Dimenzionální funkce - Dimension function

tento článek potřebuje pozornost odborníka na matematiku. Přidejte prosím důvod nebo a mluvit parametr k této šabloně pro vysvětlení problému s článkem. Matematika WikiProject může pomoci s náborem odborníka. (Listopadu 2008)

v matematika, pojempřesný) dimenzionální funkce (také známý jako funkce měřidla) je nástroj při studiu fraktály a další podmnožiny metrické prostory. Dimenzionální funkce jsou zobecněním jednoduchého "průměr do dimenze " mocenský zákon použitý při stavbě s-dimenzionální Hausdorffovo opatření.

Motivace: s-dimenzionální Hausdorffovo opatření

Zvažte metrický prostor (X, d) a a podmnožina E z X. Vzhledem k číslu s ≥ 0, s-dimenzionální Hausdorffovo opatření z E, označeno μ^s(E), je definován

${displaystyle mu ^ {s} (E) = lim _ {delta o 0} mu _ {delta} ^ {s} (E),}$

kde

${displaystyle mu _ {delta} ^ {s} (E) = inf left {left.sum _ {i = 1} ^ {infty} mathrm {diam} (C_ {i}) ^ {s} ight | mathrm {diam } (C_ {i}) leq delta, igcup _ {i = 1} ^ {infty} C_ {i} supseteq Eight}.}$

μ_δ^s(E) lze považovat za přiblížení k „pravdě“ s-rozměrná plocha / objem E dáno výpočtem minima s-rozměrná plocha / objem krytiny E maximálně sadami průměrů δ.

Jako funkce zvyšování s, μ^s(E) se nezvyšuje. Ve skutečnosti pro všechny hodnoty s, snad s výjimkou jednoho, H^s(E) je buď 0 nebo + ∞; tato výjimečná hodnota se nazývá Hausdorffova dimenze z E, zde označeno dim_H(E). Intuitivně řečeno, μ^s(E) = + ∞ pro s H(E) ze stejného důvodu jako 1-dimenzionální lineární délka 2-dimenzionální disk v Euklidovské letadlo je + ∞; rovněž, μ^s(E) = 0 pro s > dim_H(E) ze stejného důvodu jako trojrozměrný objem disku v euklidovské rovině je nula.

Myšlenkou dimenzionální funkce je použít různé funkce průměru než jen průměr (C)^s pro některé s, a hledat stejnou vlastnost Hausdorffovy míry jako konečnou a nenulovou.

Definice

Nechť (X, d) být metrický prostor a E ⊆ X. Nechat h : [0, + ∞) → [0, + ∞] je funkce. Definovat μ^h(E) od

${displaystyle mu ^ {h} (E) = lim _ {delta o 0} mu _ {delta} ^ {h} (E),}$

kde

${displaystyle mu _ {delta} ^ {h} (E) = inf left {left.sum _ {i = 1} ^ {infty} hleft (mathrm {diam} (C_ {i}) ight) ight | mathrm {diam } (C_ {i}) leq delta, igcup _ {i = 1} ^ {infty} C_ {i} supseteq Eight}.}$

Pak h se nazývá (přesný) dimenzionální funkce (nebo funkce měřidla) pro E -li μ^h(E) je konečný a přísně pozitivní. Existuje mnoho konvencí, pokud jde o vlastnosti, které h by měl mít: Rogers (1998) to například vyžaduje h mělo by monotónně roste pro t ≥ 0, přísně pozitivní pro t > 0 a kontinuální napravo pro všechny t ≥ 0.

Rozměr balení

Rozměr balení je konstruován velmi podobně jako Hausdorffova dimenze, kromě toho, že jeden „balíček“ E zevnitř s párově disjunktní koule o průměru nanejvýš δ. Stejně jako dříve lze uvažovat o funkcích h : [0, + ∞) → [0, + ∞] obecnější než h(δ) = δ^s a zavolat h funkce přesné dimenze pro E pokud h-balení opatření E je konečný a přísně pozitivní.

Příklad

Téměř jistě, ukázková cesta X z Brownův pohyb v euklidovské rovině má Hausdorffův rozměr rovný 2, ale 2-rozměrná Hausdorffova míra μ²(X) je nula. Funkce přesné dimenze h je dán logaritmický oprava

${displaystyle h (r) = r ^ {2} cdot log {frac {1} {r}} cdot log log log {frac {1} {r}}.}$

Tj. S pravděpodobností jedna, 0 <μ^h(X) <+ ∞ pro Brownovu cestu X v R². Pro Brownův pohyb v euklidovštině n-prostor Rⁿ s n ≥ 3, funkce přesné dimenze je

${displaystyle h (r) = r ^ {2} cdot log log {frac {1} {r}}.}$

Reference

• Olsen, L. (2003). "Přesná Hausdorffova dimenzní funkce některých Cantorových sad". Nelinearita. 16 (3): 963–970. doi:10.1088/0951-7715/16/3/309.
• Rogers, C. A. (1998). Hausdorffova opatření. Cambridge Mathematical Library (třetí vydání). Cambridge: Cambridge University Press. str. xxx + 195. ISBN  0-521-62491-6.