Besicovitchova věta o krytí - Besicovitch covering theorem
v matematická analýza, a Besicovitch cover, pojmenoval podle Abram Samoilovitch Besicovitch, je otevřete kryt podmnožiny E z Euklidovský prostor RN podle koule tak, že každý bod E je střed nějaké koule v krytu.
The Besicovitchova věta o krytí tvrdí, že existuje konstanta CN záleží pouze na dimenzi N s následující vlastností:
- Vzhledem k jakémukoli krytu Besicovitch F ohraničené množiny E, existují CN podkolekce koulí A1 = {Bn1}, …, ACN = {BnCN} obsaženo v F takové, že každá kolekce Ai sestává z disjunktních koulí a
Nechat G označit podkolekce F skládající se ze všech míčků z CN nesouvislé rodiny A1,...,ACNJednoznačně platí méně přesné následující tvrzení: každý bod X ∈ RN patří nanejvýš CN různé míčky z podkolekce G, a G zůstává zástěrkou pro E (každý bod y ∈ E patří alespoň jedné kouli z podkolekce G). Tato vlastnost dává vlastně ekvivalentní formu věty (kromě hodnoty konstanty).
- Existuje konstanta bN záleží pouze na dimenzi N s následující vlastností: Vzhledem k jakémukoli krytí Besicovitch F ohraničené množiny E, existuje podkolekce G z F takhle G je kryt setu E a každý bod X ∈ E patří nanejvýš bN různé míčky z dílčího obalu G.
Jinými slovy, funkce SG rovnající se součtu funkce indikátorů koulí dovnitř G je větší než 1E a vázáno na RN konstantou bN,
Aplikace na maximální funkce a maximální nerovnosti
Nechť μ je a Borel nezáporné opatření na RN, omezený na kompaktní podmnožiny a nechat F být integrovatelnou funkcí μ. Definujte maximální funkce nastavením pro každého X (pomocí konvence )
Tato maximální funkce je nižší polokontinuální, proto měřitelný. Následující maximální nerovnost je splněna pro každé λ> 0:
- Důkaz.
Sada Eλ bodů X takhle jasně připouští obálku Besicovitch Fλ míčky B takhle
Pro každou ohraničenou podmnožinu Borel E„Z Eλ, lze najít podkolekce G extrahováno z Fλ který pokrývá E„A takhle SG ≤ bN, proto
což implikuje výše uvedenou nerovnost.
Při jednání s Lebesgueovo opatření na RN, je obvyklejší používat jednodušší (a starší) Vitalijní krycí lemma za účelem odvození předchozí maximální nerovnosti (s jinou konstantou).
Viz také
Reference
- Besicovitch, A. S. (1945), „Obecná forma krycího principu a relativní diferenciace aditivních funkcí, I“, Sborník Cambridge Philosophical Society, 41 (02): 103–110, doi:10.1017 / S0305004100022453.
- "Obecná forma krycího principu a relativní diferenciace aditivních funkcí, II", Sborník Cambridge Philosophical Society, 42: 205–235, 1946, doi:10.1017 / s0305004100022660.
- DiBenedetto, E (2002), Skutečná analýza, Birkhäuser, ISBN 0-8176-4231-5.
- Füredi, Z; Loeb, P.A. (1994), „O nejlepší konstantě pro krycí větu Besicovitch“, Proceedings of the American Mathematical Society, 121 (4): 1063–1073, doi:10.2307/2161215, JSTOR 2161215.