Faktorová věta - Factor theorem

v algebra, faktorová věta je teorém spojovací faktory a nuly a polynomiální. Je to speciální případ z věta o polynomiálním zbytku.^[1]

Faktorová věta říká, že polynom ${ displaystyle f (x)}$ má faktor ${ displaystyle (x-k)}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle f (k) = 0}$ (tj. ${ displaystyle k}$ je root).^[2]

Faktorizace polynomů

Dva problémy, kde se běžně používá věta o faktoru, jsou problémy s faktorováním polynomu a nalezení kořenů polynomické rovnice; je přímým důsledkem věty, že tyto problémy jsou v zásadě rovnocenné.

Faktorová věta se také používá k odstranění známých nul z polynomu, přičemž ponechá všechny neznámé nuly neporušené, čímž se vytvoří polynom nižšího stupně, jehož nuly lze snáze najít. Metoda je abstraktně následující:^[3]

1. „Hádej“ nulu ${ displaystyle a}$ polynomu ${ displaystyle f}$. (Obecně to může být velmi obtížné, ale problémy s učebnicemi matematiky, které zahrnují řešení polynomiální rovnice, jsou často navrženy tak, aby bylo možné snadno zjistit některé kořeny.)
2. K závěru použijte faktorovou větu ${ displaystyle (x-a)}$ je faktorem ${ displaystyle f (x)}$.
3. Vypočítejte polynom ${ displaystyle g (x) = f (x) { big /} (x-a)}$, například pomocí polynomiální dlouhé dělení nebo syntetické dělení.
4. Uzavřete, že jakýkoli kořen ${ displaystyle x neq a}$ z ${ displaystyle f (x) = 0}$ je kořenem ${ displaystyle g (x) = 0}$. Protože polynomiální stupeň z ${ displaystyle g}$ je o jeden menší než ${ displaystyle f}$, je „jednodušší“ najít zbývající nuly studiem ${ displaystyle g}$.

Příklad

Najděte faktory

${ displaystyle x ^ {3} + 7x ^ {2} + 8x + 2.}$

K tomu by bylo možné použít pokus a omyl (nebo racionální kořenová věta ) vyhledejte první hodnotu x, která způsobí, že se výraz bude rovnat nule. Chcete-li zjistit, zda ${ displaystyle (x-1)}$ je faktor, náhrada ${ displaystyle x = 1}$ do polynomu výše:

${ displaystyle x ^ {3} + 7x ^ {2} + 8x + 2 = (1) ^ {3} +7 (1) ^ {2} +8 (1) +2}$

${ displaystyle = 1 + 7 + 8 + 2}$

${ displaystyle = 18.}$

Protože toto je rovno 18 a ne 0. To znamená ${ displaystyle (x-1)}$ není faktorem ${ displaystyle x ^ {3} + 7x ^ {2} + 8x + 2}$. Takže to zkusíme příště ${ displaystyle (x + 1)}$ (nahrazení ${ displaystyle x = -1}$ do polynomu):

${ displaystyle (-1) ^ {3} +7 (-1) ^ {2} +8 (-1) +2.}$

To se rovná ${ displaystyle 0}$. Proto ${ displaystyle x - (- 1)}$, což znamená ${ displaystyle x + 1}$, je faktor, a ${ displaystyle -1}$ je vykořenit z ${ displaystyle x ^ {3} + 7x ^ {2} + 8x + 2.}$

Další dva kořeny lze najít algebraickým dělením ${ displaystyle x ^ {3} + 7x ^ {2} + 8x + 2}$ podle ${ displaystyle (x + 1)}$ získat kvadratický:

${ displaystyle {x ^ {3} + 7x ^ {2} + 8x + 2 nad x + 1} = x ^ {2} + 6x + 2,}$

a proto ${ displaystyle (x + 1)}$ a ${ displaystyle x ^ {2} + 6x + 2}$ jsou faktory ${ displaystyle x ^ {3} + 7x ^ {2} + 8x + 2.}$ Z nich lze kvadratický faktor dále zohlednit pomocí kvadratický vzorec, který dává jako kořeny kvadratické ${ displaystyle -3 pm { sqrt {7}}.}$ Tedy tři neredukovatelné faktory původního polynomu jsou ${ displaystyle x + 1,}$ ${ displaystyle x - (- 3 + { sqrt {7}}),}$ a ${ displaystyle x - (- 3 - { sqrt {7}}).}$

Reference