Dilatace (morfologie) - Dilation (morphology)

Dilatace (obvykle reprezentováno ⊕) je jednou ze základních operací v matematická morfologie. Původně vyvinut pro binární obrazy, bylo nejprve rozšířeno na stupně šedi obrázky a poté na kompletní mříže. Operace dilatace obvykle používá a strukturní prvek pro zkoumání a rozšiřování tvarů obsažených ve vstupním obrazu.

Binární dilatace

Dilatace tmavě modrého čtverce diskem, což vedlo k světle modrému čtverci se zaoblenými rohy.

V binární morfologii je dilatace invariant posunu (překlad neměnný ) operátor, ekvivalent k Minkowského doplnění.

Binární obraz je v matematické morfologii zobrazen jako a podmnožina a Euklidovský prostor R^d nebo celočíselná mřížka Z^d, pro nějakou dimenzi d. Nechat E být euklidovský prostor nebo celočíselná mřížka, A binární obraz v E, a B strukturující prvek považovaný za podmnožinu R^d.

Dilatace A podle B je definováno

{ displaystyle A oplus B = bigcup _ {b v B} A_ {b},}

kde A_b je překlad A podle b.

Dilatace je komutativní, také daná ${ displaystyle A oplus B = B oplus A = bigcup _ {a in A} B_ {a}}$ .

Li B má střed na původu, pak na rozšíření A podle B lze chápat jako místo bodů, na které se vztahuje B když střed B pohybuje se dovnitř A. Dilatace čtverce o velikosti 10, vystředěného na počátek, diskem o poloměru 2, rovněž vystředěným na počátek, je čtverec ze strany 14, se zaoblenými rohy, vystředěný na počátek. Poloměr zaoblených rohů je 2.

Dilataci lze také získat pomocí ${ displaystyle A oplus B = {z v E mid (B ^ {s}) _ {z} cap A neq varnothing }}$ , kde B^s označuje symetrický z B, to znamená, ${ displaystyle B ^ {s} = {x v E mid -x v B }}$ .

Příklad

Předpokládejme, že A je následující matice 11 x 11 a B je následující matice 3 x 3:

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0    0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0       0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0      0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0              1 1 1    0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0              1 1 1    0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0              1 1 1    0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0           0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0       0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0       0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Pro každý pixel v A, který má hodnotu 1, překrýt B, se středem B zarovnaným s odpovídajícím pixelem v A.

Každý pixel každého superponovaného B je zahrnut do dilatace A od B.

Dilatace A od B je dána touto maticí 11 x 11.

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1       1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1      1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1    1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1           1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1       1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0       1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0

Vlastnosti binární dilatace

Zde jsou některé vlastnosti operátoru binární dilatace

to je překlad neměnný.
to je vzrůstající, tedy pokud ${ displaystyle A subseteq C}$ , pak ${ displaystyle A oplus B subseteq C oplus B}$ .
to je komutativní.
Pokud je původ E patří do strukturujícího prvku B, pak je rozsáhlý, tj., ${ displaystyle A subseteq A oplus B}$ .
to je asociativní, tj., ${ displaystyle (A oplus B) oplus C = A oplus (B oplus C)}$ .
to je distribuční přes nastavit unii

Dilatace ve stupních šedi

v stupně šedi morfologie, obrázky jsou funkce mapování a Euklidovský prostor nebo mřížka E do ${ displaystyle mathbb {R} pohár { infty, - infty }}$ , kde ${ displaystyle mathbb {R}}$ je sada realita, ${ displaystyle infty}$ je prvek větší než jakékoli reálné číslo a ${ displaystyle - infty}$ je prvek menší než jakékoli skutečné číslo.

Strukturovací prvky ve stupních šedi jsou také funkce stejného formátu, nazývané „strukturovací funkce“.

Označení obrázku pomocí F(X) a strukturovací funkce pomocí b(X), dilatace ve stupních šedi F podle b darováno

{ displaystyle (f oplus b) (x) = sup _ {y v E} [f (y) + b (x-y)],}

kde "sup" označuje supremum.

Funkce plochého strukturování

Příklad dilatace na obrázku ve stupních šedi pomocí plochého strukturovacího prvku 5x5. Horní obrázek ukazuje použití okna strukturovacího prvku na jednotlivé pixely původního obrázku. Spodní obrázek ukazuje výsledný rozšířený obrázek.

V morfologických aplikacích je běžné používat ploché strukturní prvky. Funkce ploché strukturování jsou funkce b(X) ve formě

{ displaystyle b (x) = left {{ begin {pole} {ll} 0, & x v B, - infty, & { text {jinak}}, end {pole}} že jo.}

kde ${ displaystyle B subseteq E}$ .

V tomto případě je dilatace značně zjednodušena a dána

{ displaystyle (f oplus b) (x) = sup _ {y in E} [f (y) + b (xy)] = sup _ {z v E} [f (xz) + b (z)] = sup _ {z v B} [f (xz)].}

(Předpokládat X = (px, qx), z = (pz, qz), pak X − z = (px − pz, qx − qz).)

V ohraničeném diskrétním případě (E je mřížka a B je ohraničený), supremum operátor může být nahrazen maximum. Dilatace je tedy zvláštním případem statistika objednávek filtry, vrací maximální hodnotu v pohybujícím se okně (symetrická podpora strukturovací funkce B).

Dilatace na úplných mřížích

Kompletní svazy jsou částečně objednané sady, kde každá podskupina má infimum a a supremum. Obsahuje zejména a nejmenší prvek a a největší prvek (označovaný také jako „vesmír“).

Nechat ${ displaystyle (L, leq)}$ být úplnou mřížkou, se symbolem infimum a supremum ${ displaystyle klín}$ a ${ displaystyle vee}$ , resp. Jeho vesmír a nejmenší prvek jsou symbolizovány U a ${ displaystyle varnothing}$ , resp. Navíc nechte ${ displaystyle {X_ {i} }}$ být sbírkou prvků z L.

Dilatací je libovolný operátor ${ displaystyle delta: L rightarrow L}$ který se distribuuje nad supremum a zachovává nejmenší prvek. To znamená, že platí následující:

${ displaystyle bigvee _ {i} delta (X_ {i}) = delta left ( bigvee _ {i} X_ {i} right),}$
${ displaystyle delta ( varnothing) = varnothing.}$

Viz také

Bibliografie

Analýza obrazu a matematická morfologie Jean Serra, ISBN 0-12-637240-3 (1982)
Analýza obrazu a matematická morfologie, svazek 2: Teoretické pokroky Jean Serra, ISBN 0-12-637241-1 (1988)
Úvod do morfologického zpracování obrazu Edward R. Dougherty, ISBN 0-8194-0845-X (1992)