Exponenciální polynom - Exponential polynomial

v matematika, exponenciální polynomy jsou funkce na pole, prsteny nebo abelianské skupiny které mají podobu polynomy v proměnné a exponenciální funkce.

Definice

V polích

Exponenciální polynom má obecně obě proměnné X a nějaký druh exponenciální funkce E(X). Ve komplexních číslech je již kanonická exponenciální funkce, funkce, která mapuje X na E^X. V tomto nastavení se výraz exponenciální polynom často používá k označení polynomů formy P(X,E^X) kde P ∈ C[X,y] je polynom ve dvou proměnných.^[1][2]

Na tom není nic zvláštního C zde mohou exponenciální polynomy také odkazovat na takový polynom na libovolném exponenciální pole nebo exponenciální kruh s jeho exponenciální funkcí nahrazující E^X výše.^[3] Podobně není důvod mít jednu proměnnou a exponenciální polynom v n proměnné by byly ve formě P(X₁,...,X_n,E^X₁,...,E^X_n), kde P je polynom v 2n proměnné.

Pro formální exponenciální polynomy nad polem K. postupujeme následovně.^[4] Nechat Ž být definitivně vygenerován Z-modul z K. a zvažte konečné částky formuláře

${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {m} f_ {i} (X) exp (w_ {i} X),}$

Kde F_i jsou polynomy v K.[X] a exp (w_iX) jsou formální symboly indexované pomocí w_i v Ž podléhá exp (u+proti) = exp (u) exp (proti).

V abelianských skupinách

Obecnějším rámcem, kde lze nalézt termín exponenciální polynom, je exponenciální funkce na abelianských skupinách. Podobně jako jsou definovány exponenciální funkce na exponenciálních polích, vzhledem k topologická abelianská skupina G A homomorfismus z G do aditivní skupiny komplexních čísel se nazývá aditivní funkce a homomorfismus do multiplikativní skupiny nenulových komplexních čísel se nazývá exponenciální funkce nebo jednoduše exponenciální. Produkt aditivních funkcí a exponenciálů se nazývá exponenciální monomiál a jejich lineární kombinace je pak exponenciálním polynomem na G.^[5][6]

Vlastnosti

Rittova věta uvádí, že analogie jedinečná faktorizace a faktorová věta podržte prstenec exponenciálních polynomů.^[4]

Aplikace

Exponenciální polynomy zapnuty R a C se často objevují v teorie transcendentních čísel, kde se objevují jako pomocné funkce v důkazech zahrnujících exponenciální funkci. Působí také jako spojovací článek mezi teorie modelů a analytická geometrie. Pokud někdo definuje exponenciální odrůdu jako množinu bodů Rⁿ kde nějaká konečná sbírka exponenciálních polynomů zmizí, pak výsledky jako Khovanského věta diferenciální geometrie a Wilkieho věta v modelové teorii ukazují, že tyto odrůdy se chovají dobře v tom smyslu, že sběr těchto odrůd je stabilní při různých množinově-teoretických operacích, pokud je možné zahrnout obraz pod projekce výškově exponenciálních odrůd. Ve skutečnosti dvě výše uvedené věty naznačují, že množina všech exponenciálních odrůd tvoří o-minimální struktura přes R.

Exponenciální polynomy se objevují v charakteristické rovnici spojené s lineárním zpožďovací diferenciální rovnice.

Poznámky