Difúzní rovnice - Diffusion equation
The difúzní rovnice je parabolická parciální diferenciální rovnice. Ve fyzice popisuje makroskopické chování mnoha mikročástic v Brownův pohyb, vyplývající z náhodných pohybů a srážek částic (viz Fickovy zákony šíření ). V matematice to souvisí s Markovovy procesy, jako náhodné procházky, a použít v mnoha dalších oblastech, jako je věda o materiálech, teorie informace, a biofyzika. Difuzní rovnice je speciální případ konvekce – difúzní rovnice, když je objemová rychlost nulová.
Prohlášení
Rovnice se obvykle píše jako:
kde ϕ(r, t) je hustota rozptýleného materiálu v místě r a čas t a D(ϕ, r) je kolektivní difúzní koeficient pro hustotu ϕ na místě r; a ∇ představuje vektor operátor diferenciálu del. Pokud koeficient difúze závisí na hustotě, pak je rovnice nelineární, jinak je lineární.
Výše uvedená rovnice platí, když je difúzní koeficient izotropní; v případě anizotropní difúze, D je symetrický pozitivní určitá matice, a rovnice je zapsána (pro trojrozměrnou difúzi) jako:
Li D je konstantní, pak se rovnice redukuje na následující lineární diferenciální rovnice:
který je totožný s rovnice tepla.
Historický původ
The rovnice difúze částic byl původně odvozen od Adolf Fick v roce 1855.[1]
Derivace
Difúzní rovnice může být triviálně odvozena z rovnice spojitosti, který uvádí, že změna hustoty v kterékoli části systému je způsobena přílivem a odtokem materiálu do a z této části systému. Ve skutečnosti není vytvářen ani ničen žádný materiál:
kde j je tok difundujícího materiálu. Z toho lze snadno získat difúzní rovnici v kombinaci s fenomenologickými Fickův první zákon, který uvádí, že tok difundujícího materiálu v kterékoli části systému je úměrný gradientu místní hustoty:
Pokud je třeba vzít v úvahu drift, Smoluchowského rovnice poskytuje vhodné zobecnění.
Diskretizace
Difúzní rovnice je spojitá v prostoru i čase. Lze rozlišit prostor, čas nebo prostor a čas, které vznikají při aplikaci. Samotná diskretizující doba odpovídá pouze převzetí časových úseků spojitého systému a nevznikají žádné nové jevy. Greenova funkce se stává diskrétní gaussovské jádro, spíše než kontinuální Gaussovo jádro. Při diskretizaci času a prostoru získá člověk náhodná procházka.
Diskretizace (obrázek)
The produktové pravidlo se používá k přepsání anizotropní tenzorové difuzní rovnice ve standardních diskretizačních schématech, protože přímá diskretizace difuzní rovnice pouze s prostorovými středovými rozdíly prvního řádu vede k artefaktům šachovnice. Přepsaná difúzní rovnice použitá při filtrování obrázků:
kde "tr" označuje stopa 2. pozice tenzor a horní index „T"označuje přemístit, ve kterém při filtrování obrázků D(ϕ, r) jsou symetrické matice konstruované z vlastní vektory obrazu strukturní tenzory. Prostorové deriváty lze poté aproximovat dvěma středy prvního řádu a druhého řádu konečné rozdíly. Výsledný difúzní algoritmus lze zapsat jako obrázek konvoluce s různým jádrem (vzorníkem) o velikosti 3 × 3 ve 2D a 3 × 3 × 3 ve 3D.
Viz také
- Rovnice spojitosti
- Tepelná rovnice
- Fokker-Planckova rovnice
- Fickovy zákony šíření
- Maxwellova – Stefanova rovnice
- Rovnice radiačního přenosu a teorie difúze pro transport fotonů v biologické tkáni
- Zefektivněte šíření
- Numerické řešení rovnice konvekce a difúze
Reference
- ^ Fick, Adolf (1855). „Ueber Diffusion“. Annalen der Physik und Chemie. 170 (1): 59–86. doi:10,1002 / a 18551700105. ISSN 0003-3804.
Další čtení
- Carslaw, H. S. a Jaeger, J. C. (1959). Vedení tepla v pevných látkách. Oxford: Clarendon Press
- Crank, J. (1956). Matematika šíření. Oxford: Clarendon Press
- Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970). Matematické metody fyziky (2. vyd.), New York: W. A. Benjamin, ISBN 0-8053-7002-1
- Thambynayagam, R. K. M (2011). Příručka pro šíření: Aplikovaná řešení pro inženýry. McGraw-Hill