Metoda Runge – Kutta (SDE) - Runge–Kutta method (SDE)

v matematika stochastických systémů Metoda Runge – Kutta je technika pro přibližné numerické řešení a stochastická diferenciální rovnice. Jedná se o zobecnění Metoda Runge – Kutta pro obyčejné diferenciální rovnice na stochastické diferenciální rovnice (SDE). Důležité je, že metoda nezahrnuje znalost derivací funkcí koeficientu v SDE.

Nejzákladnější schéma

Zvažte Je to šíření ${displaystyle X}$ splnění následující ito stochastické diferenciální rovnice

{displaystyle {{d} X_ {t}} = a (X_ {t}), {d} t + b (X_ {t}), {d} W_ {t},}

s počáteční stav ${displaystyle X_ {0} = x_ {0}}$ , kde ${displaystyle W_ {t}}$ znamená Wienerův proces, a předpokládejme, že chceme tento SDE vyřešit v určitém časovém intervalu ${displaystyle [0, T]}$ . Pak základní Runge – Kuttova aproximace ke skutečnému řešení ${displaystyle X}$ je Markovův řetězec ${displaystyle Y}$ definováno takto:^[1]

rozdělit interval ${displaystyle [0, T]}$ do ${displaystyle N}$ podintervaly šířky ${displaystyle delta = T / N> 0}$ :

{displaystyle 0 = au _ {0}

soubor ${displaystyle Y_ {0}: = x_ {0}}$ ;
rekurzivně spočítat ${displaystyle Y_ {n}}$ pro ${displaystyle 1leq nleq N}$ podle

{displaystyle Y_ {n + 1}: = Y_ {n} + a (Y_ {n}) delta + b (Y_ {n}) Delta W_ {n} + {frac {1} {2}} vlevo (b ( {hat {Upsilon}} _ {n}) - b (Y_ {n}) ight) left ((Delta W_ {n}) ^ {2} -delta ight) delta ^ {- 1/2},}

kde ${displaystyle Delta W_ {n} = W_ {au _ {n + 1}} - W_ {au _ {n}}}$ a ${displaystyle {hat {Upsilon}} _ {n} = Y_ {n} + a (Y_ {n}) delta + b (Y_ {n}) delta ^ {1/2}.}$ The náhodné proměnné ${displaystyle Delta W_ {n}}$ jsou nezávislé a identicky distribuované normální náhodné proměnné s očekávaná hodnota nula a rozptyl ${displaystyle delta}$ .

Toto schéma má silný řád 1, což znamená, že chyba aproximace skutečného řešení v pevném časovém měřítku s časovým krokem ${displaystyle delta}$ . Má také slabý řád 1, což znamená, že chyba statistik řešení se mění s časovým krokem ${displaystyle delta}$ . Úplná a přesná tvrzení naleznete v referencích.

Funkce ${displaystyle a}$ a ${displaystyle b}$ mohou být časově proměnlivé bez jakýchkoli komplikací. Metodu lze zobecnit na případ několika spojených rovnic; princip je stejný, ale rovnice se prodlužují.

Variace vylepšeného Euleru je flexibilní

Novější schéma Runge — Kutta také silného řádu 1 se přímo redukuje na vylepšené Eulerovo schéma pro deterministické ODR.^[2] Zvažte vektorový stochastický proces ${displaystyle {vec {X}} (t) v mathbb {R} ^ {n}}$ který splňuje obecné Ito SDE

{displaystyle d {vec {X}} = {vec {a}} (t, {vec {X}}), dt + {vec {b}} (t, {vec {X}}), dW,}

kde drift ${displaystyle {vec {a}}}$ a volatilita ${displaystyle {vec {b}}}$ jsou dostatečně plynulé funkce jejich argumentů. Daný časový krok ${displaystyle h}$ a vzhledem k hodnotě ${displaystyle {vec {X}} (t_ {k}) = {vec {X}} _ {k}}$ , odhad ${displaystyle {vec {X}} (t_ {k + 1})}$ podle ${displaystyle {vec {X}} _ {k + 1}}$ za čas ${displaystyle t_ {k + 1} = t_ {k} + h}$ přes

{displaystyle {egin {array} {rl} & {vec {K}} _ {1} = h {vec {a}} (t_ {k}, {vec {X}} _ {k}) + (Delta W_ {k} -S_ {k} {sqrt {h}}) {vec {b}} (t_ {k}, {vec {X}} _ {k}), & {vec {K}} _ {2 } = h {vec {a}} (t_ {k + 1}, {vec {X}} _ {k} + {vec {K}} _ {1}) + (Delta W_ {k} + S_ {k } {sqrt {h}}) {vec {b}} (t_ {k + 1}, {vec {X}} _ {k} + {vec {K}} _ {1}), & {vec { X}} _ {k + 1} = {vec {X}} _ {k} + {frac {1} {2}} ({vec {K}} _ {1} + {vec {K}} _ { 2}), konec {pole}}}

kde ${displaystyle Delta W_ {k} = {sqrt {h}} Z_ {k}}$ pro normální náhodné ${displaystyle Z_ {k} sim N (0,1)}$ ;
a kde ${displaystyle S_ {k} = pm 1}$ , každá alternativa zvolena s pravděpodobností ${displaystyle 1/2}$ .

Výše uvedené popisuje pouze jeden časový krok. Opakujte tento časový krok ${displaystyle (t_ {m} -t_ {0}) / h}$ čas, aby bylo možné SDE čas od času integrovat ${displaystyle t = t_ {0}}$ na ${displaystyle t = t_ {m}}$ .

