Teorie duality pro distribuční mřížky - Duality theory for distributive lattices

v matematika, teorie duality pro distribuční mřížky poskytuje tři různá (ale úzce související) reprezentace ohraničené distribuční mřížky přes Priestley prostory, spektrální prostory, a párové kamenné prostory. Tato dualita, která je původně také kvůli Marshall H. Stone,[1] zobecňuje dobře známé Kamenná dualita mezi Kamenné prostory a Booleovy algebry.

Nechat L být omezenou distribuční mřížkou a nechat X označit soubor z primární filtry z L. Pro každého A ∈ L, nechť φ+(A) = {X∈ X : A ∈ X}. Pak (X,τ+) je spektrální prostor,[2] Kde topologie τ+ na X generuje {φ+(A) : A ∈ L}. Spektrální prostor (X, τ+) se nazývá prvotřídní spektrum z L.

The mapa φ+ je mříž izomorfismus z L do mřížky všech kompaktní otevřeno podmnožiny (X,τ+). Ve skutečnosti je každý spektrální prostor homeomorfní do hlavního spektra nějaké omezené distribuční mřížky.[3]

Podobně, pokud φ−(a) = {X∈ X : A ∉ X} a τ− označuje topologii generovanou {φ−(A) : A∈ L}, pak (X,τ−) je také spektrální prostor. Navíc, (X,τ+,τ−) je párový kamenný prostor. Párový kamenný prostor (X,τ+,τ−) se nazývá bitopologický duální z L. Každý párový kamenný prostor je b-homeomorfní k bitopologickému duálu nějaké omezené distribuční mřížky.[4]

Nakonec nechte ≤ být set-teoretické zařazení na množinu hlavních filtrů L a nechte τ = τ+∨ τ−. Pak (X,τ,≤) je Priestleyův prostor. Navíc, φ+ je mřížkový izomorfismus z L do mřížky všech clopen up-sety z (X,τ,≤). Priestleyův prostor (X,τ,≤) se nazývá Priestley dual z L. Každý Priestleyův prostor je izomorfní s Priestleyovým duálním ohraničenou distribuční mřížkou.[5]

Nechat Dist označit kategorii ohraničených distribučních mřížek a ohraničené mřížky homomorfismy. Potom lze výše uvedené tři reprezentace ohraničených distribučních mřížek rozšířit na dvojí rovnocennost[6] mezi Dist a kategorie Spec, PStone, a Ceny spektrálních prostorů se spektrálními mapami, párových kamenných prostorů s bi-spojitými mapami a Priestleyových prostorů s Priestleyovými morfismy:

Spec, Pries a Pstone jsou izomorfní, všechny tři jsou duálně ekvivalentní Dist
Dualita pro ohraničené distribuční mřížky

Existují tedy tři ekvivalentní způsoby reprezentace ohraničených distribučních mřížek. Každý z nich má svou vlastní motivaci a výhody, ale nakonec všechny slouží ke stejnému účelu, kterým je lepší porozumění omezeným distribučním svazům.

Viz také

Poznámky

  1. ^ Kámen (1938)
  2. ^ Kámen (1938), Johnstone (1982)
  3. ^ Kámen (1938), Johnstone (1982)
  4. ^ Bezhanishvili et al. (2010)
  5. ^ Priestley (1970)
  6. ^ Bezhanishvili et al. (2010)

Reference

  • Priestley, H. A. (1970). Reprezentace distribučních mřížek pomocí uspořádaných kamenných prostorů. Býk. London Math. Soc., (2) 186–190.
  • Priestley, H. A. (1972). Uspořádané topologické prostory a reprezentace distribučních mřížek. Proc. London Math. Soc., 24(3) 507–530.
  • Kámen, M. (1938). Topologická reprezentace distribučních svazů a Brouwerian logiky. Casopis Pest. Rohož. Fys., 67 1–25.
  • Cornish, W. H. (1975). Na dvojníku H. Priestleyho kategorie ohraničených distribučních mřížek. Rohož. Vesnik, 12(27) (4) 329–332.
  • M. Hochster (1969). Připravte ideální strukturu v komutativních kruzích. Trans. Amer. Matematika. Soc., 142 43–60
  • Johnstone, P. T. (1982). Kamenné prostory. Cambridge University Press, Cambridge. ISBN  0-521-23893-5.
  • Jung, A. a Moshier, M. A. (2006). O bitopologické povaze kamenné duality. Technická zpráva CSR-06-13, School of Computer Science, University of Birmingham.
  • Bezhanishvili, G., Bezhanishvili, N., Gabelaia, D., Kurz, A. (2010). Bitopologická dualita pro distributivní mřížky a hejtovací algebry. Matematické struktury v informatice, 20.
  • Dickmann, Max; Schwartz, Niels; Tressl, Marcus (2019). Spektrální prostory. Nové matematické monografie. 35. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/9781316543870. ISBN  9781107146723.