Rozklad v dynamickém režimu - Dynamic mode decomposition

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto otázkách na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) tento článek případně obsahuje původní výzkum. Prosím vylepši to podle ověřování vznesené nároky a přidání vložené citace. Výroky sestávající pouze z původního výzkumu by měly být odstraněny. (Březen 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Rozklad v dynamickém režimu"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Březen 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Rozklad v dynamickém režimu (DMD) je snížení rozměrů Algoritmus vyvinutý Peterem Schmidem v roce 2008. Vzhledem k časové řadě dat vypočítá DMD sadu režimů, z nichž každý je spojen s pevnou frekvencí oscilace a rychlostí rozpadu / růstu. Zejména pro lineární systémy jsou tyto režimy a frekvence analogické s normální režimy systému, ale obecněji jde o aproximace režimů a vlastních čísel operátor složení (také nazývaný operátor Koopman). Vzhledem k vnitřnímu dočasnému chování spojenému s každým režimem se DMD liší od metod snižování rozměrů, jako jsou analýza hlavních komponent, který počítá ortogonální režimy, které postrádají předurčené časové chování. Protože jeho režimy nejsou ortogonální, mohou být reprezentace založené na DMD méně šetrné než ty, které generuje PCA. Mohou však být také fyzicky smysluplnější, protože každý režim je spojen s tlumeným (nebo řízeným) sinusovým chováním v čase.

Přehled

Dekompozice v dynamickém režimu byla poprvé představena Schmidem jako numerická procedura pro extrakci dynamických funkcí z dat toku.^[1]

Data mají formu sekvence snímků

${displaystyle V_ {1} ^ {N} = {v_ {1}, v_ {2}, tečky, v_ {N}},}$

kde ${displaystyle v_ {i} v mathbb {R} ^ {M}}$ je ${displaystyle i}$-tý snímek tokového pole a ${displaystyle V_ {1} ^ {N} v mathbb {R} ^ {M imes N}}$ je datová matice, jejíž sloupce jsou jednotlivé snímky. Dolní index a horní index označují index snímku v prvním a posledním sloupci. Předpokládá se, že tyto snímky souvisejí prostřednictvím lineárního mapování, které definuje a lineární dynamický systém

${displaystyle v_ {i + 1} = Av_ {i},}$

která zůstává přibližně stejná po celou dobu vzorkování. Napsáno v maticové podobě z toho vyplývá

${displaystyle V_ {2} ^ {N} = AV_ {1} ^ {N-1} + re_ {N-1} ^ {T},}$

kde ${displaystyle r}$ je vektor zbytků, který odpovídá za chování, které nelze popsat úplně ${displaystyle A}$, ${displaystyle e_ {N-1} = {0,0, ldots, 1} v mathbb {R} ^ {N-1}}$, ${displaystyle V_ {1} ^ {N-1} = {v_ {1}, v_ {2}, tečky, v_ {N-1}}}$, a ${displaystyle V_ {2} ^ {N} = {v_ {2}, v_ {3}, tečky, v_ {N}}}$. Bez ohledu na přístup jsou výstupem DMD vlastní hodnoty a vlastní vektory ${displaystyle A}$, které se označují jako Vlastní čísla DMD a Režimy DMD resp.

Algoritmus

Existují dvě metody pro získání těchto vlastních čísel a režimů. První je Jako Arnoldi, což je užitečné pro teoretickou analýzu kvůli jeho spojení s Krylovovy metody. Druhý je a rozklad singulární hodnoty (SVD) založený přístup, který je odolnější vůči šumu v datech a vůči numerickým chybám.

Arnoldiho přístup

V aplikacích s tekutinami velikost snímku, ${displaystyle M}$Předpokládá se, že je mnohem větší než počet snímků ${displaystyle N}$, takže existuje mnoho stejně platných možností ${displaystyle A}$. Vybírá původní algoritmus DMD ${displaystyle A}$ takže každý ze snímků ${displaystyle V_ {2} ^ {N}}$ lze zapsat jako lineární kombinaci snímků v ${displaystyle V_ {1} ^ {N-1}}$Protože většina snímků se objevuje v obou souborech dat, je toto znázornění bezchybné pro všechny snímky kromě ${displaystyle v_ {N}}$, který je psán jako

${displaystyle v_ {N} = a_ {1} v_ {1} + a_ {2} v_ {2} + tečky + a_ {N-1} v_ {N-1} + r = V_ {1} ^ {N- 1} a + r,}$

kde ${displaystyle a = {a_ {1}, a_ {2}, tečky, a_ {N-1}}}$ je sada koeficientů, které musí DMD identifikovat a ${displaystyle r}$ je zbytek. Celkově

