Collectionwise Hausdorffův prostor - Collectionwise Hausdorff space

V matematice, v oboru topologie, a topologický prostor ${displaystyle X}$ se říká, že je kolekce Hausdorff pokud je nějaké uzavřeno oddělený podmnožina ${displaystyle X}$ , existuje párová disjunktní rodina otevřených množin s každým bodem diskrétní podmnožiny obsažených přesně v jedné z otevřených množin.^[1]

Zde podmnožina ${displaystyle Ssubseteq X}$ bytost oddělený má obvyklý význam být diskrétním prostorem s topologií podprostoru (tj. všechny body ${displaystyle S}$ jsou izolováni v ${displaystyle S}$ ).^{[pozn. 1]}

Vlastnosti

Každý T₁ prostor to je kolekce Hausdorff také Hausdorff.

Každý kolekce normální prostor je kolekce Hausdorff. (To vyplývá ze skutečnosti, že vzhledem k uzavřené diskrétní podmnožinu ${displaystyle S}$ z ${displaystyle X}$ , každý singleton ${displaystyle {s}}$ ${displaystyle (sin S)}$ je uzavřen ${displaystyle X}$ a rodina takových singletonů je diskrétní rodina v ${displaystyle X}$ .)

Metrizovatelné prostory jsou inkasně normální a tudíž inkasně Hausdorff.

Poznámky

^ Li ${displaystyle X}$ je T₁ prostor, ${displaystyle Ssubseteq X}$ být uzavřený a diskrétní je ekvivalentní rodině singletonů ${displaystyle {{s}: sin S}}$ být diskrétní rodina podskupin ${displaystyle X}$ (v tom smyslu, že každý bod ${displaystyle X}$ má sousedství, které splňuje nejvýše jednu skupinu v rodině). Li ${displaystyle X}$ není T₁, přičemž rodina singletonů je samostatná rodina, je slabší podmínkou. Například pokud ${displaystyle X = {a, b}}$ s neurčitou topologií, ${displaystyle S = {a}}$ je diskrétní, ale není uzavřená, přestože odpovídající rodina singletonů je diskrétní rodinou ${displaystyle X}$ .

Reference

^ FD Tall, Topologie hustoty, Pacific Journal of Mathematics, 1976

[2] Li ${displaystyle X}$ je T₁ prostor, ${displaystyle Ssubseteq X}$ být uzavřený a diskrétní je ekvivalentní rodině singletonů ${displaystyle {{s}: sin S}}$ být diskrétní rodina podskupin ${displaystyle X}$ (v tom smyslu, že každý bod ${displaystyle X}$ má sousedství, které splňuje nejvýše jednu skupinu v rodině). Li ${displaystyle X}$ není T₁, přičemž rodina singletonů je samostatná rodina, je slabší podmínkou. Například pokud ${displaystyle X = {a, b}}$ s neurčitou topologií, ${displaystyle S = {a}}$ je diskrétní, ale není uzavřená, přestože odpovídající rodina singletonů je diskrétní rodinou ${displaystyle X}$ .

[1] FD Tall, Topologie hustoty, Pacific Journal of Mathematics, 1976

[1]

[pozn. 1]