Priestleyův prostor - Priestley space

v matematika, a Priestleyův prostor je nařízeno topologický prostor se speciálními vlastnostmi. Priestley prostory jsou pojmenovány po Hilary Priestley kdo je představil a vyšetřoval.^[1] Priestleyovy prostory hrají zásadní roli při studiu distribuční mřížky. Zejména existuje a dualita ("Priestley dualita"^[2]) mezi kategorie Priestleyových prostorů a kategorie ohraničených distribučních mřížek.^[3]^[4]

Definice

A Priestleyův prostor je objednaný topologický prostor $(X, τ,\leq)$ , tj. sada $X$ vybaven a částečná objednávka $\leq$ a a topologie $τ$ , které splňují následující dvě podmínky:

$(X, τ)$ je kompaktní.
Li ${ displaystyle scriptstyle x , ne leq , y}$ , pak existuje a clopen naštvaný $U$ z $X$ takhle $X \in U$ a $y \notin U$ . (Tento stav je znám jako Priestleyův separační axiom.)

Vlastnosti prostor Priestley

Každý prostor Priestley je Hausdorff. Uvedeny dva body $X, y$ prostoru Priestley $(X, τ,\leq)$ , pokud $X \neq y$ , pak jako $\leq$ je částečná objednávka ${ displaystyle scriptstyle x , ne leq , y}$ nebo ${ displaystyle scriptstyle y , ne leq , x}$ . Za předpokladu, bez ztráty obecnosti, že ${ displaystyle scriptstyle x , ne leq , y}$ , (ii) poskytuje up-set $U$ z $X$ takhle $X \in U$ a $y \notin U$ . Proto, $U$ a $PROTI = X - U$ jsou disjunktní otevřené podmnožiny $X$ oddělující $X$ a $y$ .
Každý prostor Priestley je také nulový rozměr; to je každý otevřené sousedství $U$ bodu $X$ prostoru Priestley $(X, τ,\leq)$ obsahuje blízké okolí $C$ z $X$ . Abychom to viděli, postupujeme následovně. Pro každého $y \in X - U$ , buď ${ displaystyle scriptstyle x , ne leq , y}$ nebo ${ displaystyle scriptstyle y , ne leq , x}$ . Podle Priestleyova separačního axiomu existuje clopen up-set nebo clopen down-set obsahující $X$ a chybí $y$ . Průsečík těchto uzavřených čtvrtí $X$ nesplňuje $X - U$ . Proto, jak $X$ je kompaktní, existuje konečný průnik těchto uzavřených čtvrtí $X$ chybějící $X - U$ . Tato konečná křižovatka je požadovaným uzavřeným sousedstvím $C$ z $X$ obsaženo v $U$ .

Z toho vyplývá, že pro každý prostor Priestley $(X, τ,\leq)$ topologický prostor $(X, τ)$ je Kamenný prostor; to znamená, že se jedná o kompaktní Hausdorffův nulový rozměr.

Některé další užitečné vlastnosti prostor Priestley jsou uvedeny níže.

Nechat $(X, τ,\leq)$ být Priestleyovým prostorem.

(a) Pro každou uzavřenou podmnožinu

F

z

X

, oba

↑ F = {X \in X : y \leq X pro některé y \in F}

a

↓ F = {X \in X : X \leq y pro některé y \in F}

jsou uzavřené podmnožiny

X

.

(b) Každá otevřená sada

X

je spojení uzavíraných sad

X

a každý otevřený soubor

X

je svazek uzavření sestupů

X

.

(c) Každá uzavřená sada

X

je křižovatkou uzavíraných sad

X

a každý uzavřený soubor

X

je křižovatkou clopen down-sets of

X

.

(d) Uzavřít sady a uzavřít sady

X

tvoří a subbáze pro

(X, τ)

.

(e) Pro každou dvojici uzavřených podmnožin

F

a

G

z

X

, pokud

↑ F \cap ↓ G = \emptyset

, pak existuje clopen up-set

U

takhle

F \subseteq U

a

U \cap G = \emptyset

.

A Priestley morfismus z prostoru Priestley $(X, τ,\leq)$ do jiného Priestleyova prostoru $(X', τ',\leq')$ je mapa $f: X \to X'$ který je kontinuální a zachování objednávek.

Nechat Ceny označují kategorii Priestleyových prostorů a Priestleyových morfismů.

Spojení se spektrálními prostory

Priestleyovy prostory úzce souvisí spektrální prostory. Pro prostor Priestley $(X, τ,\leq)$ , nechť $τ u$ označují kolekci všech otevřených sad $X$ . Podobně nechte $τ d$ označují kolekci všech otevřených sad dolů $X$ .