${displaystyle V_ {2} ^ {N} = AV_ {1} ^ {N-1} = V_ {1} ^ {N-1} S + re_ {N-1} ^ {T},}$

kde ${displaystyle S}$ je doprovodná matice

${displaystyle S = {egin {pmatrix} 0 & 0 & dots & 0 & a_ {1} 1 & 0 & dots & 0 & a_ {2} 0 & 1 & dots & 0 & a_ {3} vdots & vdots & ddots & vdots & vdots 0 & 0 & dots & 1 & a_ {N-1} end {pmatrix}}.$

Vektor ${displaystyle a}$ lze vypočítat řešením problému nejmenších čtverců, který minimalizuje celkový zbytek. Zejména pokud vezmeme QR rozklad ${displaystyle V_ {1} ^ {N-1} = QR}$, pak ${displaystyle a = R ^ {- 1} Q ^ {T} v_ {N}}$.

V této formě je DMD typem Arnoldiho metoda, a proto vlastní čísla ${displaystyle S}$ jsou aproximace vlastních čísel z ${displaystyle A}$. Kromě toho, pokud ${displaystyle y}$ je vlastní vektor ${displaystyle S}$, pak ${displaystyle V_ {1} ^ {N-1} y}$ je přibližný vlastní vektor ${displaystyle A}$. Důvodem je vlastní složení se provádí na ${displaystyle S}$ spíše než ${displaystyle A}$ je Protože ${displaystyle S}$ je mnohem menší než ${displaystyle A}$, takže výpočetní náklady DMD jsou určeny spíše počtem snímků než velikostí snímku.

Přístup založený na SVD

Namísto výpočtu doprovodné matice ${displaystyle S}$, přístup založený na SVD poskytuje matici ${displaystyle {ilde {S}}}$ to souvisí s ${displaystyle A}$ prostřednictvím transformace podobnosti. K tomu předpokládejme, že máme SVD ${displaystyle V_ {1} ^ {N-1} = USigma W ^ {T}}$. Pak

${displaystyle V_ {2} ^ {N} = AV_ {1} ^ {N-1} + re_ {N-1} ^ {T} = AUSigma W ^ {T} + re_ {N-1} ^ {T} .}$

Ekvivalent k předpokladu, který učinil přístup založený na Arnoldi, zvolíme ${displaystyle A}$ tak, že snímky dovnitř ${displaystyle V_ {2} ^ {N}}$ lze zapsat jako lineární superpozici sloupců v ${displaystyle U}$, což odpovídá požadavku, aby mohly být psány jako superpozice POD režimy. S tímto omezením minimalizace zbytku vyžaduje, aby byl kolmý k základně POD (tj. ${displaystyle U ^ {T} r = 0}$). Poté obě strany výše uvedené rovnice vynásobte ${displaystyle U ^ {T}}$ výnosy ${displaystyle U ^ {T} V_ {2} ^ {N} = U ^ {T} AUSigma W ^ {T}}$, které lze manipulovat získat

${displaystyle U ^ {T} AU = U ^ {T} V_ {2} ^ {N} WSigma ^ {- 1} ekviv {ilde {S}}.}$

Protože ${displaystyle A}$ a ${displaystyle {ilde {S}}}$ jsou spojeny prostřednictvím transformace podobnosti, vlastních čísel ${displaystyle S}$ jsou vlastní čísla z ${displaystyle A}$, a pokud ${displaystyle y}$ je vlastní vektor ${displaystyle {ilde {S}}}$, pak ${displaystyle Uy}$ je vlastní vektor ${displaystyle A}$.

Stručně řečeno, přístup založený na SVD je následující:

1. Rozdělte časovou řadu dat ${displaystyle V_ {1} ^ {N}}$ do dvou matic ${displaystyle V_ {1} ^ {N-1}}$ a ${displaystyle V_ {2} ^ {N}}$.
2. Vypočítejte SVD z ${displaystyle V_ {1} ^ {N-1} = USigma W ^ {T}}$.
3. Vytvořte matici ${displaystyle {ilde {S}} = U ^ {T} V_ {2} ^ {N} WSigma ^ {- 1}}$a spočítat jeho vlastní čísla ${displaystyle lambda _ {i}}$ a vlastní vektory ${displaystyle y_ {i}}$.
4. The ${displaystyle i}$-th DMD eigenvalues ​​is ${displaystyle lambda _ {i}}$ a ${displaystyle i}$-th DMD mode is the ${displaystyle Uy_ {i}}$.

Výhodou přístupu založeného na SVD oproti přístupu podobnému Arnoldi je to, že šum v datech a číselné problémy se zkrácením lze kompenzovat zkrácením SVD ${displaystyle V_ {1} ^ {N-1}}$. Jak je uvedeno v ^[1] bez tohoto kroku zkrácení může být přesný výpočet více než u prvních pár režimů a vlastních čísel na experimentálních souborech dat obtížný.

