Disperzní vztah - Dispersion relation
V fyzikální vědy a elektrotechnika, disperzní vztahy popsat účinek disperze o vlastnostech vln v médiu. Rozptylový vztah se týká vlnová délka nebo vlnové číslo vlny k jeho frekvence. Vzhledem k disperznímu vztahu lze vypočítat fázová rychlost a skupinová rychlost vln v médiu, jako funkce frekvence. Kromě vztahů rozptylu závislých na geometrii a materiálu závisí zastřešení Kramers-Kronigovy vztahy popište frekvenční závislost šíření vln a útlum.
Rozptyl může být způsoben buď geometrickými okrajovými podmínkami (vlnovody, mělká voda) nebo interakcí vln s přenosovým médiem. Elementární částice, považováno za hmotné vlny, mají netriviální disperzní vztah i při absenci geometrických omezení a jiných médií.
V přítomnosti disperze již není rychlost vln jednoznačně definována, což vede k rozlišení na fázová rychlost a skupinová rychlost.
Rozptyl
K disperzi dochází, když čisté rovinné vlny různých vlnových délek mají různé rychlosti šíření, takže a vlnový paket smíšených vlnových délek má tendenci se šířit ve vesmíru. Rychlost rovinné vlny, , je funkcí vlnové délky vlny :
Rychlost, vlnová délka a frekvence vlny, F, souvisí podle identity
Funkce vyjadřuje disperzní vztah daného média. Disperzní vztahy jsou běžněji vyjádřeny ve smyslu úhlová frekvence a vlnové číslo . Přepsání výše uvedeného vztahu v těchto proměnných dává
kde se nyní díváme F jako funkce k. Použití ω (k) popsat disperzní vztah se stal standardem, protože oba fázová rychlost ω /k a skupinová rychlost dω / dk mít pohodlná zobrazení prostřednictvím této funkce.
Rovinné vlny, o kterých se uvažuje, lze popsat
kde
- A je amplituda vlny,
- A0 = A(0,0),
- X je poloha ve směru pohybu vlny a
- t je čas, ve kterém je vlna popsána.
Rovinné vlny ve vakuu
Rovinné vlny ve vakuu jsou nejjednodušším případem šíření vln: žádné geometrické omezení, žádná interakce s vysílacím médiem.
Elektromagnetické vlny ve vakuu
Pro elektromagnetické vlny ve vakuu je úhlová frekvence úměrná vlnovému číslu:
Tohle je lineární disperzní vztah. V tomto případě jsou fázová rychlost a skupinová rychlost stejné:
jsou dány C, rychlost světla ve vakuu, frekvenčně nezávislá konstanta.
De Broglieho disperzní vztahy
Celková energie, hybnost a hmotnost částic jsou spojeny prostřednictvím relativistický disperzní vztah:[1]
což je v ultrarelativistické hranici
a v nerelativistickém limitu je
kde je invariantní hmota. V nerelativistickém limitu je konstanta a je známá kinetická energie vyjádřená v hybnosti .
Přechod od ultrarelativistické k nerelativistickému chování se projeví jako změna sklonu od p na p2 jak je znázorněno na grafu disperze log – log z E vs. p.
Elementární částice, atomová jádra, atomy a dokonce i molekuly se chovají v některých kontextech jako vlny hmoty. Podle de Broglieho vztahy, jejich Kinetická energie E lze vyjádřit jako frekvenci ω, a jejich hybnost p jako vlnové číslo kpomocí redukovaného Planckova konstanta ħ:
Podle toho jsou úhlová frekvence a vlnové číslo spojeny prostřednictvím rozptylového vztahu, který v nerelativistickém limitu čte
Animace: fázová a skupinová rychlost elektronů Tato animace vykresluje de Broglieovu fázi a skupinové rychlosti (zpomaleně) tří volných elektronů pohybujících se po poli 0,4 ångströms na šířku. Hybnost na jednotku hmotnosti (vlastní rychlost) středního elektronu je světelná rychlost, takže jeho skupinová rychlost je 0,707 C. Horní elektron má dvojnásobnou hybnost, zatímco spodní elektron má polovinu. Všimněte si, že jak se hybnost zvyšuje, fázová rychlost klesá až na C, zatímco rychlost skupiny se zvyšuje až na C, dokud se vlnový paket a jeho fázová maxima nepohybují společně blízko rychlosti světla, zatímco vlnová délka pokračuje bez omezení. Šířky příčné i podélné koherence (velikosti paketů) těchto vysokoenergetických elektronů v laboratoři mohou být řádově větší než ty, které jsou zde uvedeny.
Frekvence versus vlnové číslo
Jak bylo zmíněno výše, když se médium zaměřuje spíše na lom než na absorpci - tedy na skutečnou část index lomu —Je běžné označit funkční závislost úhlové frekvence na vlnovém čísle jako disperzní vztah. U částic se to promítá do znalosti energie jako funkce hybnosti.
