Kritérium snížení - Reduction criterion

v teorie kvantové informace, kritérium snížení je nezbytnou podmínkou a smíšený stav musí uspokojit, aby to bylo oddělitelný. Jinými slovy, kritérium redukce je a kritérium oddělitelnosti. Poprvé se to ukázalo^[1] a nezávisle formulovány v roce 1999.^[2] Porušení redukčního kritéria úzce souvisí s destilovatelnost dotyčného státu.^[1]

Detaily

Nechat H₁ a H₂ být Hilbertovy prostory konečných rozměrů n a m resp. L(H_i) bude označovat prostor lineárních operátorů působících na H_i. Vezměme si bipartitní kvantový systém, jehož stavový prostor je tenzorovým produktem

${displaystyle H = H_ {1} častěji H_ {2}.}$

(Ne-normalizovaný) smíšený stav ρ je kladný lineární operátor (matice hustoty) působící na H.

Lineární mapa Φ: L(H₂) → L(H₁) se říká, že je pozitivní, pokud zachovává kužel pozitivních prvků, tj. A je pozitivní implicitní Φ(A) je také.

Z osobní korespondence mezi pozitivními mapami a zapletení svědci, máme tento stát ρ je zapleteno tehdy a jen tehdy, pokud existuje pozitivní mapa Φ takhle

${displaystyle (Iotimes Phi) (ho)}$

není pozitivní. Proto pokud ρ je oddělitelný, pak pro všechny pozitivní mapy Φ,

${displaystyle (Iotimes Phi) (ho) geq 0.}$

Tedy každé pozitivní, ale ne zcela pozitivní Tímto způsobem mapa rise vytváří nezbytnou podmínku oddělitelnosti. Kritérium snížení je konkrétním příkladem toho.

Předpokládat H₁ = H₂. Definujte pozitivní mapu Φ: L(H₂) → L(H₁) od

${displaystyle Phi (A) = operatorname {Tr} A-A.}$

Je známo, že Φ je pozitivní, ale ne zcela pozitivní. Takže smíšený stav ρ být oddělitelný znamená

${displaystyle (Iotimes Phi) (ho) geq 0.}$

Přímý výpočet ukazuje, že výše uvedený výraz je stejný jako

${displaystyle Iotimes ho _ {1} -ho geq 0}$

kde ρ₁ je částečná stopa z ρ s ohledem na druhý systém. Dvojí vztah

${displaystyle ho _ {2} často I-ho geq 0}$

se získává analogickým způsobem. Kritérium redukce se skládá z výše uvedených dvou nerovností.

Spojení s hranicemi Fréchet

Výše uvedené dvě poslední nerovnosti spolu s nižšími mezemi pro ρ lze vidět jako kvantum Fréchetové nerovnosti, to je jako kvantum analogické klasice Pravděpodobnostní hranice Fréchetu, které platí pro oddělitelné kvantové stavy. Horní hranice jsou předchozí ${displaystyle Iotimes ho _ {1} geq ho}$, ${displaystyle ho _ {2} mnohokrát Igeq ho}$a dolní hranice jsou zjevným omezením ${displaystyle ho geq 0}$ dohromady s ${displaystyle ho geq Iotimes ho _ {1} + ho _ {2} otimes I-I}$, kde ${displaystyle I}$ jsou matice identity vhodných rozměrů. Dolní hranice byly získány v.^{[3]:Věta A.16} Tyto hranice jsou splněny oddělitelnými maticemi hustoty, zatímco zapletený státy mohou porušovat je. Zapletené státy vykazují formu stochastická závislost silnější než nejsilnější klasická závislost a ve skutečnosti porušují Fréchet jako hranice. Za zmínku stojí také to, že je možné podat Bayesianskou interpretaci těchto hranic.^[3]

Reference