Teoretický a algoritmický pokrok

Od svého vzniku v roce 2010 se značné množství práce zaměřilo na porozumění a zdokonalení DMD. Jedna z prvních analýz DMD Rowley et al.^[2] navázal spojení mezi DMD a operátorem Koopman a pomohl vysvětlit výstup DMD při aplikaci na nelineární systémy. Od té doby byla vyvinuta řada modifikací, které toto spojení dále posilují nebo zvyšují robustnost a použitelnost přístupu.

• Optimalizovaná DMD: Optimalizovaná DMD je modifikace původního algoritmu DMD navrženého tak, aby kompenzovala dvě omezení tohoto přístupu: (i) obtížnost výběru režimu DMD a (ii) citlivost DMD na šum nebo jiné chyby v posledním snímku časové řady.^[3] Optimalizovaný DMD přepracovává postup DMD jako problém optimalizace, kde má identifikovaný lineární operátor pevnou pozici. Kromě toho na rozdíl od DMD, které dokonale reprodukuje všechny snímky kromě posledního, Optimized DMD umožňuje distribuovat chyby rekonstrukce po celé datové sadě, což zřejmě dělá přístup v praxi robustnějším.
• Rozklad v optimálním režimu: Dekompozice optimálního režimu (OMD) přepracovává postup DMD jako problém s optimalizací a umožňuje uživateli přímo zavést pořadí identifikovaného systému.^[4] Pokud je tato pozice správně vybrána, může OMD vytvářet lineární modely s menšími zbytkovými chybami a přesnějšími vlastními hodnotami na syntetických i experimentálních souborech dat.
• Přesná DMD: Algoritmus Exact DMD zobecňuje původní algoritmus DMD dvěma způsoby. Nejprve musí být v původním algoritmu DMD data časovou řadou snímků, ale přesný DMD přijímá datovou sadu párů snímků.^[5] Snímky v páru musí být odděleny pevnou položkou ${displaystyle Delta t}$, ale není nutné je čerpat z jediné časové řady. Přesně DMD může zejména umožnit agregaci dat z více experimentů do jedné datové sady. Za druhé, původní algoritmus DMD efektivně předzpracovává data promítnutím do sady režimů POD. Algoritmus Exact DMD odstraňuje tento krok předzpracování a může vytvářet režimy DMD, které nelze zapsat jako superpozici režimů POD.
• DMD podporující řídkost: DMD propagující sparsity je postprocesní postup pro režim DMD a výběr vlastních čísel.^[6] Sparsity propagující DMD používá ${displaystyle ell _ {1}}$ trest identifikovat menší sadu důležitých režimů DMD a představuje alternativní přístup k problému výběru režimu DMD, který lze efektivně vyřešit pomocí konvexní optimalizační techniky.
• DMD s více rozlišeními: DMD s více rozlišeními (mrDMD) je kombinací technik používaných v multirezoluční analýza s přesným DMD navrženým pro robustní extrakci DMD režimů a vlastních čísel ze souborů dat obsahujících více časových měřítek.^[7] Přístup mrDMD byl aplikován na data o globální povrchové teplotě a identifikuje režim DMD, který se objeví během let El Nino.
• Rozšířená DMD: Extended DMD je modifikace Exact DMD, která posiluje spojení mezi DMD a operátorem Koopman.^[8] Jak název napovídá, Extended DMD je rozšíření DMD, které používá bohatší sadu pozorovatelných funkcí k vytvoření přesnějších aproximací operátoru Koopman. Rovněž prokázal, že DMD a související metody produkují aproximace vlastních funkcí Koopman kromě běžně používaných vlastních čísel a režimů.
• DMD s ovládáním: Dynamický režim rozkladu s řízením (DMDc) ^[9] je modifikace postupu DMD určená pro data získaná ze vstupních výstupních systémů. Jedinou jedinečnou vlastností DMDc je schopnost disambiguate účinky aktivace systému z dynamiky otevřené smyčky, což je užitečné, když jsou data získána v přítomnosti aktivace.
• Nejméně DMD celkem: Total Least Squares DMD je nedávná modifikace Exact DMD, která má řešit problémy robustnosti měření šumu v datech. V,^[10] autoři interpretují Exact DMD jako regresní problém, který je řešen pomocí obyčejné nejmenší čtverce (OLS), který předpokládá, že regresory jsou bez šumu. Tento předpoklad vytváří odchylku ve vlastních hodnotách DMD, když je aplikován na experimentální datové sady, kde jsou všechna pozorování hlučná. DMD s celkem nejmenšími čtverci nahrazuje problém OLS a celkem problém nejmenších čtverců, což eliminuje toto zkreslení.
• Dynamický rozklad rozkladu: DDD se zaměřuje na problém vpřed v nepřetržitém čase, tj operátor přenosu. Vyvinutou metodu lze však také použít k přizpůsobení problémů DMD v nepřetržitém čase.^[11]

