Milsteinova metoda - Milstein method

v matematika, Milsteinova metoda je technika pro přibližné numerické řešení a stochastická diferenciální rovnice. Je pojmenován po Grigori N. Milstein který metodu poprvé publikoval v roce 1974.^[1][2]

Popis

Zvažte autonomní To stochastická diferenciální rovnice:

${displaystyle mathrm {d} X_ {t} = a (X_ {t}), mathrm {d} t + b (X_ {t}), mathrm {d} W_ {t}}$

s počáteční stav ${displaystyle X_ {0} = x_ {0}}$, kde ${displaystyle W_ {t}}$ znamená Wienerův proces, a předpokládejme, že chceme tento SDE vyřešit v určitém časovém intervalu${displaystyle [0, T]}$. Pak Milsteinova aproximace ke skutečnému řešení ${displaystyle X}$ je Markovův řetězec ${displaystyle Y}$ definováno takto:

• rozdělit interval ${displaystyle [0, T]}$ do ${displaystyle N}$ stejné podintervaly šířky ${displaystyle Delta t> 0}$:

${displaystyle 0 = au _ {0}$

• soubor ${displaystyle Y_ {0} = x_ {0};}$
• rekurzivně definovat ${displaystyle Y_ {n}}$ pro ${displaystyle 1leq nleq N}$ podle:

${displaystyle Y_ {n + 1} = Y_ {n} + a (Y_ {n}) Delta t + b (Y_ {n}) Delta W_ {n} + {frac {1} {2}} b (Y_ { n}) b '(Y_ {n}) vlevo ((Delta W_ {n}) ^ {2} -Delta tight)}$

kde ${displaystyle b '}$ označuje derivát z ${displaystyle b (x)}$ s ohledem na ${displaystyle x}$ a:

${displaystyle Delta W_ {n} = W_ {au _ {n + 1}} - W_ {au _ {n}}}$

jsou nezávislé a identicky distribuované normální náhodné proměnné s očekávaná hodnota nula a rozptyl ${displaystyle Delta t}$. Pak ${displaystyle Y_ {n}}$ bude přibližný ${displaystyle X_ {au _ {n}}}$ pro ${displaystyle 0leq nleq N}$a zvyšuje se ${displaystyle N}$ získá lepší aproximaci.

Všimněte si, že když ${displaystyle b '(Y_ {n}) = 0}$tj. difúzní člen nezávisí na ${displaystyle X_ {t}}$ , tato metoda je ekvivalentní s Metoda Euler – Maruyama.

Milsteinovo schéma má slabé i silné pořadí konvergence, ${displaystyle Delta t}$, který je lepší než Metoda Euler – Maruyama, který má zase stejné slabé pořadí konvergence, ${displaystyle Delta t}$, ale horší silný řád konvergence, ${displaystyle {sqrt {Delta t}}}$.^[3]

Intuitivní odvození

U tohoto odvození se podíváme pouze na geometrický Brownův pohyb (GBM), jehož stochastická diferenciální rovnice je dána vztahem:

${displaystyle mathrm {d} X_ {t} = mu Xmathrm {d} t + sigma XdW_ {t}}$

se skutečnými konstantami ${displaystyle mu}$ a ${displaystyle sigma}$. Použitím Je to lemma dostaneme:

${displaystyle mathrm {d} ln X_ {t} = left (mu - {frac {1} {2}} sigma ^ {2} ight) mathrm {d} t + sigma mathrm {d} W_ {t}}$

Řešení GBM SDE tedy je:

${displaystyle {egin {aligned} X_ {t + Delta t} & = X_ {t} exp left {int _ {t} ^ {t + Delta t} left (mu - {frac {1} {2}} sigma ^ {2} ight) mathrm {d} t + int _ {t} ^ {t + Delta t} sigma mathrm {d} W_ {u} ight} a přibližně X_ {t} vlevo (1 + mu Delta t- {frac {1} {2}} sigma ^ {2} Delta t + sigma Delta W_ {t} + {frac {1} {2}} sigma ^ {2} (Delta W_ {t}) ^ {2} ight) & = X_ {t} + a (X_ {t}) Delta t + b (X_ {t}) Delta W_ {t} + {frac {1} {2}} b (X_ {t}) b '(X_ {t}) ((Delta W_ {t}) ^ {2} - Delta t) konec {zarovnáno}}}$

kde

${displaystyle a (x) = mu x, ~ b (x) = sigma x}$

Viz numerické řešení je uvedeno výše pro tři různé trajektorie.^[4]

Numerické řešení právě předložené stochastické diferenciální rovnice, drift je dvojnásobkem difuzního koeficientu.

Počítačová implementace

Následující Krajta kód implementuje Millnerovu metodu a používá ji k řešení SDE popisující Geometrický Brownův pohyb definovaný

${displaystyle dY_ {t} =, mu, {mathrm {d}} t + sigma, {mathrm {d}} W_ {t}}$

${displaystyle Y_ {0} = Y_ {mathrm {init}}}$

 1 # - * - kódování: utf-8 - * - 2 # Milsteinova metoda 3  4 num_sims = 1  # Jeden příklad 5  6 # Jedna sekunda a tisíc bodů mřížky 7 t_init = 0 8 t_end  = 1 9 N      = 1000 # Vypočítejte 1000 bodů mřížky10 dt     = plovák(t_end - t_init) / N11 12 ## Počáteční podmínky13 y_init = 114 mu    = 315 sigma = 116 17 18 # dw Náhodný proces19 def dW(delta_t):20     "" "" Náhodné vzorkování normální rozdělení "" "21     vrátit se np.náhodný.normální(loc=0.0, měřítko=np.čtv(delta_t))22 23 # vektory k vyplnění24 ts = np.divný(t_init, t_end + dt, dt)25 ys = np.nuly(N + 1)26 ys[0] = y_init27 28 # Smyčka29 pro _ v rozsah(num_sims):30     pro i v rozsah(1, ts.velikost):31         t = (i - 1) * dt32         y = ys[i - 1]33         # Milsteinova metoda34         ys[i] = y + mu * dt * y + sigma* y* dW(dt) + 0.5* sigma**2 * (dW(dt)**2 - dt)35     plt.spiknutí(ts, ys)36 37 # Spiknutí38 plt.xlabel(„čas“)39 plt.mřížka()40 h = plt.ylabel("y")41 h.set_rotation(0)42 plt.ukázat()

Viz také

• Metoda Euler – Maruyama

Reference

Další čtení

• Kloeden, P.E., & Platen, E. (1999). Numerické řešení stochastických diferenciálních rovnic. Springer, Berlín. ISBN  3-540-54062-8.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)