Vlny a optika
Název „disperzní vztah“ původně pochází optika. Je možné učinit efektivní rychlost světla závislou na vlnové délce tím, že necháme světlo projít materiálem, který má nekonstantní hodnotu index lomu, nebo pomocí světla v nejednotném médiu, jako je a vlnovod. V tomto případě se křivka rozšíří v čase, takže z úzkého pulzu se stane prodloužený pulz, tj. Bude rozptýlen. V těchto materiálech je známý jako skupinová rychlost[2] a odpovídá rychlosti, při které se šíří špička pulzu, což je hodnota odlišná od fázová rychlost.[3]
Hluboké vodní vlny
Disperzní vztah pro hloubku vodní vlny je často psáno jako
kde G je gravitační zrychlení. Hluboká voda je v tomto ohledu běžně označována jako případ, kdy je hloubka vody větší než polovina vlnové délky.[4] V tomto případě je fázová rychlost
a rychlost skupiny je
Vlny na provázku
Pro ideální řetězec lze disperzní vztah zapsat jako
kde T je tahová síla v provázku a μ je hmotnost řetězce na jednotku délky. Pokud jde o elektromagnetické vlny ve vakuu, ideální řetězce jsou tedy nedisperzní médium, tj. Fázové a skupinové rychlosti jsou stejné a nezávislé (na první řád) frekvence vibrací.
Pro nonideal řetězec, kde je brána v úvahu tuhost, je disperzní vztah zapsán jako
kde je konstanta, která závisí na řetězci.
Pevné skupenství
Při studiu pevných látek má prvořadý význam studium rozptylového vztahu elektronů. Periodicita krystalů znamená, že mnoho úrovně energie jsou pro danou hybnost možné a že některé energie nemusí být v daném momentu k dispozici. Shromažďování všech možných energií a momentů je známé jako struktura pásma materiálu. Vlastnosti struktury pásu určují, zda materiál je izolátor, polovodič nebo dirigent.
Phonons
Fonony mají zvukové vlny v pevné formě, které mají fotony osvětlovat: jsou to kvantá, které to nesou. Disperzní vztah fonony je také netriviální a důležitý a přímo souvisí s akustickými a tepelnými vlastnostmi materiálu. U většiny systémů lze fonony rozdělit do dvou hlavních typů: na ty, jejichž pásma se stávají nulovými ve středu Brillouinova zóna jsou nazývány akustické fonony, protože odpovídají klasickému zvuku na hranici dlouhých vlnových délek. Ostatní jsou optické fonony, protože mohou být buzeni elektromagnetickým zářením.
Elektronová optika
S vysokoenergetickými (např. 200 keV, 32 fJ) elektrony v a transmisní elektronový mikroskop, energetická závislost vyššího řádu Laue zóna (HOLZ) čáry v konvergentním paprsku elektronová difrakce (CBED) vzory umožňují jednomu ve skutečnosti přímo obrázek průřezy trojrozměrného krystalu disperzní povrch.[5] Tento dynamický efekt našel uplatnění v přesném měření parametrů mřížky, energie paprsku a v poslední době pro elektronický průmysl: mřížková deformace.
Dějiny
Isaac Newton studoval refrakci v hranolech, ale nedokázal rozpoznat materiální závislost rozptylového vztahu a odmítl práci jiného výzkumníka, jehož měření rozptylu hranolu neodpovídalo Newtonově vlastnímu.[6]
Disperze vln na vodě byla studována pomocí Pierre-Simon Laplace v roce 1776.[7]
Univerzálnost Kramers-Kronigovy vztahy (1926–27) vyšlo najevo v následujících dokumentech o vztahu rozptylového vztahu k příčinné souvislosti v teorie rozptylu všech typů vln a částic.[8]
Viz také
Reference
- ^ Taylor (2005). Klasická mechanika. University Science Books. str. 652. ISBN 1-891389-22-X.
- ^ F. A. Jenkins a H. E. White (1957). Základy optiky. New York: McGraw-Hill. str.223. ISBN 0-07-032330-5.
- ^ R. A. Serway, C. J. Moses a C. A. Moyer (1989). Moderní fyzika. Philadelphia: Saunders. str. 118. ISBN 0-534-49340-8.
- ^ R. G. Dean a R. A. Dalrymple (1991). Mechanika vodních vln pro inženýry a vědce. Advanced Series on Ocean Engineering. 2. World Scientific, Singapur. ISBN 978-981-02-0420-4. Viz strana 64–66.
- ^ P. M. Jones, G. M. Rackham a J. W. Steeds (1977). "Účinky zón Laue vyššího řádu v difrakci elektronů a jejich použití při určování parametrů mřížky". Sborník Královské společnosti. A 354 (1677): 197. Bibcode:1977RSPSA.354..197J. doi:10.1098 / rspa.1977.0064. S2CID 98158162.
- ^ Westfall, Richard S. (1983). Nikdy v klidu: Životopis Isaaca Newtona (ilustrované, přepracované vydání). Cambridge University. str.276. ISBN 9780521274357.
- ^ A. D. D. Craik (2004). "Počátky teorie vodních vln". Roční přehled mechaniky tekutin. 36: 1–28. Bibcode:2004AnRFM..36 ... 1C. doi:10.1146 / annurev.fluid.36.050802.122118.
- ^ John S. Toll (1956). "Příčinná souvislost a disperzní vztah: Logické základy". Phys. Rev. 104 (6): 1760–1770. Bibcode:1956PhRv..104,1760T. doi:10.1103 / PhysRev.104.1760.
externí odkazy
- Plakát k simulacím CBED pomoci vizualizovat disperzní povrchy, Andrey Chuvilin a Ute Kaiser
- Kalkulačka úhlové frekvence