Pitva do ortochemie - Dissection into orthoschemes - Wikipedia

Nevyřešený problém v matematice: Lze každý simplex rozdělit do ohraničeného počtu ortochemických schémat? (více nevyřešených úloh z matematiky)

V geometrii je to nevyřešené dohad z Hugo Hadwiger že každý simplexní může být členitý do orthoschemes, s použitím řady ortochemických schémat ohraničených funkcí dimenze simplexu.^[1] Pokud je to pravda, pak obecněji každý konvexní mnohostěn by mohly být rozděleny do ortochemických schémat.

Definice a prohlášení

V této souvislosti simplex v ${ displaystyle d}$-dimenzionální Euklidovský prostor je konvexní obal z ${ displaystyle d + 1}$ body, které ne všechny leží v jednom nadrovina. Například dvourozměrný simplex je jen a trojúhelník (konvexní trup tří bodů v rovině) a trojrozměrný simplex je a čtyřstěn (konvexní ze čtyř bodů v trojrozměrném prostoru). Body, které takto tvoří simplex, se nazývají jeho vrcholy.

Orthoschéma, nazývaná také cesta simplex, je speciální druh simplexu. V něm mohou být vrcholy spojeny a cesta, takže každé dvě hrany v cestě jsou navzájem kolmé. Dvojrozměrný orthoschém je a pravoúhlý trojuhelník. Trojrozměrný ortoschém lze sestrojit z a krychle tím, že najde cestu tří hran krychle, které ne všechny leží na stejné čtvercové ploše, a vytvoří konvexní trup čtyř bodů na této cestě.

Členění krychle do šesti ortochemických schémat

Pitva tvaru ${ displaystyle S}$ (který může být jakýkoli uzavřená sada v euklidovském prostoru) je reprezentace ${ displaystyle S}$ jako spojení jiných tvarů, jejichž interiéry jsou nesouhlasí jeden od druhého. To znamená, že se tvary ve spojení intuitivně nepřekrývají, i když mohou sdílet body na svých hranicích. Například a krychle lze rozdělit do šesti trojrozměrných ortochemických schémat. Podobný výsledek platí obecněji: každý hyperkrychle nebo hyperrektangle v ${ displaystyle d}$ rozměry lze rozdělit na ${ displaystyle d!}$ orthoschemes.

Hadwigerova domněnka je, že existuje funkce ${ displaystyle f}$ takové, že každý ${ displaystyle d}$-dimenzionální simplex lze rozdělit maximálně ${ displaystyle f (d)}$ orthoschemes. Hadwiger nastolil tento problém v roce 1956;^[2] zůstává nevyřešen obecně, i když speciální případy pro malé hodnoty ${ displaystyle d}$ jsou známy.^[1]

V malých rozměrech

Nadmořská výška z ostrého úhlu nemusí disekovat trojúhelník, ale nadmořská výška z jeho nejširšího úhlu jej vždy rozdělí na dva pravé trojúhelníky

Ve dvou rozměrech lze každý trojúhelník rozdělit na nejvýše dva pravé trojúhelníky přetažením nadmořská výška z nejširšího úhlu na nejdelší hranu.^[2]

Ve třech rozměrech lze některé čtyřstěny rozdělit podobným způsobem, a to tak, že nadmořskou výšku převrhneme z vrcholu ${ displaystyle v}$ do bodu ${ displaystyle p}$ v opačné tváři, spojující se ${ displaystyle p}$ kolmo na boky obličeje a pomocí tříbokých kolmých cest skrz ${ displaystyle v}$ a ${ displaystyle p}$ na stranu a poté na vrchol obličeje.^[2] Ne vždy to však funguje. Zejména existují čtyřstěny, pro které žádný z vrcholů nemá nadmořskou výšku s nohou uvnitř protilehlé plochy. Pomocí složitější konstrukce Lenhard (1960) dokázal, že každý čtyřstěn lze rozdělit na maximálně 12 ortochemických schémat.^[3]Böhm (1980) dokázal, že je to optimální: existují čtyřstěny, které nelze rozdělit na méně než 12 orthoschemů.^[4] Ve stejném příspěvku Böhm také zobecnil Lenhardův výsledek na trojrozměrný sférická geometrie a trojrozměrný hyperbolická geometrie.

Ve čtyřech rozměrech je potřeba maximálně 500 ortosystémů.^[5] V pěti dimenzích je opět zapotřebí konečný počet ortochemických schémat, zhruba ohraničených maximálně 12,5 milionu. To platí opět pro sférickou geometrii a hyperbolickou geometrii i pro euklidovskou geometrii.^[6]

Hadwigerova domněnka zůstává neprokázaná pro všechny dimenze větší než pět.^[1]

Důsledky

Každý konvexní mnohostěn mohou být rozděleny do simplexů. Pokud je tedy Hadwigerova domněnka pravdivá, každý konvexní mnohostěn by měl také pitvu do ortochemických schémat.^[6]

Souvisejícím výsledkem je, že každý orthoschém lze rozdělit sám na sebe ${ displaystyle d}$ nebo ${ displaystyle d + 1}$ menší orthoschémata.^[7][8] Proto pro simplexy, které lze rozdělit do ortochemických schémat, mohou mít jejich disekce libovolně velké množství ortochemických schémat.

Reference