Tento režim integruje Stratonovich SDE do ${displaystyle O (h)}$ za předpokladu jedné sady ${displaystyle S_ {k} = 0}$ po celou dobu (místo výběru ${displaystyle pm 1}$ ).

Schémata vyššího řádu Runge-Kutta

Schémata vyššího řádu také existují, ale jsou stále složitější. Rößler vyvinul mnoho schémat pro Ito SDE,^[3]^[4]vzhledem k tomu, že Komori vytvořil schémata pro Stratonovich SDE.^[5]^[6]^[7] Rackauckas rozšířil tato schémata, aby umožnil krokování adaptivního času pomocí Rejection Sampling with Memory (RSwM), což má za následek řádově vyšší účinnost v praktických biologických modelech^[8], spolu s optimalizací koeficientů pro lepší stabilitu^[9].

Reference

^ P. E. Kloeden a E. Platen. Numerické řešení stochastických diferenciálních rovnic, svazek 23, Aplikace matematiky. Springer - Verlag, 1992.
^ A. J. Roberts. Upravte vylepšené Eulerovo schéma tak, aby integrovalo stochastické diferenciální rovnice. [1], Říjen 2012.
^ Rößler, A. (2009). „Metody Runge – Kutta druhého řádu pro Itô stochastické diferenciální rovnice“. Časopis SIAM o numerické analýze. 47 (3): 1713–1738. doi:10.1137/060673308.
^ Rößler, A. (2010). „Runge – Kuttovy metody pro silnou aproximaci řešení stochastických diferenciálních rovnic“. Časopis SIAM o numerické analýze. 48 (3): 922–952. doi:10.1137 / 09076636X.
^ Komori, Y. (2007). „Vícebarevná zakořeněná stromová analýza podmínek slabého řádu stochastické rodiny Runge – Kutta“. Aplikovaná numerická matematika. 57 (2): 147–165. doi:10.1016 / j.apnum.2006.02.002.
^ Komori, Y. (2007). „Slabé řádové stochastické Runge – Kuttovy metody pro komutativní stochastické diferenciální rovnice“. Journal of Computational and Applied Mathematics. 203: 57–79. doi:10.1016 / j.cam.2006.03.010.
^ Komori, Y. (2007). „Slabé stochastické Runge – Kuttovy metody druhého řádu pro nekomutativní stochastické diferenciální rovnice“. Journal of Computational and Applied Mathematics. 206: 158–173. doi:10.1016 / j.cam.2006.06.006.
^ Rackauckas, Christopher; Nie, Qing (2017). „ADAPTIVNÍ METODY PRO STOCHASTICKÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PROSTŘEDNICTVÍM PŘÍRODNÍCH VSTUPŮ A ODMÍTNUTÍ VZORKŮ S PAMĚŤÍ“. Diskrétní a spojité dynamické systémy - řada B.. 22 (7): 2731–2761. doi:10.3934 / dcdsb.2017133.
^ Rackauckas, Christopher; Nie, Qing (2018). "Stabilní optimalizované metody vysokého řádu a detekce tuhosti pro pathwise tuhé stochastické diferenciální rovnice". arXiv:1804.04344.

[1] P. E. Kloeden a E. Platen. Numerické řešení stochastických diferenciálních rovnic, svazek 23, Aplikace matematiky. Springer - Verlag, 1992.

[2] A. J. Roberts. Upravte vylepšené Eulerovo schéma tak, aby integrovalo stochastické diferenciální rovnice. [1], Říjen 2012.

[3] Rößler, A. (2009). „Metody Runge – Kutta druhého řádu pro Itô stochastické diferenciální rovnice“. Časopis SIAM o numerické analýze. 47 (3): 1713–1738. doi:10.1137/060673308.

[4] Rößler, A. (2010). „Runge – Kuttovy metody pro silnou aproximaci řešení stochastických diferenciálních rovnic“. Časopis SIAM o numerické analýze. 48 (3): 922–952. doi:10.1137 / 09076636X.

[5] Komori, Y. (2007). „Vícebarevná zakořeněná stromová analýza podmínek slabého řádu stochastické rodiny Runge – Kutta“. Aplikovaná numerická matematika. 57 (2): 147–165. doi:10.1016 / j.apnum.2006.02.002.

[6] Komori, Y. (2007). „Slabé řádové stochastické Runge – Kuttovy metody pro komutativní stochastické diferenciální rovnice“. Journal of Computational and Applied Mathematics. 203: 57–79. doi:10.1016 / j.cam.2006.03.010.

[7] Komori, Y. (2007). „Slabé stochastické Runge – Kuttovy metody druhého řádu pro nekomutativní stochastické diferenciální rovnice“. Journal of Computational and Applied Mathematics. 206: 158–173. doi:10.1016 / j.cam.2006.06.006.

[8] Rackauckas, Christopher; Nie, Qing (2017). „ADAPTIVNÍ METODY PRO STOCHASTICKÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PROSTŘEDNICTVÍM PŘÍRODNÍCH VSTUPŮ A ODMÍTNUTÍ VZORKŮ S PAMĚŤÍ“. Diskrétní a spojité dynamické systémy - řada B.. 22 (7): 2731–2761. doi:10.3934 / dcdsb.2017133.

[9] Rackauckas, Christopher; Nie, Qing (2018). "Stabilní optimalizované metody vysokého řádu a detekce tuhosti pro pathwise tuhé stochastické diferenciální rovnice". arXiv:1804.04344.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]