Dysonova domněnka - Dyson conjecture
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3d/Freeman_Dyson.jpg/220px-Freeman_Dyson.jpg)
V matematice je Dysonova domněnka (Freeman Dyson 1962 ) je dohad o konstantním členu jistého Laurentovy polynomy, prokázáno Wilson a Gunson. Andrews zobecnil na q-Dysonova domněnka, prokázáno Zeilberger a Bressoud a někdy se tomu říkalo Věta Zeilberger – Bressoud. Macdonald zobecnil to na obecnější kořenové systémy s Macdonaldův konstantní výraz, prokázáno Cherednik.
Dysonova domněnka
Dysonova domněnka uvádí, že Laurentův polynom
má konstantní termín
Domněnku poprvé prokázal nezávisle Wilson (1962) a Gunson (1962). Dobrý (1970) později našel krátký důkaz pozorováním, že Laurentovy polynomy, a tedy jejich konstantní členy, uspokojují rekurzní vztahy
Pouzdro n = 3 z Dysonova domněnky vyplývá z Dixonova identita.
Sills & Zeilberger (2006) a (Parapety 2006 ) použil počítač k nalezení výrazů pro nekonstantní koeficienty Dysonova Laurentova polynomu.
Dysonův integrál
Když jsou všechny hodnoty Ai jsou rovny β / 2, konstantní člen v Dysonově domněnce je hodnota Dysonův integrál
Dysonův integrál je zvláštní případ Selbergův integrál po změně proměnné a má hodnotu
což poskytuje další důkaz Dysonova domněnky v tomto zvláštním případě.
q- Dysonova domněnka
Andrews (1975) najít q-analog Dysonova domněnky s tím, že konstantní termín z
je
Tady (A;q)n je q-Pochhammerův symbol.Tato domněnka se redukuje na Dysonovu domněnku pro q= 1, a bylo prokázáno Zeilberger & Bressoud (1985) pomocí kombinatorického přístupu inspirovaného předchozí prací Ira Gessel a Dominique Foata. Kratší důkaz za použití formální série Laurentů poskytli v roce 2004 Ira Gessel a Guoce Xin, a ještě kratší důkaz za použití kvantitativní formy, a to díky Karasevovi a Petrovovi a nezávisle Lasonovi, kombinatorického Nullstellensatzu Noga Alona 2012: Gyula Karolyi a Zoltan Lorant Nagy. Druhá metoda byla v roce 2013 rozšířena o Shalosh B. Ekhad a Doron Zeilberger, aby se odvodily explicitní výrazy konkrétního koeficientu, nejen konstantního výrazu, viz http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimhtml/qdyson.html, pro podrobné reference.
Macdonald dohady
Macdonald (1982) rozšířil domněnku na libovolné konečné nebo afinní kořenové systémy, s Dysonovým původním dohadem odpovídajícím případu An−1 kořenový systém a Andrewsova domněnka odpovídající afinitě An−1 kořenový systém. Macdonald přeformuloval tyto dohady jako dohady o normách Macdonaldovy polynomy. Macdonaldovy dohady byly prokázány (Cherednik 1995 ) pomocí dvojnásobně afinních Heckových algeber.
Macdonald S podobou Dysonova domněnky pro kořenové systémy typu BC úzce souvisí Selbergův integrál.
Reference
- Andrews, George E. (1975), „Problémy a vyhlídky na základní hypergeometrické funkce“, Teorie a aplikace speciálních funkcí (Proc. Advanced Sem., Math. Res. Center, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1975), Boston, MA: Akademický tisk, s. 191–224, PAN 0399528
- Cherednik, I. (1995), „Double Affine Hecke Algebras and Macdonald's Conjectures“, Annals of Mathematics, 141 (1): 191–216, doi:10.2307/2118632, JSTOR 2118632
- Dyson, Freeman J. (1962), "Statistická teorie energetických hladin komplexních systémů. I", Journal of Mathematical Physics, 3: 140–156, doi:10.1063/1.1703773, ISSN 0022-2488, PAN 0143556
- Dobře, I. J. (1970), „Krátký důkaz domněnky Dysona“, Journal of Mathematical Physics, 11 (6): 1884, doi:10.1063/1.1665339, ISSN 0022-2488, PAN 0258644
- Gunson, J. (1962), „Důkaz hypotézy Dysona ve statistické teorii energetických hladin“, Journal of Mathematical Physics, 3 (4): 752–753, doi:10.1063/1.1724277, ISSN 0022-2488, PAN 0148401
- Macdonald, I. G. (1982), „Některé dohady o kořenových systémech“, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 13 (6): 988–1007, doi:10.1137/0513070, ISSN 0036-1410, PAN 0674768
- Sills, Andrew V. (2006), „Narušování Dysonova domněnky, obecně DOBRÝM způsobem“, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 113 (7): 1368–1380, arXiv:1812.05557, doi:10.1016 / j.jcta.2005.12.005, ISSN 1096-0899, PAN 2259066
- Sills, Andrew V .; Zeilberger, Doron (2006), „Znepokojení domněnky o Dysonovi (DOBRÝM způsobem)“, Experimentální matematika, 15 (2): 187–191, arXiv:1812.04490, doi:10.1080/10586458.2006.10128959, ISSN 1058-6458, PAN 2253005
- Wilson, Kenneth G. (1962), „Důkaz o domněnce“, Journal of Mathematical Physics, 3 (5): 1040–1043, doi:10.1063/1.1724291, ISSN 0022-2488, PAN 0144627
- Zeilberger, Doron; Bressoud, David M. (1985), „Důkaz Andrewsova hypotézy q-Dyson“, Diskrétní matematika, 54 (2): 201–224, doi:10.1016 / 0012-365X (85) 90081-0, ISSN 0012-365X, PAN 0791661