řešení rovnic těchto forem. Pro ${ displaystyle n neq 0}$ a ${ displaystyle n neq 1}$, střídání ${ displaystyle u = y ^ {1-n}}$ redukuje jakoukoli Bernoulliho rovnici na a lineární diferenciální rovnice. Například v případě ${ displaystyle n = 2}$, nahrazení ${ displaystyle u = y ^ {- 1}}$ v diferenciální rovnici ${ displaystyle { frac {dy} {dx}} + { frac {1} {x}} y = xy ^ {2}}$ vytvoří rovnici ${ displaystyle { frac {du} {dx}} - { frac {1} {x}} u = -x}$, což je lineární diferenciální rovnice.

Řešení

Nechat ${ displaystyle x_ {0} in (a, b)}$ a

${ displaystyle left {{ begin {pole} {ll} z: (a, b) rightarrow (0, infty) , & { textrm {if}} alpha in mathbb {R } setminus {1,2 }, z: (a, b) rightarrow mathbb {R} setminus {0 } , {{textrm {if}} alfa = 2, end {array}} right.}$

být řešením lineární diferenciální rovnice

${ displaystyle z '(x) = (1- alfa) P (x) z (x) + (1- alfa) Q (x).}$

Pak tu máme ${ displaystyle y (x): = [z (x)] ^ { frac {1} {1- alpha}}}$ je řešením

${ displaystyle y '(x) = P (x) y (x) + Q (x) y ^ { alpha} (x) , y (x_ {0}) = y_ {0}: = [z (x_ {0})] ^ { frac {1} {1- alpha}}.}$

A pro každou takovou diferenciální rovnici pro všechny ${ displaystyle alpha> 0}$ my máme ${ displaystyle y equiv 0}$ jako řešení pro ${ displaystyle y_ {0} = 0}$.

Příklad

Uvažujme Bernoulliho rovnici

${ displaystyle y '- { frac {2y} {x}} = - x ^ {2} y ^ {2}}$

(v tomto případě konkrétněji Riccatiho rovnice Konstantní funkce ${ displaystyle y = 0}$ je řešení. Rozdělení podle ${ displaystyle y ^ {2}}$ výnosy

${ displaystyle y'y ^ {- 2} - { frac {2} {x}} y ^ {- 1} = - x ^ {2}}$

Změna proměnných dává rovnice

${ displaystyle u = { frac {1} {y}}}$

${ displaystyle u '= { frac {-y'} {y ^ {2}}}.}$

${ displaystyle -u '- { frac {2} {x}} u = -x ^ {2}}$

${ displaystyle u '+ { frac {2} {x}} u = x ^ {2}}$

které lze vyřešit pomocí integrační faktor

${ displaystyle M (x) = e ^ {2 int { frac {1} {x}} , dx} = e ^ {2 ln x} = x ^ {2}.}$

Vynásobením ${ displaystyle M (x)}$,

${ displaystyle u'x ^ {2} + 2xu = x ^ {4}, ,}$

Levá strana může být reprezentována jako derivát z ${ displaystyle ux ^ {2}}$. Uplatnění řetězové pravidlo a integrace obou stran s ohledem na ${ displaystyle x}$ výsledky v rovnicích

${ displaystyle int (ux ^ {2}) ', dx = int x ^ {4} , dx}$

${ displaystyle ux ^ {2} = { frac {1} {5}} x ^ {5} + C}$

${ displaystyle { frac {1} {y}} x ^ {2} = { frac {1} {5}} x ^ {5} + C}$

Řešení pro ${ displaystyle y}$ je

${ displaystyle y = { frac {x ^ {2}} {{ frac {1} {5}} x ^ {5} + C}}}$.

Poznámky

Reference

• Bernoulli, Jacob (1695), „Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. De Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis“, Acta Eruditorum. Citováno v Hairer, Nørsett & Wanner (1993).
• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Řešení obyčejných diferenciálních rovnic I: Nonstiffovy problémy, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-56670-0.

externí odkazy

• "Bernoulliho rovnice". PlanetMath.
• "Diferenciální rovnice". PlanetMath.
• "Index diferenciálních rovnic". PlanetMath.