Kromě zde uvedených algoritmů byly vyvinuty podobné techniky specifické pro aplikaci. Například jako DMD, Pronyho metoda představuje signál jako superpozici tlumené sinusoidy. Ve vědě o klimatu je lineární inverzní modelování také silně spojeno s DMD.^[12] Pro podrobnější seznam viz Tu et al.^[5]

Příklady

Tato sekce případně obsahuje původní výzkum. Prosím vylepši to podle ověřování vznesené nároky a přidání vložené citace. Výroky sestávající pouze z původního výzkumu by měly být odstraněny. (Březen 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Odtoková hrana profilu

Obr. 1 Odtoková hrana víry (entropie)

V důsledku překážky v toku se může vyvinout a Kármán vír ulice. Obr. 1 ukazuje uvolňování víru za zadní hranou profilu. DMD analýza byla použita na 90 sekvenčních Entropy polí (animovaný gif (1,9 MB)) a poskytují přibližné spektrum vlastních čísel, jak je znázorněno níže. Analýza byla aplikována na číselné výsledky, bez odkazu na řídící rovnice. Profil je vidět bíle. Bílé oblouky jsou hranice procesoru, protože výpočet byl prováděn na paralelním počítači s použitím různých výpočetních bloků.

Zhruba třetina spektra byla silně tlumena (velká, negativní ${displaystyle lambda _ {r}}$) a není zobrazen. Režim dominantního vylučování je zobrazen na následujících obrázcích. Obrázek vlevo je skutečná část, obrázek vpravo, imaginární část vlastního vektoru.

Na tomto obrázku je opět zobrazen entropický vlastní vektor. Akustický obsah stejného režimu je vidět ve spodní polovině dalšího grafu. Horní polovina odpovídá entropickému režimu, jak je uvedeno výše.

Syntetický příklad cestovního vzoru

Analýza DMD předpokládá vzor formuláře${displaystyle q (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, ldots) = e ^ {cx_ {1}} {hat {q}} (x_ {2}, x_ {3}, ldots)}$kde ${displaystyle x_ {1}}$ je libovolná z nezávislých proměnných problému, ale musí být vybrána předem. Vezměte například vzor

${displaystyle q (x, y, t) = e ^ {- iomega t} {hat {q}} (x, t) e ^ {- (y / b) ^ {2}} Zleva {e ^ {i (kx-omega t)} ight} + {ext {náhodný šum}}}$

S časem jako předvoleným exponenciálním faktorem.

Ukázka je uvedena na následujícím obrázku s ${displaystyle omega = 2pi /0.1}$, ${displaystyle b = 0,02}$ a ${displaystyle k = 2pi / b}$. Levý obrázek ukazuje vzor bez, pravý s přidaným šumem. Amplituda náhodného šumu je stejná jako u vzoru.

Analýza DMD se provádí s 21 synteticky generovanými poli pomocí časového intervalu ${displaystyle Delta t = 1/90 {ext {s}}}$, což omezuje analýzu na ${displaystyle f = 45 {ext {Hz}}}$.

Spektrum je symetrické a zobrazuje tři téměř netlumené režimy (malá záporná reálná část), zatímco ostatní režimy jsou silně tlumené. Jejich číselné hodnoty jsou ${displaystyle omega _ {1} = - 0,201, omega _ {2/3} = - 0,223 pm i62,768}$ resp. Skutečný odpovídá průměru pole, zatímco ${displaystyle omega _ {2/3}}$ odpovídá uloženému vzoru s ${displaystyle f = 10 {ext {Hz}}}$. Získá relativní chybu −1/1000. Zvýšení šumu na 10násobek hodnoty signálu přináší přibližně stejnou chybu. Skutečná a imaginární část jednoho z posledních dvou vlastních režimů je znázorněna na následujícím obrázku.

Viz také

Existuje několik dalších rozkladů experimentálních dat. Pokud jsou k dispozici řídící rovnice, může být proveditelný rozklad vlastních čísel.

• Rozklad vlastních čísel
• Rozklad v empirickém režimu
• Globální režim
• Normální mód
• Správný ortogonální rozklad
• Rozklad singulární hodnoty

Reference

• Schmid, P. J. & Sesterhenn, J. L. 2008 Rozklad číselných a experimentálních dat v dynamickém režimu. V Bull. Amer. Phys. Soc., 61. zasedání APS, s. 208. San Antonio.
• Hasselmann, K., 1988. POPs a PIPs. Redukce složitých dynamických systémů pomocí hlavních oscilačních a interakčních vzorů. J. Geophys. Res., 93 (D9): 10975–10988.