Teorém:^[5]Li $(X, τ,\leq)$ je prostor Priestley, pak oba $(X, τ u)$ a $(X, τ d)$ jsou spektrální prostory.

Naopak vzhledem k spektrálnímu prostoru $(X, τ)$ , nechť $τ #$ označit topologie patchů na $X$ ; to znamená topologie generovaná subbází sestávající z kompaktních otevřených podmnožin $(X, τ)$ a jejich doplňuje. Nechť také $\leq$ označit specializační objednávka z $(X, τ)$ .

Teorém:^[6]Li $(X, τ)$ je tedy spektrální prostor $(X, τ #,\leq)$ je prostor Priestley.

Ve skutečnosti tato korespondence mezi Priestleyovými a spektrálními prostory je funkční a dává izomorfismus mezi Ceny a kategorie Spec spektrálních prostorů a spektrální mapy.

Spojení s bitopologickými prostory

Priestley Priesters také úzce souvisí s bitopologické prostory.

Teorém:^[7]Li $(X, τ,\leq)$ je tedy prostor Priestley $(X, τ u, τ d)$ je párový kamenný prostor. Naopak, pokud $(X, τ 1, τ 2)$ je tedy párový kamenný prostor $(X, τ,\leq)$ je prostor Priestley, kde $τ$ je spojením $τ 1$ a $τ 2$ a $\leq$ je pořadí specializace $(X, τ 1)$ .

Korespondence mezi Priestleyovými prostory a párovými kamennými prostory je funkcionářská a přináší izomorfismus mezi kategorií Ceny Priestleyových prostorů a Priestleyových morfismů a kategorie PStone párových kamenných prostor a bi-spojité mapy.

Jeden má tedy následující izomorfismy kategorií:

${ displaystyle mathbf {specifikace} cong mathbf {ceny} cong mathbf {PStone}}$

Jedním z hlavních důsledků teorie duality pro distribuční mřížky je, že každá z těchto kategorií je duálně ekvivalentní kategorii ohraničené distribuční mřížky.

Viz také

Poznámky

^ Priestley, (1970).
^ Cignoli, R .; Lafalce, S .; Petrovich, A. (září 1991). „Poznámky k dualitě Priestley pro distribuční mřížky“. Objednat. 8 (3): 299–315. doi:10.1007 / BF00383451.
^ Cornish, (1975).
^ Bezhanishvili et al. (2010)
^ Cornish, (1975). Bezhanishvili et al. (2010).
^ Cornish, (1975). Bezhanishvili et al. (2010).
^ Bezhanishvili et al. (2010).

Reference

Priestley, H. A. (1970). "Reprezentace distribučních mřížek pomocí uspořádaných kamenných prostorů". Býk. London Math. Soc. 2 (2): 186–190. doi:10.1112 / blms / 2.2.186.
Priestley, H. A. (1972). "Uspořádané topologické prostory a reprezentace distribučních mřížek" (PDF). Proc. London Math. Soc. 24 (3): 507–530. doi:10,1112 / plms / s3-24,3,507. hdl:10338.dmlcz / 134149.
Cornish, W. H. (1975). „Na duálu H. Priestleyho z kategorie omezených distribučních mřížek“. Rohož. Vesnik. 12 (27): 329–332.
Hochster, M. (1969). „Připravit ideální strukturu v komutativních kruzích“. Trans. Amer. Matematika. Soc. 142: 43–60. doi:10.1090 / S0002-9947-1969-0251026-X.
Bezhanishvili, G .; Bezhanishvili, N .; Gabelaia, D .; Kurz, A (2010). „Bitopologická dualita pro distributivní mřížky a hejtující algebry“ (PDF). Matematické struktury v informatice. 20.
Dickmann, Max; Schwartz, Niels; Tressl, Marcus (2019). Spektrální prostory. Nové matematické monografie. 35. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/9781316543870. ISBN 978-1-107-14672-3.

[1] Priestley, (1970).

[2] Cignoli, R .; Lafalce, S .; Petrovich, A. (září 1991). „Poznámky k dualitě Priestley pro distribuční mřížky“. Objednat. 8 (3): 299–315. doi:10.1007 / BF00383451.

[3] Cornish, (1975).

[4] Bezhanishvili et al. (2010)

[5] Cornish, (1975). Bezhanishvili et al. (2010).

[6] Cornish, (1975). Bezhanishvili et al. (2010).

[7] Bezhanishvili et al. (2010).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]